第三单元 长方体和正方体（单元自测·基础卷）数学冀教版五年级下册数学

参考答案 1． 4厘米 2厘米 2厘米 3厘米 【分析】根据题意可知，左图摆成一个长方体，长是（1×4）厘米，宽是（1×2）厘米，高是（1×2）厘米； 右图摆成一个正方体，棱长是（1×3）厘米，据此解答。 【详解】长：1×4＝4（厘米） 宽：1×2＝2（厘米） 高：1×2＝2（厘米） 正方体棱长：1×3＝3（厘米） 长＝4厘米  宽＝2厘米  高＝2厘米    棱长＝3厘米。 2． 40 15 24 【分析】根据长方形的面积＝长宽，观察可知长方体前面是一个长8分米，宽5分米的长方形，右面是一个长5分米，宽3分米的长方形，底面是一个长8分米，宽3分米的长方形，分别代入长方形的面积公式计算即可得解。 【详解】（平方分米） （平方分米） （平方分米） 长方体前面的面积是40平方分米，右面的面积是15平方分米，底面的面积是24平方分米。 3． 68 20 【分析】长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4；长方体的占地面积可以是长×宽、长×高、宽×高这三个面的面积中的一个面，代入数值计算出这三个面的面积，再比较大小即可得出最小的占地面积。 【详解】铁丝的总长度： （8＋4＋5）×4 ＝17×4 ＝68（cm）； 长方体占地面积分别是： 8×4＝32（cm2） 8×5＝40（cm2） 4×5＝20（cm2） 所以占地面积最小的是20cm2。 做这个框架至少需要铁丝（68）cm，这个长方体占地面积最小是（20）cm2。 4．3 【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，用4×12即可求出铁丝的长度；再根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用铁丝的长度÷4－6－3即可求出长方体框架的高。 【详解】4×12＝48（厘米） 48÷4－6－3＝3（厘米） 长方体框架的高是3厘米。 【点睛】本题主要考查了正方体棱长和公式、长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 5．20 【分析】根据前面的面积＝长×高，用30÷5即可求出长方体的长，再根据长方体的底面周长＝（长＋宽）×2，用底面周长除以2再减去长，即可求出长方体的宽，最后根据左面的面积＝宽×高，代入数据解答。 【详解】长：30÷5＝6（厘米） 宽：20÷2－6 ＝10－6 ＝4（厘米） 4×5＝20（平方厘米） 左面面积是20平方厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体的认识以及长方形面积公式的灵活应用。 6． 11 6 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；根据题意，高减少5cm，这时表面积比原来减少了120cm2，表面积减少的是高为5cm的长方体的4个侧面的面积；首先求出减少部分的1个侧面的面积，120÷4＝30cm2；由已知如果高减少5cm，就成为一个正方体，说明原来长方体的底面是正方形；根据长方形的面积公式s＝ab，用30÷5＝6cm，原来长方体的底面边长就是6cm，原来的高是6＋5＝11cm。 【详解】原来长方体的底面边长是： 120÷4÷5 ＝30÷5 ＝6（cm） 原来长方体的高是： 6＋5＝11（cm） 原长方体的高是11cm，长是6cm。 【点睛】此题解答关键是求出原来长方体的底面边长，进而求出高。 7． 4 10 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－3－2”型。折成正方体后，2x与右边中间的8相对，上面的8与下面的8相对，y与10相对，据此求出x和与的值。 【详解】根据分析可知，折成正方体后，2x与8相对；8与8相对；y与10相对。 2x＝8 x＝8÷2 x＝4 y＝10 如果正方体相对的面上标注的数值相等，那么x＝4，y＝10。 【点睛】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可以自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。 8． 8 24 【分析】一面涂色的在每个面的中间、两面涂色处在棱的中间和三面涂色的处在顶点上，六个面都没有色的小正方体处在大正方体的中心；三面涂色的8个顶点上；一面涂色的＝每个面上的个数×6，两面涂色的＝每条棱上的个数×12，六个面都没色的＝总个数－一面涂色的个数－两面涂色的个数－三面涂色的个数；据此解答。 【详解】一面涂色的个数：6×4＝24（个） 所以三面涂色的小正方体的个数是8个，一面涂色的小正方体的个数是24个。 【点睛】本题关键是理解，正方体涂色后，每种涂色的个数与正方体的棱、顶点、和面之间的规律。 