8.1 条件概率（题型专练，5基础2提升题型+培优）高二数学苏教版选择性必修第二册

8.1 条件概率 题型一 条件概率的公式计算 1．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）已知事件相互独立，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据事件相互独立可知，再根据求解即可. 【详解】因为事件相互独立，, 所以， 所以 故答案为： 2．（25-26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用相互独立事件的概率与条件概率计算即可. 【详解】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因为，故， 所以. 故选：C. 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式以及事件之间的关系可得的值，再根据可得，结合条件概率公式与对立事件概率关系即可得所求. 【详解】若， 则，所以，故， 所以，所以， 所以， 则. 故选：C. 4．（2026·海南海口·一模）已知，是随机事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率公式得出与的关系，然后代入公式化简即可. 【详解】由条件概率公式得， 因此， 将 代入得， 解得. 故选：D 题型二 古典概型与条件概率 1．（2026·广西·模拟预测）将单词卡片“breathless”拆解成十张字母卡片，现从中随机抽两张字母卡片，已知一张字母卡片最多只能被抽到一次，若抽到的两张卡片上的字母相同，则它们均为e的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记事件A: 抽到的两个字母相同，事件B: 抽到的字母均为e，利用条件概率的概念分别求出和 ，从而得解. 【详解】记事件A: 抽到的两个字母相同，事件B: 抽到的字母均为e， 注意到重复情况仅可能为两个e或两个s， 故，， 于是. 故选：D. 2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）某公司招募了A、B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作，已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8. (1)求A，B两位员工均能完成工作的概率； (2)证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立； (3)求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率. 【答案】(1)0.3 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）设事件表示“员工完成工作”，事件表示“员工完成工作”，根据题意，根据概率的加法公式，列出方程，即可求解； （2）根据题意，得到，独立事件的判定方法，即可得证； （3）根据条件概率公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）解：设事件表示“员工完成工作”，事件表示“员工完成工作”， 则，， 因为两位员工必定至少有一位完成工作，即事件为必然事件， 所以.   根据概率的加法公式，，解得， 所以两位员工均能完成工作的概率为0.3. （2）证明：由（1）得，且.   因为， 所以事件“员工完成工作”与“员工完成工作”不相互独立. （3）解：由（1）知：， 根据条件概率公式，可得， 故在员工完成工作的前提下，员工也完成工作的概率为. 3．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出和，再利用条件概率的计算公式计算即可. 【详解】两位游客从5个景点中任选，每人有5种选择，总事件数：种. 事件的对立事件为“两位游客都不选择葫芦古镇”，的事件数：种, 因此. 事件分为两种情况：甲选葫芦古镇，乙选其余4个景点，4种； 乙选葫芦古镇，甲选其余4个景点，4种；共种事件， 因此. 所以. 故选：C. 4．（25-26高三上·甘肃·月考）根据2025年最新旅游数据和权威推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游，记事件“乙恰好选择了三座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合排列组合应用问题列式求解. 【详解】乙恰好选择了三座城市旅游的方法数为， 而事件与都发生的所有可能结果有， 所以所求概率为. 故选：C 题型三 条件概率的性质 1．（24-25高三上·湖北·月考）已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】要判断“相互独立”与“”的条件关系，需从充分性和必要性两方面，利用条件概率公式及事件独立性定义进行推导即可. 【详解】由题意，，， 若相互独立，则相互独立，相互独立， 所以，， 所以，故充分性成立； 若，即， 则， 即，故， 即相互独立，故、相互独立，故必要性成立， 故“相互独立”是“”的充分必要条件． 故选：C 2．【多选题】（25-26高三上·湖北武汉·月考）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 【答案】BCD 【分析】根据条件概率的计算公式以及并事件的概率公式，可得方程组，进而可得，则，所以，根据相互独立满足的公式即可判断A，结合基本不等式即可求解C,根据条件概率即可求解D. 【详解】由可得, 又, , 则, 不妨设，则， 所以，化简得， 设，则，所以， 对于A，要使A，B相互独立，则需要， 即，即，不恒成立，故A错误， 对于B，由，得，， 故 ，B正确， 对于C, , 当且仅当时取到等号，而,故，C正确， 对于D,由，得,又, 所以，化简可得, 由于，则,将其代入上式得 ,化简得①， 结合②, 联立①②可得,故， 解得，则，故，故D正确. 故选：BCD 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据概率公式和条件概率公式进行求解即可. （2）先根据条件概率公式求出，进而可求出. （3）根据条件概率公式进行化简即可. 【详解】（1）因为，，，所以，，． （2）因为，所以， 所以 ． （3）因为，所以， 所以，， 所以，， 所以． 4．【多选题】（24-25高二下·江苏苏州·月考）设随机事件A，B发生的概率分别为，以下说法正确的有（   ） A．若A，B为互斥事件，则 B．若A，B互相独立，则 C．若，则A，B互相独立 D． 【答案】ABC 【分析】由互斥事件加法公式计算可判断A；由独立事件乘法公式计算可判断B；由条件概率公式及相互独立事件概念可判断C；由随机事件加法公式计算可判断D. 【详解】对于A，若A，B为互斥事件，则，故A正确； 对于B，若A，B互相独立，则，故B正确； 对于C，若，则， 因为，所以，故A，B互相独立，故C正确； 对于D，随机事件A，B发生的概率分别为， 所以，故D错误. 故选：ABC 题型四 全概率公式 1．