1.5.1 数量积的定义及计算同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.5.1　数量积的定义及计算 一、必备知识基础练 1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于(　　) A.9 B.0 C.-3 D.-9 2.已知正方形ABCD的边长为3,=2,则=(　　) A.3 B.-3 C.6 D.-6 3.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若,则AB的长为(　　) A. B.1 C. D.2 4.E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,若()·()=0,则四边形EFGH是(　　) A.梯形 B.正方形 C.菱形 D.矩形 5.(多选题)(2025甘肃酒泉高一期末)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则下列结论成立的有(　　) A.|b|= B.a·b= C.b⊥(2a-b) D.a在b方向上的投影是 6.(2025甘肃兰州高二期末)已知单位向量a,b满足(a+b)·(a-2b)=-,则|a+b|=　　　　. 7. (人教A版教材习题)如图,在☉C中,是不是只需知道☉C的半径或弦AB的长度,就可以求出的值? 8.已知向量a,b满足|a|=,|b|=1. (1)若a,b的夹角θ为,求|a+b|; (2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角θ. 二、关键能力提升练 9.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|=(　　) A.2 B. C. D. 10.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有(　　) A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 11.若向量a,b满足|a|=|b|=1,且a·(a-b)=,则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 12.(2025甘肃张掖高一期末)在△ABC中,∠BAC为直角,∠BAC的平分线AD交BC于点D,且有+t,t∈R.若AB=4,则AD=　　　　.  13.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状? 14.(人教A版教材习题)如图,在△ABC中,AD=AB,点E,F分别是AC,BC的中点.设=a,=b. (1)用a,b表示. (2)如果∠A=60°,AB=2AC,CD,EF有什么关系?用向量方法证明你的结论. 三、学科素养创新练 15.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是(　　) A. B. C. D. 16.已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角. 参考答案 1.D　由已知得p·q=3×3×cos 180°=-9. 2.A　如图,因为正方形ABCD的边长为3,=2,所以=()·()=·()=||2-|2=32-×32=3.故选A. 3.D　设AB的长为a,因为, 所以·()=||2+=1+1··cos 120°=,解得a=2. 4.D　由题意可知EF∥AC,GH∥AC, 所以EF∥GH. 同理可得EH∥FG,所以四边形EFGH为平行四边形. 因为()·()=0,即=0,所以AC⊥BD,所以EF⊥GF,所以四边形EFGH为矩形. 5.AC　对于A,因为|2a-b|=1, 所以两侧平方得4a2-4a·b+b2=1, 因为向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,所以a·b=×1×|b|=|b|, 代入4a2-4a·b+b2=1中,可得4-4×|b|+|b|2=1,解得|b|=,故A正确; 对于B,由已知得a·b=|b|,|b|=,则a·b=,故B错误; 对于C,由题意得b·(2a-b)=2a·b-|b|2=3-3=0, 则b⊥(2a-b)成立,故C正确; 对于D,a在b方向上的投影是|a|cos 30°=,故D错误. 故选AC. 6.　因为(a+b)·(a-2b)=-,所以a2-2a·b+a·b-2b2=-, 所以1-a·b-2=-,所以a·b=, 所以|a+b|=. 7.解只与弦AB的长度有关,与半径无关.理由如下: 设☉C的半径为r,AB的长度为2a,取AB的中点D,连接CD(图略),则CD⊥AB. 在Rt△ACD中,AD=a,AC=r,cos∠CAD=, 所以=2a·r·cos∠CAD=2ar·=2a2. 8.解(1)由已知,得a·b=|a||b|cos×1×=1,所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=2+1+2=5,所以|a+b|=. (2)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0. 所以a·b-b2=0,即a·b=b2=1, 所以cos θ=. 又θ∈[0,π],所以θ=,即a与b的夹角为. 9.D　因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为, 所以a·b=1×2×=1,则|a+b|=.故选D. 10.ACD　根据向量数量积的分配律知,A正确; 因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0, 所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误; 因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边, 所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确; 根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确. 11.B　因为|a|=|b|=1,a·(a-b)=,即a2-a·b=,|a|2-|a||b|cos<a,b>=,求得cos<a,b>=,所以向量a与b的夹角为.故选B. 12.3　如图,过点D作DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,则+t, 所以,即=t. 又因为AD平分∠BAC,且AB=4,所以,解得AC=12. 则FA=3BF=AB,因此t=.又因为=0, 所以=2= =×122+×42=18,解得AD=3. 13.解∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d), ∴(a+b)2=(c+d)2, 即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2. 又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2, 即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2. ① 同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2. ② ①-②,得|b|2=|d|2, ①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|. 同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形. ∵,∴a=-c.又a·b=b·c,∴b·(a-c)=0, 即b·(2a)=0.∴a·b=0, ∴.故四边形ABCD为正方形. 14.解(1)a-b,a. (2)CD⊥EF.证明如下: 设AC=m,则AB=2m,EF=m. =(a-b)·a=a2-a·b=×(2m)2-×2m×m×cos 60°=m2-m2=0. 所以,所以 CD⊥EF. 15.A　由于,故其数量积是0;的夹角是,故其数量积小于0;设正六边形的边长是a,则=||||cos 30°=a2,=||||cos 60°=a2. 故选A. 16.解根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=|a|2. 而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2, ∴|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为θ. 则cos θ=.∴θ=30°. 故a与a+b的夹角为30°. 5 学科网（北京）股份有限公司 $