广西壮族自治区梧州市2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题

高三年级 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本题共11小题） 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 10 11 答案 C A B D D C B AB AB ABD 1.c(解析】本题考查集合运算问题 解不等式x2-x-2<0,因式分解得(x-2)(x+1)<0,解集为区间(-1,2).由于x∈Z,故 B={0,1},所以AUB={0,1,2} 2.A【解析】本题考查复平面内点的位置问题 因为z=(2-)=2i-2=1+2i,实部、虚部均为正，所以在复平面中表示z的点位于第一 象限 3.B解析】本题考查等比数列求值问题 由题意可知细胞的分裂符合过程中后代个数是一个公比为2的等比数列，所以第5次分裂 产生的后代个数是25=32. 4.D[解析】本题考查双曲线标准形式及离心率公式 根据双曲线-号=1可知a=Vm,6=V2,c=Vm+2,e=m+2=V2,求得m=2 m 2 Vm 5.D[解析】本题考查二项式定理的应用 根据(1+2x)展开的通项式T+1=C414-.(2x)=2Cx,可知2C为展开式中x的系数. 因此，(1+2x)4的展开式中x的系数是令k=3,2C:=32, 6.C【解析】本题考查三角恒等变换 因为子<0<，i0=子所以o0=-V1-面0=手则m0+） 3 7.B【解析】本题考查平面向量与不等式的综合运用 以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，则：A(0,0),B(2,0), C(0.2),外接圆圆心为斜边BC的中点0，坐标为(1，)，半径为r=7BC=V2,故外接圆方程为： (x-1)2+(-1）2=2.设AM=xAB+yAC,其中AB=(2,0),AC=(0,2),则AM=(2x,2y) 将M(2x,2y)代入圆的方程得(2x-1)2+(2y-1)=2,展开得x2+y2-x-y=0,即 (x-y）-(x-y）-2xy=0, (+列°-6e+列=2+ 2 .(x+y)}-2(x+y)0, 解得0≤x+y≤2，当且仅当x=y=1时取得x+y的最大值2 数学参考答案第1页（共6页） 8.A【解析】本题考查构造函数 因为ae4-2=e25,所以ln(ae-2)=ln(e225),即lna+a=2027,又因为b(1nb-2)=e28,所以 lnb+ln(lnb-2)=2028,则lnb-2+ln(lnb-2)=2026,令f(x)=x+lnx,由于f(x)在(0，+ ∞)上单调递增，则f(a)>f(lnb-2),即a>lnb-2,所以ab>(①nb-2)b=e22s 9.AB[解析】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式 根据余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC,得c2=9+16-24cos60°=13，因此c=V13,故A正确； 根据三角形面积公式S= 2 absin,可得5=×3x4xY=3V5,故B正确： 2 sinBsinG,可得sinB=sinC、4xY3 根据正弦定理，6三 2-2V39 cV1313 ，C不正确： 因为c2=a2+b2-2 abcos(60°=a2+b2-ab,所以a2+b2=c2+ab,故D不正确. 10.AB【解析】本题考查抽象函数性质 令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,故A正确； 令g(x)=f(x+1)+f(1-x),则g(-x)=f(-x+1)+f(1-(-x)=∫(1-x)+f(1+x)=g(x), 即f(x+1)+f(1-x)是偶函数，故B正确； 当x>1时，因为y>0,所以y>y,因为f(y)=f(x)+f(y),所以f(xy)-f(y)=f(x)>0, 则f(x)在(0，+∞)上单调递增，故C错误； 由题意知f(2)=1,且x>0,因此不等式f(x)-f(x-1)>1可化为f()>f(2),因为 f(x)在(0，+四)止单调递增，所以”>2，解不等式得1<x<2,故D错误. 11.ABD[解析】本题考查直线与抛物线位置关系综合问题 根据抛物线的定义有，点P到准线的距离为PF=2-(=3,解得p=2,故4正确： 抛物线方程y2=4x,焦点F(1,0),点P(2,)在抛物线上，代入得2=4×2=8，因为t>0,故 p2.2V列，所以直线PF方程为y=2V2(x-1)联立直线与抛物线方程得Q行，-V②，0P。 00=-3<0,故B正确； 通过分析特殊点，如M(1,2),N(O,0),满足FM·FT=0此时S。=1,小于选项给出的 10-6V2.故C错误； F为△OMN的垂心，故OF⊥MN,所以可设M(,2),V(2,-2t),所以OM=(2,2),F= (-1,-2),则0M⊥FN,0M.FT=t2(-1)+2(-2)=0,解得2=5.