9． 88 224 【分析】长方体的棱长总和＝长×4＋宽×4＋高×4，根据题意知：2条长2条宽的和是28cm，28再乘2就是4条长、4条宽的和，再加4条高的和，就是长方体铁丝框架的棱长总和。 再根据无底无盖长方体的表面积公式：S＝（ah＋bh）×2，也就是长方体的侧面积＝底面周长×高，把数据代入公式解答。 【详解】28×2＋8×4 ＝56＋32 ＝88（cm） 28×8＝224（cm2） 至少需要88cm的铁丝，224cm2彩纸。 【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和公式、长方体的侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 10． 12150 5.4 【分析】正方体表面积＝棱长×棱长×6，根据表面积公式计算需要红纸的面积； 正方体棱长和＝棱长×12，根据公式计算出需要胶带纸的长度。 【详解】45×45×6 ＝2025×6 ＝12150（平方厘米） 45×12＝540（厘米） 540厘米＝5.4米 【点睛】考查了正方体的棱长，正方体的表面积，学生要牢记。 11．100 【分析】由图可知，表面积减少了4个面，每个面的面积＝棱长×棱长，用每个面的面积×减少的面的个数即可。 【详解】（3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 表面积比原来减少了100平方厘米。 【点睛】此题考查了立体图形的切拼，明确减少了多少个面是解题关键。 12． 黑 白 蓝 【分析】根据正方体展开图的特征，相邻必不相对，结合题干中的三幅图示分析解答即可。 【详解】根据图示，白和绿、红、黑、蓝相邻，所以白和黄相对； 红和绿、白、黄、蓝相邻，所以红和黑相对； 由此可知蓝和绿相对。 所以木块上的红色面与黑色面相对，黄色面与白色面相对，绿色面与蓝色面相对。 13． 13 325 【分析】正面有5个面外露，右面有5个面外露，上面有3个面外露，由此得共有13个面外露．根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式求出正方体的一个面的面积，然后乘13即可；据此解答。 【详解】正面有5个面外露，右面有5个面外露，上面有3个面外露，一共有5＋5＋3＝13个面露在外面。 露在外面的面积是： 5×5×13 ＝25×13 ＝325（平方厘米） 【点睛】正确数出露在外面面的个数是解题的关键。 14．D 【分析】根据正方体11种展开图进行分析，是正方体11种展开图里的情况能折成正方体，不是正方体11种展开图里的情况不能折成正方体。 【详解】A．2－3－1型正方体展开图，能折成正方体； B．1－4－1型正方体展开图，能折成正方体； C．2－3－1型正方体展开图，能折成正方体； D．不是正方体展开图，不能折成正方体。 不能折成正方体的是。 故答案为：D 15．D 【分析】根据图中所示，设每个小正方形面积是1，数出甲、乙、丙三个图形每个面各有几个小正方形，进而求出表面积，据此解答。 【详解】甲模型前后各有4个，上下各有4个，左右各有3个，所以表面积为（4＋4＋3）×2×1＝22； 乙模型前后各有4个，上下各有4个，左右各有3个，所以表面积为（4＋4＋3）×2×1＝22； 丙模型前后各有4个，上下各有4个，左右各有3个，所以表面积为（4＋4＋3）×2×1＝22； 以三个模型的表面积相等。 故答案为：D 【点睛】本题考查了同学们的空间想象能力，数出每个面的有多少个正方形，是解答本题的关键。 16．C 【分析】 如图： 观察题意可知， 3个小正方体拼接成一个长方体，表面积减少了4个小正方形面的面积， 每个面积的边长是2分米，根据正方形面积公式，用2×2×4即可求出减少的面积。 【详解】2×2×4＝16（平方分米） 这个长方体的表面积比原来三个正方体的表面积之和少了16平方分米。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了立体图形的切拼，注意仔细计算减少的小正方形面的个数。 17．D 【分析】根据正方体的展开图可知，以“水”字所在的面为正对我们的面，将正方体复原，即可找到“桥”的对面是“家”，“流”的对面是“人”，“小”的对面是“水”。 【详解】如图所示的图形折成一个正方体后，与“桥”字相对的面上的字是“家”。 故答案为：D 【点睛】本题考查的是对正方体展开图的认识。 18．B 【分析】根据题意，这个长方体的棱长和是80厘米。将棱长和除以4，求出长、宽、高之和，再将其减去长10厘米，即可求出宽和高的和。又因为左、右侧面是正方形，那么宽和高相等，那么将宽和高的和除以2，即可求出高。 【详解】80÷4＝20（厘米） （20－10）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 所以，这个长方体框架的高是5厘米。 