安徽省合肥七中2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试卷

高二数学 一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1.(5分)若方程2+2-2x-24m=0表示圆，则m可以为（) A.0 B.2 C.4 D.2025 2.(5分)已知等比数列{am}的前3项积为8，a1>0,a4=8,则s等于() A.4 B.-4 C.16 D.2 3.(5分)已知四面体PABC中，点M为4AB的中点，若CM=xPA+yPB+zPC,则x,y,:分别为() A.-1,,- 11 B.221 -1 c宝-是 D.1,1,2 1 4.(5分)以椭圆 y2 ,=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线的倾斜角的正弦值为() 3 2 A月 号 5.(5分)若直线1：y=:~+1与直线2关于直线：x~+1=0对称，则直线h一定过定点() A.(2,0) B.(0,-2) C.(0,2) D.(-2,0) 6.(5分)如图，在三棱锥M-ABC中，MA1平面ABC,△4BC是边长为2的正三角形，MA=2W3,F是 MC的中点，则异面直线B与AF所成角的余弦值是() M A.3 B C 3 D 7.(5分)设0是坐标原点，F是抛物线y2=2r(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向 的夹角为60°，则直线OA的斜率为( A.V3 3 D2 8.(5分)如图，在xO平面上有一系列点P1(x1,n),P2(2,2),,P(m,n,,对每个正 整数n,点Pn位于函数y=x2(20)的图像上，以点Pn为圆心的OPa与x轴都相切，且⊙Pm与⊙P-1 T,☒ 彼此外切.若x1=l,且xn+1<xn(（nEN),Tn=m+1,{Tm}的前n项之和为Sm,则S=(） 5 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) (多选)9.(6分)已知a,B是两个不重合的平面，m,”是两条不重合的直线，则下列命题是真命题的 是( A.如果alB,mla,nLB,那么mln B.如果m1,a,那么mn C.如果mn,aB,那么m与a所成的角和n与B所成的角相等 D.如果alB,mC,ncB,那么mn (多选)10.(6分)对于数列{an},若a=1,4=2,a*2=a+2(nEN),则下列说法正确的是（) A.2=0 B.数列{an}是单调递增数列 C.数列{a2m-1}是等差数列 D.数列{a+arl}是等差数列 (多选)11.(6分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点到点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之积 为定值入(2>0)，且曲线C经过坐标原点，若点P(o,0)为曲线C上一点，则() A.曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形 B.曲线C的方程为x2+y2+4=2x2+4 C.的取值范围-1，刂 D,曲线C上任意两点问距离的最大值为4√2 三、填空题（共3小题，每空5分，共15分） 12.(5分)已知{am}为等差数列，Sm为其前n项和，若m=8,a+m=0,则S8= 13.(5分)在平面直角坐标系中，圆0的圆心为原点，半径长为1：圆C的圆心为点C(3,4),半径长 为2，点P是圆O上的动点，过P点作圆C的两条切线，切点分别为M点和N点，则四边形PMCN 周长的最小值为 14.(5分)已知三棱锥P-ABC的所有棱长均为4V6,在三棱锥内部且半径=1的球O可向各个方向自 由运动，则球O表面永远不可能接触到的三棱锥内表面的面积为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)在数列{an}中，已知a=1,a+1=2a+2n-3. (1)若bm=aw+21-1,证明：数列{bm}是等比数列. (2)求{an的前n项和Sm 16.(15分)己知四棱柱ABCD-AIB1C1D1中，底面ABCD为梯形，ABICD,A14⊥平面ABCD,ADLAB, 其中AB=AA=2,AD=DC=1,N是B1C1的中点，M是DD1的中点. (1)求证D1W平面CB1M: (2)求平面CB1M与平面BB1CC1的夹角余弦值. B B 17.(15分)己知抛物线C:y2=2r(p>0)的准线与x轴的交点为(-1,0). (I)求C的方程： (Ⅱ)若过点P(2,0)的直线/与抛物线C交于A,B两点，请判 PA即+P是否为定值，若是， 求出该定值：若不是，请说明理由. p 2了，☒ 18.(17分)如图，半圆面O1平面ABCD,四边形ABCD是矩形，且AB=1,AD=2,M,N分别是圆弧 AD,线段AC上的动点（不含端点），且MN=1. (1)证明：平面CMA1平面CMD: (2)若c0sLM0D=-子求4M (3)设LMOD=0,证明：当直线MN与平面ABCD所成角取最大值时，ACLMN. M 9.17分)已加双自统E:票-节-1的左右顶点分别为，B,右焦点月60)到精近距宽为1。 且其中一条新近线候斜角号 (1)求双曲线E的方程； (2)斜率存在且非0的直线I与双曲线交于C,D,CA与BD交于Q. (1)是否存在直线1，使得CD中点为T(3,-1)?若存在，求出1直线方程，若不存在，说明理由： ()若1过P(3,0),设△QAB面积为S1,△OCD面积为S2,证明：S2>S. 了，☒ 答案与解析 一.选择题（共8小题） 题号 2 6 答案 A A B D C D B 二.多选题（共3小题） 题号 9 10 1 答案 BC ACD ACD 一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1.(5分)若方程x2+2-2x-21+m=0表示圆，则m可以为() A.0 B.2 C.4 D.2025 【解答】解：由（-2)2+（-2)2-4×m>0,解得m<2. 结合选项，符合条件的只有0. 故选：A 2.(5分)己知等比数列{am}的前3项积为8，a1>0,a4=8,则ag等于() A.4 B.-4 C.16 D.2 【解答】解：等比数列{am}的前3项积为8，a1>0,a4=8, (aaiqaq2=8 a1q3=8 (a1>0 解得a=1,q=2, 则a3=a1q2=4. 故选：A. 3.(5分)已知四面体PABC中，点M为AB的中点，若CM=xPA+yPB+zPC,则x,y,:分别为() A.-1,2-克 c.-2-2 D.11,克 【解答】解：四面体PABC中，点M为AB的中点，则利用向量的线性运算， CM-TPA+PB-PC: 1 所以x=y=:=1. 故选：B。 4(5分)以椭圆之+上 3× =1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线的倾斜角的正弦值为() 2 A月 C. 3 解答】解：储圆+=1焦点坐标为山，0)，项点坐标为生V3,0 故双曲线中a=1,c=3,由b2=c2-2=2, 所以双曲线的方程为x2-兰=1，渐近线的方程炒=士V2x。 设倾斜角为0，e[0,m),得tan0=士V2.由同角三角函数的基本关系，可得sin0= 31 故选：D. 5.(5分)若直线1：y=-+1与直线2关于直线：x-41=0对称，则直线2一定过定点() A.(2,0) B.(0,-2) C.(0,2) D.(-2,0) 【解答】解：直线1：y=x~+1与直线2关于直线：x~+1=0对称， 易知直线1：y=-+1恒过点(1,1)， 所以可得直线2一定过(1,1)关于直线：x-+1=0的对称点， a-1 b-1 =-1 设对称点坐标为(a,b),可得 a+1_b+1 解得6=8 2 2 +1=0 即直线2一定过定点(0,2). 故选：C. 6.(5分)如图，在三棱锥M-ABC中，MA1平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形，MA=2√3，F是 MC的中点，则异面直线MB与AF所成角的余弦值是() M 3 A. B.3 c.3 D. 5 6 【解答】解：设E为BC的中点，连接FE,如图， M F E B E是BC的中点， :FE ll BM,MB =4,FE =2,AF=2,AE =3, 22+22-35 在△AFE中，由余弦定理可知C0 SLAFE=2x2X2 :异面直线距与AF所成角的余弦值为 5 故选：D. 7.(5分)设0是坐标原点，F是抛物线y2=2r(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向 的夹角为60°，则直线OA的斜率为() A.V3 。 D. 3 2 【解答】解：如图所示过A点作AD⊥r轴，令FD=m, 因为F是抛物线2=2r(p>0)的焦点，FA与x轴正向的夹角为60°， 所以由抛物线的性质得FA=2m=m+p,解得m=p, 所以OD=多P,因为在直角三角形ADF中，1DF=90,AF=2p,DF=p, 所以4AD=3D 所以直线04斜率=A0=3=23 06 3 故选：B. 8.(5分)如图，在xOy平面上有一系列点P1(x1,1),P2(2,2),,P(x,),,对每个正 整数，点Pn位于函数y=x2(x20)的图像上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴都相切，且⊙Pn与⊙P+1 彼此外切.若x=1,且xn+1<xn(nEN),Tn=xom1,{Tn}的前n项之和为S,则Ss=（） P 0 B C.H D. 【解答】解：因为⊙P:与⊙P+1彼此外切， 所以Vcn-xn+i)2+yn-yn+1)2=Jrt+1. 即(xn-m1)2+(n-n+1)2=(ntm1)2 f所以(xn-xm1)2=(w+y1)2.(-+1)2 =4n1=4x7x行+1 由xn+1<xn(neW), 所以-xr1=2om*1,所以1-工 =2, Xn+1 Xn 所以数列{一；是首项为1，公差为2的等差数列， Xn 所以上=1+2（m-1)=2m1. Xn 1 1（1-1), 所以xa=2m则Ti=xmm1=2m-(2n+D=乞（2n-1-2n+1 所以s=是1-号+号吉++号品》=是1-7》=品 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) (多选)9.(6分)已知a,B是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题是真命题的 是() A.如果caB,mLa,n1B,那么mn B.如果m⊥a,nla,挪么mLn C.如果mn,cαB,那么m与α所成的角和n与阝所成的角相等 D.如果clB,mCa,nCB,那么mln 【解答】解：如果cB,mLa,LB,那么mlm,所以A选项借误； 如果mla,c,那么mLn,所以B选项正确： 如果mm,α邮，那么m与α所成的角和n与B所成的角相等，所以C选项正确； 如果aB,mca,ncB,那么mn或m与n异面，所以D选项错误。 故选：BC. (多选)10.(6分)对于数列{an},若a1=1,a4=2,a-2=a+2(nEN),则下列说法正确的是() A.a2=0 B.数列{an}是单调递增数列 C.数列{a2-1}是等差数列 D.数列{aw+am1}是等差数列 【解答】解：对A,由题意a4=2,4=+2,故m=0,故A正确： 对B,因为a1=1,m=0,a>m,故B错误； 对C,a2n+)-1-a2m-1=a2m+1-a2m-1=2(nEN"),故数列{a2r-1}是等差数列，故C正确： 对D,(an+1+an+2)-(an+an+i)=an+2-an=2(neN),故数列{am+ar1}是等差数列，故D正确. 故选：ACD (多选)11.(6分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点到点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之积 为定值入（入>0），且曲线C经过坐标原点，若点P(x0,0)为曲线C上一点，则() A.曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形 B.曲线C的方程为x2+y2+4=2Vx2+4 C.0的取值范围为-1,1] D.曲线C上任意两点间距离的最大值为4V2 【解答】解：根据题意，曲线C上的点到点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之积为定值入， 且曲线C经过坐标原点.设点P(x,y)为曲线C上任意一点， 则有：√x+2)2+y2√(x-2)2+y2=,由于曲线C经过坐标原点， 代入原点坐标(0,0)得：入=4， 因此，曲线C的方程为：√x+2)2+y√-2)2+y2=4①， 9 对于A,用(·，-y)替换方程①中的(x,y),方程整理后与原方程相同，所以曲线C关于原点O 中心对称， 川（一x,)营换方程中的(x,y),方程整理后与原方程相同，所以曲线C关于y轴对称 因此，曲线C既是中心对称图形又是抽对称图形，放A正确。 对于B,由方程①整理得(2+24)2-162=16， 所以x2+y2+4=4Vx2+1,故B错误： 对于C.限据三角形的等面积法可知，SaP听5=PFPF:lsin-F1PF=号×4o, 即o=sin∠FPF2,即-1<1o<l, 所以的取值范围·【，小，故C正确： 对于D,任收曲线上P,Q两点，则POsPO+OO,当且仅当P,O,Q三点共线时取等号， 由B选项分析知曲线C关于原点对称，所以P,O,Q三点共线时，点P和点Q关于原点对陈， 所以求曲线C上任意两点间距离的最大值转化为求2POm,因为2P0=(PF+PF2): 则4P02=(PR+PF2)2,即4P02=|PFP+PFP+2 IPFI-IPF2cos∠FPF2②， 根据余弦定理可得IEFP=PRP+1PFP-21P下PFcos∠FPF, 即16=PFIP+IPFP-2 PFlIPFzlcos∠5PF,③， 联立②③可得4P02-16=41 PFIIPFalcos2RPF2, 即P02=4(cos∠FPF2+1)≤8，即x6+y6e[0,8, 曲线C上仟意两点间距离的最大值为2√x后+疗=42，放D正确。 放选：ACD. 三、填空题（共3小题，每空5分，共15分） 12.(5分)己知1an!为等差数列，Sm为其前n项和.若a1=8,+m=0,则S8=8 【解答】解：{am;为等差数列，Sm为其前n项和，=8，仍+a7=0, 8+28+6=16+8d=0, 解得d=-2. 期5=8x8+8竖x(-2)=8. 故答案为：8 13,(5分)在平面直角坐标系中，圆O的圆心为原点，半径长为1：圆C的圆心为点C(3,4),半径长 10