所以|MN|=4= 4V5,故D正确. 数学参考答案第2页（共6页） 三、填空题 12.2 折1W-2- 80 13. 243 【解析】p=C×280 35 243 14.5 【解析】设棱长为x,KL=AK=y,GH=JI=z 则KN=KB=x-y,∴S矩o=y(x-y)6①. 同理S矩mc=z(x-z)卢4…② F极E原= 、PO GK QR 2AB= ∴.GK=V2P0=2,.x-(y+z)=2③ 根据①②③，解得∴.x=5,y=2,z=1 四、解答题 15.【解析】(1)由题知S2b2=16又S2+b2=10, …1分 解得.8或2（） 2分 b2=2,b2=8, 设，}的公差为d,则{3a+3d=5a+2d 2a1+d=8 …3分 解得a1=2,d=4,… 4分 此时，an=2+4(n-1)=4n-2, …5分 S.=（2+4h-2）n=2m, …6分 2 2n32n3 ∴.bn= =n…………………7分 S.2n2 (2)解：由(1)可知，bn=n,an=4n-2,所以a.2=(4n-2)2",…8分 T。=2×2+6×22+10×23+…+(4n-6)×2"-1+(4n-2)×2",① 则2Tn=2×22+6×23+10×24+…+(4n-6)×2"+(4n-2)×2"+1,② …9分 ①-②得-Tn=2×2+4(22+23+…+2）-(4n-2)×2*1,…10分 =4+4 2(1-2-) 1-2 -(4n-2)×2+1…11分 =-12+(6-4n）×2m+l…12分 所以，Tn=12+(4n-6)2+1.…13分 16.【解析】(1)证明：连接AC, :PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,.PA⊥CD·1分 在□ABCD中，AB=2PA=2,则PA=1, 又·PA⊥平面ABCD,在R△PAC中，由PA=1,PC=V5 可得AC=PC2-P42=4,所以AC=2…3分 B 在△MCD中，AD=BC=2V2,AC=2,CD=2, .AC2+CD2=AD2,AC⊥CD.…4分 数学参考答案第3页（共6页） 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, CD⊥平面PAC,…5分 又AEC平面PAC,.CD⊥AE.……6分 (2)解：由(1)可知，AC⊥CD,因为在口ABCD中CDIIAB,所以AC⊥AB. 以A为原点，分别以AC,AB,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，…7分 则A(0,0,0),P(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(-2,2,0),PD=(-2,2,-1),PC=(0,2,-1). 设E(xy,2,则P呢=(x,y,2-1）…8分 由E=Pc可得(w-)=,-引所以号引， 亚=255引 62 9分 设平面PCD的法向量为元=(a,b,c),则 nPC=26-c=0, 可取元=(0,1,2).…11分 i.PD=-2a+2b-c=0, BEn 2 则cos(BE,)= V7 …14分 BEn 7 4+ x V5 所以，直线BE与平面PCD所成角的正弦值为y7 15分 17.【解析】(1)设椭圆C半焦距为c,由题可得c=V√2， 「a2=b2+2 且21 小小小…小小小 2分 =1 解得2=4,6=2…3分 无2 4y2 故C的方程为：4+2 =1…4分 (2)设直线AB的方程为x=y+4,A(x1y),B(xy2),N(n,0), x2.y -=1 (i)联立方程42消去x后整理为(2+2)y2+8y+12=0,…5分 x=y+4 有△=(8)2-4×12×(+2)>0，可得1>V6或t<-V6, 又有y1+y2= 8t 12 P+2+2 6分 由题土y1十2=0，……7 7分 x1-n x2-n 所以，—+为 =0 'y1+4-ny2+4-n 整理得2y1y2+(4-n)y1+y2)=0… 8分 2afa-m2=0 9分 解得n=1.故点N的坐标为(1,0) 10分 (()S=Sae-5a2x刘MN为-y 11分 数学参考答案第4页（共6页） =小×0+小-4=× -8t 4× 126V2-6 2+2 2+2 2+2 12分 令V-6=m(m>0),有t2+2=m2+8, 6m 此时，S AABN= 、6 6 3V2 ≤ -= m2+8 4 小 13分 m+8 8 m 当且仅当m2=8时等号成立，此时t=±V14,…14分 所以直线AB的斜率为±YT4 …15分 14 18.【解析】(1)f'(x)=e'cosx+e(-sinx)=e(cosx-sinx),…1分 当0<x<时，c0sx>sinx,f(x)>0f(x)单调递增；…2分 当子<<时.am<imr了国<0f(单调递减： …3分 所以)在0引上单调递啦，在信引上单调递减。 