故答案为：B 【点睛】本题考查了长方体的棱长和，长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，那么长＋宽＋高＝长方体棱长和÷4。 19．B 【分析】求出长方体长、宽、高的最小公倍数，就是搭出的最小正方体的棱长。 【详解】3×2＝6（厘米），搭出的最小正方体的棱长是6cm。 故答案为：B 【点睛】关键是熟悉长方体和正方体的特征，两数互质，最小公倍数是两数的积。 20．× 【分析】根据正方体的特征：正方体的所有棱长都相等，则正方体的所有面都相等，即所有面都是正方形；再根据长方体的特征：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；由此解答。 【详解】由分析可知：正方体的每个面一定都是正方形，长方体的每个面不一定都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。 所以原题说法错误。 故答案为：× 21．× 【分析】由题意可知，这根铁丝的长度就是正方体的棱长总和，根据正方体的棱长总和＝棱长×12的逆运算，用铁丝的长度除以12即可得解。 【详解】（厘米） 用一根长是36厘米的铁丝做一个正方体模型，棱长应该是3厘米。原题说法错误。 故答案为：× 22．√ 【分析】如图，结合长方体展开图的特征由此解答即可。 【详解】根据长方体展开图的特征可知：折成长方体后，1面与3面相对，2面与5相对，4面与6相对，因此，如果2号面在左面，那么5号面在右面，所以判断正确。 【点睛】本题考查的知识点有：长方体的展开图，长方体展开图与正方体展开图类似，不同的是正方体展开图6个正方形相同，而长方体是对面相等的长方形。 23．× 【分析】长方体有6个面，最多可以有2个面是正方形，据此回答即可。 【详解】看到一个盒子一面是正方形，它有可能是一个有2个面是正方形的长方体，所以这个盒子不一定是正方体。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查从不同位置观察单个物体和长方体的特点，熟练掌握即可。 24．√ 【分析】根据长方体的特征进行判断，一般情况，长方体最多有两个面完全相同，最多4条棱长度相等；特殊情况，如果有两个相对的面是正方形时，最多有4个面是完全相同，最多8条棱长度相等。据此解答。 【详解】根据分析可知，长方体最多有8条棱的长度相等。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握长方体的特征是解答本题的关键。 25．294cm2 【分析】根据正方体的表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，即可解答。 【详解】7×7×6 ＝49×6 ＝294（cm2） 26．220cm2 【分析】在计算它的表面积时，上面的正方体只求4个侧面的面积，下面的长方体求它的表面积，然后合并起来，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据分别代入公式解答。 【详解】3×3×4＋（8×4＋4×5＋8×5）×2 ＝36＋（32＋20＋40）×2 ＝36＋92×2 ＝36＋184 ＝220（cm2） 27．96平方分米 【分析】长方体木料截成两个长方体，表面积增加2个截面，平行于长方体木料最大的面截成两个长方体，表面积增加的最多，观察长、宽、高，用长×宽×2＝最多增加的表面积。 【详解】8×6×2＝96（平方分米） 答：表面积最多可增加96平方分米。 28．100平方厘米 【分析】根据题意可知，长方体被截成2块，表面积增加了2个长方形面，每个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，根据长方形的面积公式，用10×5×2即可求出增加的面积。 【详解】10×5×2＝100（平方厘米） 答：表面积增加了100平方厘米、 【点睛】本题考查了立体图形的切割，注意表面积增加了哪些面。 29．23.4平方米 【分析】求制作这个无盖水族箱至少需要多少平方米玻璃，就是求这个长方体水族箱的五个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】6×0.6＋（6×1.5＋0.6×1.5）×2 ＝3.6＋（9＋0.9）×2 ＝3.6＋9.9×2 ＝3.6＋19.8 ＝23.4（平方米） 答：制作这个水族箱至少需要用23.4平方米玻璃。 【点睛】熟记长方体表面积公式是解答本题的关键。 30．15.6米 【分析】根据图形可知，蚊帐四周的钢管由2个长方体的长，2个长方体的宽，和4个长方体的高组成，即：长×2＋宽×2＋高×4，代入数据，即可解答。 【详解】2×2＋1.8×2＋2×4 ＝4＋3.6＋8 ＝7.6＋8 ＝15.6（米） 答：固定这样一个蚊帐至少需要15.6米的钢管。 【点睛】根据长方体的特征以及长方体有关棱长的应用进行解答。 31．（1）256平方分米 （2）128平方分米 【分析】（1）根据题意，切成两个完全一样的小长方体，则切成的长方体的长等于原正方体棱长的一半，宽等于原正方体的棱长，高等于原正方体的棱长，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答； （2）把正方体切成两个一样的长方体，两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多原来正方体的两个面的面积，据此解答。 【详解】（1）8÷2＝4（分米） （4×8＋4×8＋8×8） ＝（32＋32＋64）×2 ＝（64＋64）×2 ＝128×2 ＝256（平方分米） 答：每个小正方体的表面积是256平方分米。 （2）8×8×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 答：两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多128平方分米。 【点睛】解答本题的关键明确切成的小长方体长、宽、高与原正方体棱长之间的关系，进而解答。 32．（1）2米； （2）24平方米 【分析】（1）根据正方体的棱长总和＝棱长×12，则棱长＝棱长总和÷12求解； （2）根据正方体的表面积公式S＝6×棱长×棱长，即可求出需要的铁皮的面积。 【详解】（1）24÷12＝2（米） 答：这个框架的棱长是2米。 （2）6×2×2＝24（平方米） 答：需要24平方米的铁皮。 【点睛】掌握正方体的表面积和体积公式是解题的关键。 33．（1）包装箱的长180厘米；宽12厘米；高12厘米（答案不唯一） （2）包装箱长20厘米、宽36厘米，高36厘米；最少5472平方厘米 【分析】 （1）如图，可以设计一种能放下2层汽车玩具盒的包装箱，包装箱的长＝汽车玩具盒的长×9，包装箱的宽＝汽车玩具盒的宽，包装箱的高＝汽车玩具盒的高×2，据此分析，答案不唯一。 （2）要想用料最少，尽可能的将玩具盒较大较多的面拼起来，如图、、三种拼法，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别计算出表面积，比较即可。 【详解】（1）20×9＝180（厘米） 6×2＝12（厘米） 答：可以设计一种长180厘米，宽12厘米，高12厘米的包装箱。 （2）长：20厘米 宽：12×3＝36（厘米） 高：6×6＝36（厘米） （20×36＋20×36＋36×36）×2 ＝（720＋720＋1296）×2 ＝2736×2 ＝5472（平方厘米） 长：20×2＝40（厘米） 宽：12×3＝36（厘米） 高：6×3＝18（厘米） （40×36＋40×18＋36×18）×2 ＝（1440＋720＋648）×2 ＝2808×2 ＝5616（平方厘米） 长：20×3＝60（厘米） 宽：12×3＝36（厘米） 高：6×2＝12（厘米） （60×36＋60×12＋36×12）×2 ＝（2160＋720＋432）×2 ＝3312×2 ＝6624（平方厘米） 6624＞5616＞5472 答：当包装箱长20厘米、宽36厘米，高36厘米时用料最少，最少是5472平方厘米。 【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体表面积公式。 ( 12 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2025-2026学年五年级数学下学期第三单元 长方体和正方体 自测卷 【基础卷】 卷面分数：100分；建议用时：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置。 2．判断题、选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非判断、选择题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案正确填写在规定的位置上。 3．所有题目必须在答题区上作答。 4．测试范围：第三单元。 评卷人 得分 一、填空题（共29分） 1．（本题4分）下图中的长方体和正方体都是由棱长是1厘米的小正方体摆成的。 长＝   宽＝   高＝      棱长＝ 2．（本题3分）下图中的长方体，前面的面积是( )平方分米，右面的面积是( )平方分米，底面的面积是( )平方分米。 3．（本题2分）用铁丝焊成一个长方体框架（如图），做这个框架至少需要铁丝( )cm，这个长方体占地面积最小是( )cm2。 4．（本题2分）一根铁丝可以做一个棱长是4厘米的正方体框架，如果用这根铁丝做一个长6厘米、宽3厘米的长方体框架，长方体框架的高是( )厘米。 5．（本题2分）一个长方体的底面周长是20厘米，前面面积是30平方厘米，高为5厘米。