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 2．（2026·河北·模拟预测）一个不透明袋子中装有大小、材质均相同的3个白球和2个红球．有放回地进行摸球，每次摸1个球，若摸到白球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的白球；若摸到红球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的红球． (1)求第2次摸球时，摸到白球的概率； (2)求第n次摸球时，摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合分类与分步计数原理，即可求解. （2）设第次摸球时摸到红球为事件，则；当时，.设第次摸球时红球的数量为，则、，进而，即可求解. 【详解】（1）根据题意，若第一次摸出红球，则第二次摸出白球的概率； 若第一次摸出白球，则第二次摸出白球的概率. 综上，第二次摸出白球的概率. （2）设第次摸球时，摸到红球为事件，则. 当时，， 第1次摸球时袋子中有5个球，之后每次摸球时袋子中都会比上次增加1个球， 所以第次摸球时袋子中有个球. 设第次摸球时红球的数量为，则，得， 所以. 同理可得， 所以， 所以. 综上，第次摸球时，摸到红球的概率为. 3．【多选题】（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）甲盒中有4个红球和3个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球.记事件表示从甲盒中取出的小球是红球，事件表示从甲盒中取出的小球是白球，事件表示从乙盒中取出2个颜色相同的小球，事件表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由条件概率公式和组合数可得A；由独立事件的乘法公式结合组合数可得B错误；利用条件概率公式和组合数可得C；由全概率公式结合组合数可得D 【详解】由题意可得，，则，A正确. ，B错误. ，C正确. ，D正确. 故选：ACD. 4．（25-26高三上·山东临沂·期末）一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为 . 【答案】/ 【分析】先定义事件，计算甲取到玩具盲盒和文具盲盒的概率，再分别求出乙在两种情况下取到玩具盲盒的条件概率，最后利用全概率公式得到乙取到玩具盲盒的概率即可. 【详解】设 = “甲取到玩具盲盒”， = “甲取到文具盲盒”， = “乙取到玩具盲盒”， ， 若甲抽到玩具盲盒，剩余9个盲盒中还有2个玩具盲盒，则， 若甲抽到文具盲盒，剩余9个盲盒中还有3个玩具盲盒，则， 所以乙取到的是玩具盲盒的概率为 . 故答案为： 题型五 贝叶斯公式 1．（25-26高二上·黑龙江·期末）进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为 . 【答案】 【分析】根据条件概率公式、全概率公式及贝叶斯公式求解即可. 【详解】记事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人患流感”. 已知，两区的人口数的比为，所以，. 两区患流感的概率：，. 所以. 故. 故答案为：. 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 【答案】D 【分析】设相应事件，对于AB：利用全概率公式和对立事件分析求解；对于CD：根据题意结合贝叶斯公式运算求解. 【详解】设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，则：第一天去乙影院，：第二天去乙影院， 可得，，，， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D 3．（25-26高三上·广东·月考）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助条件概率公式计算即可得； （2）借助全概率公式与贝叶斯公式计算即可得. 【详解】（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”， 则，， 故； （2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”， 则，，，， 则， 故． 4．（2025高三·全国·专题练习）贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 【答案】 【分析】根据题意，记事件M表示“这个人是Rh阴性血型”，事件，，分别表示“这个人来自A，B，C地区”，利用全概率及贝叶斯公式求解即可. 【详解】记事件M表示“这个人是Rh阴性血型”，事件，，分别表示“这个人来自A，B，C地区”， 则，，， ， 故， 所以． 故答案为：. 题型一 条件概率中的证明问题 1．（23-24高三上·福建泉州·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 【答案】(1) (2)，，， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解； （3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可. 【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为， ，，，， 由全概率公式，得 ． （2）由已知得 ， ， ，， ． （3）由（2）可得，即， 可猜想： 证明如下：由条件概率及，， 得，， 所以． 2．（23-24高二下·吉林·期末）甲､乙两位同学进行轮流投篮比赛，为了增加趣味性，设计了如下方案：若投中，自己得1分，对方得0分；若投不中，自己得0分，对方得1分.已知甲投篮投中的概率为，乙投篮投中的概率为.由甲先投篮，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多2分或进行完5轮投篮后，活动结束，得分多的一人获胜，且两人投篮投中与否相互独立. (1)在结束时甲获胜的条件下，求甲比乙多2分的概率. (2)已知在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率.设事件“改变比赛规则”，事件“乙获胜”，已知，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）记甲投中为事件，乙投中为事件，则由题意可得甲与乙的比分为或或结束比赛，根据独立事件的概率公式求出每种情况的概率肉而可求出甲获胜的概率，再利用条件概率公式可求得答案； （2）由题意可得，利用条件概率公式可得，而，代入化简可证得结论. 【详解】（1）记甲投中为事件，乙投中为事件，设结束时甲获胜为事件，即2轮结束或4轮结束或5轮结束，即甲与乙的比分为或或结束比赛. 若甲与乙的比分为，则； 若甲与乙的比分为，则 若甲与乙的比分为，则 . 所以. 设结束时甲比乙多2分为事件，则， 所以， 即在结束时甲获胜的条件下，甲比乙多2分的概率为 （2）因为在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率， 所以，即. 