4分 (2)由题可知存在x∈ .0，使得c≥a(sir+1)成立， ,xe-二，0时，sinr+1∈ 6 故存在x∈ 元.0，使得a≤ e'cosx … 6分 6 1+sinx e'cose,其中-元≤x≤0， 令h(x)=1+sinx 6 h'(x)= e(cossin)(1+sing)-e'co(cos-1)(1t sim) (1 sinx) (1 sinx) 且66)不何为，故函数（在[云0]L单调适减。 8分 则==V5 9分 故a≤√/万e6.…10分 (3)x20%>x2025+2元…11分 证明：由f(x)=g(x)可得e'cosx=1+sinx, 令p(x)=e'cosx-sinx-l,则p'(x)=e*(cosx-sinx)-cosx,…12分 因为x∈2r+写2nx+引ae).则six>ax>0, 所以p<0,所以函数()在2m+2r+ueN)上单调递减。…13分 5-1>0, 为em+到--1 e p2nm+=-2<0, 所以，存在唯一的x,∈2m+号2m+引(aeN)使得e(e)=0.…15分 数学参考答案第5页（共6页） 所以，me×2026r+号2×2026m+引ec0 -1=0 且m-22×2025x+2×2025+引 所以，9(6-2x)=e-2rc0s(x26-2元）-sin(%-2元）)-1 ec20-sin202-1= =-)cos<=202) 因为函数e6e)在2×2025x+智2×2025x+》 上单调递减， 故x2m6-2元>x2m5,即x26>xs+2元. …17分 19. 【解析】(1)由题可知，X的可能取值为100,90,80,70,60，.…1分 P(X=100)=1-0.8=0.2 P(X=90)=0.8×0.6×(1-0.5)=0.24 P(X=80)=0.8×0.4×(1-0.5)=0.16 P(X=70)=0.8×0.6×0.5=0.24 P(X=60）=0.8×0.4×0.5=0.16.… 3分 分布列为： X 100 90 80 70 60 P 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望： E(X)=100×0.2+90×0.24+80×0.16+70×0.24+60×0.16=80.8. 5分 (2)()·期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望 支付金额的期望为 E(Y)=100-10×0.6(1-p)-20×0.4(1-p)-30×0.6p-40×0.4p=86-20p;. …7分 优惠券成本的期望为 E(Z)=10×0.3×0.6(1-p)+20×0.3×0.4(1-p)+(10×0.3+10)0.6p+(20×0.3+10)0.4p =4.2十10p.…9分 ∴.f(p)=r(p)(E(Y)-41)-E(ZF(0.2+0.4p+0.2p)）(86-20p-41)-(4.2+10p) =-4p3+p2+4p+4.8(0≤p≤1)…11分 (i)f'(p)=-12p2+2p+4(0≤p≤1) 令f(p）=-12p2+2印+4=0.… 12分 2 解得p=3 13分 当nc引时/p)>0w(p)单调递啦： 当p（仔时f(pj<0.fp)单调递减： f(p)在[Q,1]内存在唯一极大值点p= 15分 3 又-4假++4×号+48=67 .当p=时，商家期望利涧最大，最大期望利润约为6.7元.…17分 数学参考答案第6页（共6页）2025-2026学年秋季学期高三期末调研考试 7.等腰直角△4BC中，∠B4C=90“,AB=AC=2,点M在△ABC外接圆上运动，若丽=xAB,yC. 则x+y的最大值为 数学试题 2026年1月 A:1+V2 B.2 C.2V2 (D,3 8.已知正实数a,b调足3：脚和b(b-2)=e”,则 (考试用时120分钟，满分150分) A.cab <e B.e<ab <ea 说明 C.■<ab< D.e<abcm 1,答题前，考生务必将答题卷密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 2.直接在答题卷上答题，（不在本试卷上答题）。 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 第I卷（选择题） 9.在△ABC中，角AB,C的对边分别是a,b,c,已知a=3,b=4.∠C=60°，则下列结论正确的是 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 A.c=√1E B,△4BC的面积为3V3 有一项是符合要求的。 C.sing D.a+8.2-ab 1.已知集合A={12,B={2-x-2<0,xeZ,则4UB= 10.定义在(0，+)上的函数/()对任意实数)>0均调足：/(y)=八x)+/(y),且当x>1 A.0,1) B.1.2 C.{0.12 D.{-40.12 时，八x)>0,/(2)=1.则下列结论正确的是 2已知复数：=(2-)，则：在复平面内对应的点位于 A.(1)=0 B第二象限C.第三象限 B,函数/(：+1)+(1-x)为偶函数 A第一象限 D.第四象限 C,f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞上单调递增 3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20加就通过分裂紧殖一代，一个这种细菌 D.不等式/八x)-/(x-1)>1的解集为(0,2) 第1次分裂产生的后代个数是2，之后每次分裂产生的后代个数是前一次分裂产生的后代个数 11,设0为坐标原点，F为抛物线C子=2px(P>0)的焦点，点P(2)(>0)在抛物线上 的两倍，那么第5次分裂产生的后代个数是 PF=3,则下列说法正确的是 A.16 B.32 A.p=2 C.64 D.128 B.若直线PF交C于另一点Q.则O丽0而<0 4已知双鱼线关-苦0的将6率为2用 C若M,N为C上不同的两点，F示=0.则△FMN面积的最小值为10-6√2 D.若MN为C上不同的两点，△OMN的垂C为F,则MN=4VS A.I B.√2 C,V万 白D.2 第Ⅱ卷（非选择题） 5.(1+2:)的展开式中x的系数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 A.8 B.16 C24 D32 12曲线y=21在点(1.0)处的切线斜率为 6已知5<0<a且0-}则co0,引 13.5本不同的书分给甲、乙，丙三人（允许有人分不到书），则甲分得1本书的概率为 c.-7w2 14.在正四面体ABCD中校AB,CD没有公共点，作两个平行于AB和CD的截面，已知这两个截面的 10 D.v2 10 面积分别为6cm'和4m',且它们之问距离为V区cm,则该正四面体棱长为二cm 数学以喜第1页（共4页） 数学试春第2萧（共4可） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(17分)尼知函数/)=cwx,6)=sm+1号0020 15.(13分)已知等差数列a.}的前m项和为5，数列{6.}满足56，=2，且3知，=4a,+a,5+b,=10S>2 求/在，引内的单调性， (1)分别求{a》色的通项公式： (2)求数列{a,2的前n项和T. 口活存在[言利使得/0-0》0求实数。的取值意国 （6)设方限0-6因在区问2m◆号2m*引-1220252020)内的根以小到大核 次为x,西，…x,,试比较x与x+2x的大小，并说明理由 16(15分)如图，在四棱推PABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为平行四边形，已知AB= 2PA=2,PC=V3,BC=2V2,E是线段PC上的一点（与PC不重合）. (I)证明：CD⊥AE: (2)若E:;P元求直线E与平面PCD所成角的正弦值 19.(17分)为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闻关”活动.活动规则如下：消 费者成功同过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的板率为 04).网过第一关后，可进行第二关网关，成功网过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优 惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者阀过第一关的概率为户，阳过第二关的概率为P 某生产商将商品定价100元，成本41元：优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券 面额的50% (1)若P。=08,P▣05，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为不单位：元)求X的分布 705分已知两调c号号16>b>0的距为2V,且过直(V万， 列和数学期望E(X片 (1)求C的方程： (2)设所有消费者均阳过第一关获得了基他券，推出活动后意品购买概率为r(P户02+0.4p+0.2中 (2)过点M(4,O)作直线！与C交于A,B两点，：轴上存在点N使得直线NM与直线B的斜率之 记生产商销售一件该商品的两望利编为/(P(单位：元).（期望利海购买概率×（支付金额的期望 和为0 -商品成本)一优惠券成本的期望) ()求点N的坐标 (G)求/八P)关于P的函数表达式： (m)求△ABN面积最大时，直线AB的斜率 ()证明：f(P)在[0,1]内存在唯一极大值点，并求当P为何值时，商家期望利陶/八P)最大？ 其在不行可太界位道 最大期望利铜是多少？（结果保留1位小数） 数学试喜第3百（共4夏） 数学议春第4页（共4有） 2025-2026学年秋季学期高三期末调研考试 数学试题 ．2026年1月 （考试用时120分钟，满分150分） 说明： 1．答题前，考生务必将答题卷密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。 2．直接在答题卷上答题。（不在本试卷上答题）。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，则A∪B= A.{0.1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2) 2．已知复数z=i(2-i)，则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，一个这种细菌第1次分裂产生的后代个数是2，之后每次分裂产生的后代个数是前一次分裂产生的后代个数 的两倍，那么第5次分裂产生的后代个数是 A. 16 B.32 C. 64 D. 128 4．已知双曲线的离心率为，则m= A.1 B. V2 C.3 D.2 5.((1+2x)的展开式中x的系数为 A.8 B. 16 C.24 D.32 6．已知且，则 A. B. C. D. 7．等腰直角ΔABC中，,AB=AC=2，点M在ΔABC外接圆上运动，若则x+y的最大值为 A. B.2 C. D.3 8．已知正实数a,b满足和，则 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在ΔABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知，则下列结论正确的是 A. B. ΔABC的面积为3V3 C. D. 10．定义在(0,+∞)上的函数f(x）对任意实数x,y>0均满足.f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.，则下列结论正确的是 A.f(1)=0 B.函数f(x+1)+f(1-x)为偶函数 C.f(x）在（0.1）上单调递减，在(1,+∞)上单调递增 D.不等式f(x)-f(x-1)>1的解集为（0,2） 11．设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点P(2,t)(t>0)在抛物线上，|PF|=3，则下列说法正确的是 A. p=2 B.若直线PF交C于另一点Q，则 C.若M,N为C上不同的两点，，则ΔFMN面积的最小值为10-6V2 D.若M,N为C上不同的两点、ΔOMN的垂心为F，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线y=2lnx在点（1,0）处的切线斜率为． 13.5本不同的书分给甲、乙、丙三人（允许有人分不到书），则甲分得1本书的概率为＿． 14．在正四面体ABCD中梭AB,CD没有公共点，作两个平行于AB和CD的截面，已知这两个截面的面积分别为6c㎡和4c㎡，且它们之间距离为V2cm，则该正四面体棱长为 cm． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分）已知等差数列｛a.｝的前n项和为S,，数列｛b.｝满足Sa·b。＝2n'， （1）分别求{0,),6.]的通项公式； （2）求数列｛a．的前n项和T.. 16.(15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，已知AB=，E是线段PC上的一点（与P,C不重合）. （1）证明：CD⊥AE; (2)若PC，求直线BE与平面PCD所成角的正弦值. 17.(15分）已知椭圆C：）的焦距为，且过点（,1). （1）求C的方程； （2）过点M(4,0）作直线l与C交于A,B两点，x轴上存在点N使得直线NA与直线NB的斜率之和为0． （i）求点N的坐标； （ii）求ΔABN面积最大时，直线AB的斜率. 18.(17分）已知函数 （1）求 内的单调性； （2）若存在x使得f(x)-ag(x)>0，求实数a的取值范围； （3）设方程f(x)=g(x)在区间次为试比较与的大小，并说明理由. 19.(17分）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4)．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为Po，闯过第二关的概率为p.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． （1）若，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E(X)； （2）设所有消费者均闻过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为记生产商销售一件该商品的期望利润为f(p)（单位：元）.（期望利润＝购买概率x（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （i）求f(p）关于p的函数表达式； （ii）证明：f(p)在［0,1］内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润／(p）最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 学科网（北京）股份有限公司 $