则左面面积是( )平方厘米。 6．（本题2分）一个长方体，若高减少5cm，变成一个正方体，正方体的表面积比原长方体的表面积减少120cm2，原长方体的高是( )cm，长是( )cm。 7．（本题2分）下面是一个正方体的展开图，如果正方体相对的面上标注的数值相等，那么x＝( )，y＝( )。 8．（本题2分）把一个棱长4cm的正方体的表面分别涂上颜色，再切成棱长1cm的小正方体，如图（损耗忽略不计），其中三面涂色的小正方体有( )块，一面涂色的小正方体有( )块。 9．（本题2分）做一个底面周长是28cm，高是8cm的长方体铁丝框架，至少需要( )cm的铁丝。如果一圈四周贴上彩纸，至少需要( )cm2彩纸。 10．（本题2分）中队委员把一个棱长45cm的正方体纸盒的各面都贴上红纸，将它作为给希望小学捐款的“爱心箱”，至少需要( )平方厘米的红纸；如果只在棱上粘贴胶带纸，至少需要( )米的胶带纸。 11．（本题2分）有三个同样大的正方体铁块，棱长都是5厘米，将它们拼成下图的形状，表面积比原来减少了( )平方厘米。 12．（本题2分）有一个正方体小木块，它的六个面分别涂有不同的颜色。分三次把它放在桌面上，如图所示。木块上的红色面与( )色面相对，黄色面与( )色面相对，绿色面与( )色面相对。 13．（本题2分）有7个棱长为5cm的正方体放在墙角处（如图）。一共有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 评卷人 得分 二、选择题（共12分） 14．（本题2分）下面的图中，不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 15．（本题2分）下图是用5个相同的正方体木块搭出的三个模型。比较三个模型的表面积，下面说法正确的是（    ）。 A．图甲的表面积最大 B．图乙的表面积最大 C．图丙的表面积最大 D．三个模型的表面积相等 16．（本题2分）把3块棱长为2分米的正方体木块拼成个一个长方体，这个长方体的表面积比原来三个正方体的表面积之和少了（    ）平方分米。 A．8 B．12 C．16 D．24 17．（本题2分）把如图所示的图形折成一个正方体后，与“桥”字相对的面上的字是（    ）。    A．小 B．水 C．人 D．家 18．（本题2分）李叔叔用80厘米长的铁丝正好做了一个长方体框架，长10厘米，左、右侧面是正方形，这个长方体框架的高是（    ）厘米。 A．4 B．5 C．8 D．10 19．（本题2分）用长是3cm、宽和高都是2cm的长方体积木搭一个正方体，搭出的最小正方体的棱长是（    ）cm。 A．1 B．6 C．12 D．24 评卷人 得分 三、判断题（共10分） 20．（本题2分）正方体的每个面一定都是正方形，长方体的每个面一定都是长方形。( ) 21．（本题2分）用一根长是36厘米的铁丝做一个正方体模型，棱长应该是6厘米。( ) 22．（本题2分）把下面这个展开图折成一个长方体（数字在长方体内侧），如果2号面在左面，那么5号面在右面。( ) 23．（本题2分）看到一个盒子一面是正方形，则这个盒子一定是正方体。( ) 24．（本题2分）长方体最多有8条棱的长度相等。( ) 评卷人 得分 四、计算题（共9分） 25．（本题4分）求下面图形的表面积。 26．（本题5分）计算下面物体的表面积。（单位：cm） 评卷人 得分 五、解答题（共40分） 27．（本题5分）将一个长是8分米、宽是6分米、高是4分米的长方体木料截成两个长方体，表面积最多可增加多少平方分米？ 28．（本题5分）一块砖长20厘米，宽10厘米，高5厘米，将它从中间截成两块（如下图），表面积增加了多少平方厘米？ 29．（本题5分）一个长方体的无盖水族箱，长是6米，宽是0.6米，高是1.5米。制作这个水族箱至少需要用多少平方米的玻璃？ 30．（本题5分）欢欢家有一个长方体形状的蚊帐，长2米，宽1.8米，高2米。如图，蚊帐的四周由钢管固定（底部的四边没有钢管）。固定这样一个蚊帐至少需要多长的钢管？ 31．（本题6分）如图，将一个棱长8分米的正方体木块，切成两个完全样的小长方体。 （1）每个小长方体的表面积是多少平方分米？ （2）两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多多少平方分米？ 32．（本题7分）用24米长的钢筋，围成一个正方体框架。 （1）这个框架的棱长是多少米？ （2）在它的周围包上铁皮，需要多少平方米的铁皮？ 33．（本题7分）一种汽车玩具包装盒如下图。玩具厂生产的汽车玩具在出厂前计划用一种长方体纸箱装这种汽车玩具盒，每箱装18盒。 （1）请你设计一种符合要求的包装箱。 （2）与同学议一议：谁设计的包装箱用料最少？最少是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $