课时分层评价7 数量积的定义及计算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

课时分层评价7　数量积的定义及计算 (时间：40分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.已知｜a｜＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影为(　　) A.4 B.4 C.4 D.8＋ 答案：B　 解析：因为｜a｜＝8，e为单位向量，且＜a，e＞＝，由平面向量的投影定义得｜a｜·cos ＜a，e＞＝8·＝4，所以a在e方向上的投影为4.故选B. 2.若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D.π 答案：A　 解析：因为(a－b)⊥(3a＋2b)， 所以(a－b)·(3a＋2b)＝0， 即3a2－2b2－a·b＝0， 即a·b＝3a2－2b2＝b2， 所以cos＜a，b＞＝＝＝， 又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，故选A. 3.设a，b为单位向量，且｜a－b｜＝1，则｜a＋2b｜＝(　　) A. B. C.3 D.7 答案：B　 解析：因为a，b为单位向量，且｜a－b｜＝1，所以(a－b)2＝1，所以a2－2a·b＋b2＝1，解得a·b＝，所以｜a＋2b｜＝＝＝＝.故选B. 4.P是△ABC所在平面上一点，满足｜－｜－｜＋－2｜＝0，则△ABC的形状是(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：B　 解析：P是△ABC所在平面上一点，且｜－｜－｜＋－2｜＝0， 所以｜｜－｜(－)＋(－)｜＝0， 即｜｜＝｜＋｜， 所以｜－｜＝｜＋｜， 两边平方并化简得·＝0， 所以⊥， 所以∠A＝90°，则△ABC是直角三角形. 故选B. 5.在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则·的取值范围是(　　) A. B. C.[，3] D. 答案：B　 解析：因为在平行四边形ABCD中， AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，AD＝BC＝1， 所以·＝1×2×cos 60°＝1. 因为E是AB边上的中点， 所以＝＋＝－. 又点F在BC边上， 设＝x(0≤x≤1)， 则＝＋＝＋x＝－x， 所以·＝(－)·(－x) ＝＋x－·－x· ＝×4＋x－1－x ＝1＋x. 又0≤x≤1，所以1≤1＋x≤， 故·.故选B. 6.在△ABC中，AB＝1，AC＝2，(＋)·＝2，则角A的大小为　　　　. 答案： 解析：由题意知，(＋)·＝＋·＝12＋2×1cos A＝2， 所以cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝. 7.已知｜a｜＝6，e为单位向量，若向量a与e的夹角为135°，则向量a在e上的投影向量为　　　　. 答案：－3e 解析：因为｜a｜＝6，＜a，e＞＝135°， 所以向量a在e上的投影向量为：｜a｜cos＜a，e＞·e＝6·(－)·e＝－3e. 8.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝60°，点D是AB的中点，点E满足＝，则·的值是　　　　. 答案： 解析：因为＝， 所以＝＋＝＋ ＝＋－)＝＋－) ＝＋， 所以·＝·(＋) ＝·＋ ＝×3×4×＋×42＝. 9.(15分)(1)已知单位向量e1与e2夹角为60°，且a＝e1＋e2，b＝e1－2e2，求a·b的值. (2)已知｜a｜＝，｜b｜＝3，｜a－b｜＝，求a与b夹角的余弦值. 解：(1)因为单位向量e1与e2夹角为60°， 所以e1·e2＝｜e1｜·｜e2｜cos 60°＝1×1×＝. 所以a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝－e1·e2－2＝1－－2＝－. (2)因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝7， 即2－2a·b＋9＝7， 所以a·b＝2， 所以cos ＜a，b＞＝＝＝. 故a与b夹角的余弦值为. 10.(15分)设两个向量e1，e2满足｜e1｜＝2，｜e2｜＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 解：因为｜e1｜＝2，｜e2｜＝1，e1，e2的夹角为60°， 所以e1·e2＝｜e1｜·｜e2｜cos 60°＝1， 设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ. 根据题意，得cos θ＝＜0， 所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0， 化简，得2t2＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－. 当θ＝π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此时夹角不是钝角. 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0， 则 所以实数t的取值范围是(－7，－)∪(－，－). (11、12每小题5分，共10分) 11.已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝BC＝＝2，AC＝CD＝2，点E在四边形ABCD的边上运动，则·的最小值是(　　) A.3 B.－1 C.－3 D.－4 答案：C　 解析：如图所示，因为AC⊥BD，且AB＝BC，所以BD垂直且平分AC，则△ACD为等腰三角形，又AC＝CD＝2，所以△ACD为等边三角形.则四边形ABCD关于直线BD对称，故当点E在四边形ABCD的边上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可，因为AB＝BC＝＝2，易知BC2＋CD2＝BD2，即BC⊥CD，则·＝0， ①当点E在边BC上运动时，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝(λ－1)，所以·＝·(＋)＝λ·(λ－1)＝4λ(λ－1)＝4(λ－)2－1，当λ＝时，·的最小值为－1； ②当点E在边CD上运动时，设＝k(0≤k≤1)，则＝(k－1)，所以·＝(＋)·＝(k－1)·k＝12k(k－1)＝12(k－)2－3，当k＝时，·的最小值为－3；综上，·的最小值为－3.故选C. 12.如图所示，半圆的直径AB＝10，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为　　　　. 答案： － 解析：根据题意，O为圆心，即O是AB的中点，则＋＝2， 则(＋)·＝2·＝2｜｜·｜｜cos π ＝－2｜｜(5－｜｜)＝2(｜｜－)2－， 又0≤｜｜≤5， 所以－≤(＋)·≤0， 即(＋)·的最小值是－. 学科网（北京）股份有限公司 $