因为，所以. 因为， 所以， 即得， 所以 即. 又因为， 所以. 因为， 所以，即得证. 3．（24-25高二下·安徽合肥·期中）（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）（i）对于事件，，，当时，求证：； （ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率. 【答案】（1）丙投篮水平较高，理由见解析；（2）（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、，根据所给条件得到方程组，求出、、，即可判断； （2）（i）根据条件概率公式证明即可；（ii）记事件“第次摸到白球”为，结合（i）的公式求出，即可得解. 【详解】（1）丙投篮水平较高，理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、. 依题意，得， 解得， 因为，所以，丙投篮水平较高. （2）（ⅰ）因为，， 所以，得证. （ⅱ）记事件“第次摸到白球”为. 由题意可知，，. 由结论， 可得. 故三次都摸到白球的概率为. 4．（2025·广东佛山·一模）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 【答案】(1)证明见解析 (2), 【分析】（1）根据条件概率的意义可证明； （2）利用（1）中的结果可求，结合全概率公式可得，利用构造法可求. 【详解】（1）若第次为甲发球的条件下第次还是甲发球， 则第次甲没有发出ACE球，故此时， 若第次不是甲发球的条件下第次是甲发球， （1）乙发ACE球，则第次是甲发球； （2）乙没有发出ACE球，则有的概率第次是甲发球； 故， 故. （2） ，, 故，所以即， 所以， 故 而，故为等比数列， 故即. 题型二 全概率公式与数列递推 1．（24-25高三上·福建漳州·月考）某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 【答案】(1)，． (2)证明见解析，． 【分析】（1）根据题意，利用互斥事件的概率公式可求得，再根据第天选择餐厅用餐的概率得到关于的表达式； （2）由（1）可得到是等比数列，利用等比数列的通项公式可求得. 【详解】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”， 则，且与互斥．根据题意得 ， ， ， ， 即． （2） 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 从而． 2．（23-24高二下·浙江·期末）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，恰有0个黑球的概率为. (1)求的值； (2)根据马尔科夫链的知识知道，其中为常数，同时，请求出； 【详解】（1）由题意恰有0个黑球的概率为. 由题意知， 所以. （2）因为， 所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以. 3．（23-24高三上·山东·月考）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值，并探究数列的通项公式； (2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【答案】(1)， (2)第二次，证明见解析 【分析】（1）根据全概率公式即可求解，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解， （2）根据，即可对分奇偶性求解. 【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，， ． 因为，，， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故． （2）证明：当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，． 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大． 4．（23-24高三上·广东广州·月考）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数． (1)求消费者甲第2次获胜的概率； (2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）应用全概率公式计算可得出； （2）计算得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；再结合分组求和计算判断最少轮数即可. 【详解】（1） （2） , , , 为等比数列, 且公比为；. , 因为单调递增， 当n为奇数时， ，所以得获奖至少要玩9轮. 当n为偶数时， ，得奖至少要玩10轮， 所以平均至少要玩9轮才可能获奖. 1．【多选题】（25-26高三上·重庆·月考）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 【答案】ABD 【分析】A：根据概率的性质即可判断；B：求条件概率即可；CD：分别讨论奖品在1，2，3，4号箱子中时，根据全概率计算公式求出，根据条件概率计算公式求出，，从而可以判断． 【详解】对于A选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱，他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配，因此，，，的概率均为，即A正确； 对于B选项，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，故B正确； 对于C、D选项， 奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故， 奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故， 奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故， 奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故， 由全概率公式可得：， ， ，故C错误，D正确． 故选：ABD． 2．（25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响． (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可； （2）（i）利用正难则反思想计算，利用分类讨论结合正难则反思想计算；（ii）分类讨论结合全概率公式得，利用递推关系作差即可证明. 【详解】（1）甲赢得挑战有两种情况，连续答对前四题或第一题答错后四题都答对， 其概率为：； （2）（i）； 当乙同学回答完6道题目后，出现连续答对至少4道题这一情形， 可能的情况为：6道都答对、连续答对5道（第1道或者第6道答错）、 连续答对4道（1~4道答对，第5道答错，第六道答对或者答错； 第1道答错，2~5道答对，第6道答错；第1道答对或答错，第2道答错，3~6道答对）， 故； （ii）乙同学答完n道题后，如果没有出现连续答对至少4道题的情形， 则由题意可如下分类： ①第n题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ②第n题答对，第题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形， 此时概率为； ③第n题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ④第n题答对，第题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为， 由全概率公式：①， 因此②， ， 所以当时，，故． 3．（25-26高三上·江苏南京·月考）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提•霍尔•游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲•沃斯•莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲•沃斯•莎凡特给出的答案； (2)当跑车门数不变，山羊门数增加，即总共门数是，其中只有一扇门后面有一辆跑车，证明：游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （2）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （3）求出换门和不换门所得奖金的均值，列不等式，解出即可. 【详解】（1）如果不换门，则中奖的概率为. 如果换门，则中奖的概率为：. 所以换门中奖的概率大，所以，应该换门. （2）因为总共门数是，则山羊门数为， 如果不换门，则中奖的概率为：. 如果换门，中奖的概率为：. 因为， 所以换门都比不换门中奖概率更高. （3）由（2）知不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为：. 要想投入5000元是值得的，须有：， 整理得：， 结合，，可得. 即当时，参与者投入5000元是值得的. 4．（25-26高三上·广西·月考）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和2个白球，乙袋内有2个红球和1个白球，根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球，若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内（含3次）停止摸球的概率为 ． 【答案】 【分析】利用全概率公式求出事件 “第1次摸到红球，第2次摸到红球”，事件“第1次摸到红球，第2次摸到白球，第3次摸到红球”，“第1次摸到白球，第2次摸到红球，第3次摸到红球”的概率，最后将它们相加即可求得结果. 【详解】设事件“3次之内（含3次）停止摸球”， 事件 “第1次摸到红球，第2次摸到红球”； 事件 “第1次摸到红球，第2次摸到白球，第3次摸到红球”； 事件“第1次摸到白球，第2次摸到红球，第3次摸到红球”； 事件“在第次摸球时首次选择甲袋”（）， 事件“一直没有选择甲袋”． 则 ． ． ． 因此． 故答案为：. 5．【多选题】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A项，1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可求解；对于B项，1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球即可求解；对于C项，先求，，再利用条件概率公式求解即可；对于D项，先求出，再利用并事件的概率公式求解即可. 【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白. 对于A项，要求，则1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可， 则，故A项正确； 对于B项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球， 所以，故B项正确； 对于C项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 或1次操作后甲口袋中恰有1个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 或1次操作后甲口袋中恰有2个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 所以， 要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 所以，则，故C错误； 对于D项，由，，， 所以，故D项正确． 故选：ABD． 6．【多选题】（25-26高二上·广东中山·月考）在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1 次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，1，0，则译码为1.）（   ） A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当0< α <0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率. 【答案】AD 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断A，B；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答. 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积事件， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B错误； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是收到两个1和一个0，或者收到三个1， 收到两个1和一个0的概率是，收到三个1的概率为， 它们互斥，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：AD 7．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）有两枚硬币A，B．假设抛硬币时所得的结果只能为正面向上的一种，抛硬币A正面向上的概率为，抛硬币B正面向上的概率为p.现在先从两枚硬币中随机选中一枚，然后抛掷若干次. (1)若，求抛一次硬币，正面向上的概率. (2)若，在已知抛了一次硬币，正面向上的条件下，求再抛一次硬币得正面向上的概率. (3)如果当连续抛硬币k次（，）全为正面向上的前提下，可以做出论断“选中的是B硬币”，犯错误的概率不超过 ，则k的最小值为多少？[提示：用表示不小于x的最小整数.） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）抛一次硬币，正面向上的概率受到选择那个硬币的影响，可根据选择的硬币，将样本空间表示为“选中硬币A”和“选中硬币B”两个互斥时间的并，利用全概率公式求解； （2）先通过贝叶斯公式确定选中硬币A或B的概率，再结合各自的正面概率，利用全概率公式算出第二次正面向上的总概率； （3）通过贝叶斯公式明确 “犯错误的概率” 的表达式，再通过不等式变形和对数运算求解k的最小值. 【详解】（1）设事件H表示抛一次硬币正面向上，事件A表示选中硬币A，事件B表示选中硬币B， 则且与互斥，根据题意得，，，. 由全概率公式得. 因此抛一次硬币正面向上的概率为. （2）设表示第一次正面向上，表示第二次正面向上， 则用贝叶斯公式结合（1）得，. 又，． 给定硬币类型，抛掷独立，故 . 因此，所求概率为. （3）事件F：“连续抛k次全为正面向上”， 则 “犯错误的概率” 即为， 硬币A连续k次正面向上的概率， 硬币B连续k次正面向上的概率. 根据贝叶斯公式. 此值不超过，即.即，， 由，得，所以，得. 取自然对数并由于，. 因此，k的最小值为不小于该值的最小整数：. 8．【多选题】（25-26高三上·浙江·月考）现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（    ） A．传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B．时，球在乙手中的概率为 C．传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数 D．设球在乙手中的概率为，则 【答案】BCD 【分析】对B，列出各种可能传球路线，概率求和；对C，设球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为，分别列出与之间的关系式，整理得到；对D，列出的关系式，构造等比数列求出；对A，由时概率值可判断. 【详解】对于B：由已知，甲传给乙、丙、丁的概率分别为；乙传给甲、丙、丁的概率分别为； 丙传给甲、乙、丁的概率分别为；丁传给甲、乙、丙的概率分别为； 传球的路线可能是①甲-乙-丙-乙；②甲-乙-甲-乙；③甲-乙-丁-乙；④甲-丙-甲-乙；⑤甲-丙-丁-乙；⑥甲-丁-甲-乙；⑦甲-丁-丙-乙. 其概率为，B正确； 对于C：设传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为， 则，所以，所以，所以是常数列，C正确； 对于D：当传球3次时，球在甲手中，传球的可能路线①甲-乙-丙-甲；②甲-乙-丁-甲；③甲-丙-丁-甲；④甲-丙-乙-甲；⑤甲-丁-丙-甲；⑥甲-丁-乙-甲. 其概率为， 所以球在A队成员手中的概率为. 由C可知，传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为， 所以，整理得， 所以是公比为的等比数列. 当时，，整理得，D正确； 对于A：由时，球在乙手中的概率为，结合C可知球在甲手中的概率为，故两个概率不相等，A错误. 故选：BCD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 条件概率 题型一 条件概率的公式计算 1．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）已知事件相互独立，且，则 . 2．（25-26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知，则（　　） A． B． C． D． 4．（2026·海南海口·一模）已知，是随机事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 题型二 古典概型与条件概率 1．（2026·广西·模拟预测）将单词卡片“breathless”拆解成十张字母卡片，现从中随机抽两张字母卡片，已知一张字母卡片最多只能被抽到一次，若抽到的两张卡片上的字母相同，则它们均为e的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）某公司招募了A、B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作，已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8. (1)求A，B两位员工均能完成工作的概率； (2)证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立； (3)求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率. 3．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·甘肃·月考）根据2025年最新旅游数据和权威推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游，记事件“乙恰好选择了三座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（   ） A． B． C． D． 题型三 条件概率的性质 1．（24-25高三上·湖北·月考）已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．【多选题】（25-26高三上·湖北武汉·月考）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 4．【多选题】（24-25高二下·江苏苏州·月考）设随机事件A，B发生的概率分别为，以下说法正确的有（   ） A．若A，B为互斥事件，则 B．若A，B互相独立，则 C．若，则A，B互相独立 D． 题型四 全概率公式 1．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 2．（2026·河北·模拟预测）一个不透明袋子中装有大小、材质均相同的3个白球和2个红球．有放回地进行摸球，每次摸1个球，若摸到白球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的白球；若摸到红球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的红球． (1)求第2次摸球时，摸到白球的概率； (2)求第n次摸球时，摸到红球的概率． 3．【多选题】（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）甲盒中有4个红球和3个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球.记事件表示从甲盒中取出的小球是红球，事件表示从甲盒中取出的小球是白球，事件表示从乙盒中取出2个颜色相同的小球，事件表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东临沂·期末）一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为 . 题型五 贝叶斯公式 1．（25-26高二上·黑龙江·期末）进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为 . 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 3．（25-26高三上·广东·月考）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 4．（2025高三·全国·专题练习）贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 题型一 条件概率中的证明问题 1．（23-24高三上·福建泉州·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 2．（23-24高二下·吉林·期末）甲､乙两位同学进行轮流投篮比赛，为了增加趣味性，设计了如下方案：若投中，自己得1分，对方得0分；若投不中，自己得0分，对方得1分.已知甲投篮投中的概率为，乙投篮投中的概率为.由甲先投篮，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多2分或进行完5轮投篮后，活动结束，得分多的一人获胜，且两人投篮投中与否相互独立. (1)在结束时甲获胜的条件下，求甲比乙多2分的概率. (2)已知在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率.设事件“改变比赛规则”，事件“乙获胜”，已知，证明：. 3．（24-25高二下·安徽合肥·期中）（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）（i）对于事件，，，当时，求证：； （ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率. 4．（2025·广东佛山·一模）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE球的概率均为，记“第次发球的人是甲”． (1)证明：； (2)若，，求和． 题型二 全概率公式与数列递推 1．（24-25高三上·福建漳州·月考）某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 2．（23-24高二下·浙江·期末）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，恰有0个黑球的概率为. (1)求的值； (2)根据马尔科夫链的知识知道，其中为常数，同时，请求出； 【详解】（1）由题意恰有0个黑球的概率为. 由题意知， 所以. （2）因为， 所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以. 3．（23-24高三上·山东·月考）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值，并探究数列的通项公式； (2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 4．（23-24高三上·广东广州·月考）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数． (1)求消费者甲第2次获胜的概率； (2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖． 1．【多选题】（25-26高三上·重庆·月考）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 2．（25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响． (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 3．（25-26高三上·江苏南京·月考）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提•霍尔•游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲•沃斯•莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲•沃斯•莎凡特给出的答案； (2)当跑车门数不变，山羊门数增加，即总共门数是，其中只有一扇门后面有一辆跑车，证明：游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 4．（25-26高三上·广西·月考）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和2个白球，乙袋内有2个红球和1个白球，根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球，若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内（含3次）停止摸球的概率为 ． 5．【多选题】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（   ） A． B． C． D． 6．【多选题】（25-26高二上·广东中山·月考）在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1 次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，1，0，则译码为1.）（   ） A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当0< α <0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率. 7．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）有两枚硬币A，B．假设抛硬币时所得的结果只能为正面向上的一种，抛硬币A正面向上的概率为，抛硬币B正面向上的概率为p.现在先从两枚硬币中随机选中一枚，然后抛掷若干次. (1)若，求抛一次硬币，正面向上的概率. (2)若，在已知抛了一次硬币，正面向上的条件下，求再抛一次硬币得正面向上的概率. (3)如果当连续抛硬币k次（，）全为正面向上的前提下，可以做出论断“选中的是B硬币”，犯错误的概率不超过 ，则k的最小值为多少？[提示：用表示不小于x的最小整数.） 8．【多选题】（25-26高三上·浙江·月考）现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（    ） A．传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B．时，球在乙手中的概率为 C．传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数 D．设球在乙手中的概率为，则 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $