7.4 二项式定理（题型专练，10基础5提升题型+培优）高二数学苏教版选择性必修第二册

7.4 二项式定理 题型一 求二项展开式 1．（25-26高二上·全国·期末）求多项式的展开式. 2．（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 3．（24-25高二下·天津河东·期中）根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 4．（24-25高二·全国·课堂例题）求的展开式； 题型二 二项展开式的逆用 1．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）的值为 ． 2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆永川·模拟预测）设是正整数，表达式化简的结果是 4．（2025高三·全国·专题练习）设复数（是虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 题型三 求展开式的第k项 1．（25-26高三上·天津和平·月考）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（   ） A．90 B．-90 C．180 D．-180 2．（25-26高三上·上海青浦·期中）在的二项展开式中，第四项是常数项，则 ． 3．（25-26高三上·上海嘉定·月考）的二项展开式中第4项是 . 4．（25-26高三上·广东·月考）若的展开式中第4项为160，则 . 题型四 求指定项的二项式系数/系数 1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）的二项展开式中，项的系数为 . 2．（25-26高三上·四川德阳·月考）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为 ． 3．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 ． 4．（25-26高三上·福建厦门·月考）若的展开式中，的系数等于的二项式系数的8倍，则 ． 题型五 二项式系数的最值 1．（25-26高三上·山西晋城·月考）在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26高三上·天津·月考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 3．（25-26高三上·江西·月考）已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为 . 4．（24-25高二下·福建福州·期末）已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则为（   ） A．15 B．10 C．9 D．8 题型六 系数的最值 1．（25-26高二上·上海浦东新·月考）在的二项展开式中，求： (1)常数项； (2)系数最大项． 2．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知的展开式中第项为，，且第三项和第九项的二项式系数相等． (1)求第四项的二项式系数与系数； (2)求二项式系数的最大值及展开式系数的最大值． 3．（24-25高二下·河南开封·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 . 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为17． (1)求； (2)当展开式中的系数最小时，求的系数； (3)已知的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求． 题型七 二项式系数和 1．（24-25高二下·贵州遵义·月考）在的展开式中，所有的二项式系数之和为16，则所有项的系数之和为 ． 2．（25-26高三上·山东滨州·期末）在的展开式中，所有项的二项式系数和为，则展开式中的常数项为 ． 3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）已知的展开式中所有二项式系数之和为，则展开式中常数项为 . 题型八 奇偶项系数和 1．（25-26高二上·北京西城·期末）已知，且，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知，求 (1)； (2)，． 3．（2025高三·全国·专题练习）若，则 ； ． 4．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 题型九 特定项系数和 1．【多选题】（25-26高三上·河北·开学考试）设，则下列说法正确的有（    ） A．的展开式中所有项的二项式系数的和为 B． C． D． 2．【多选题】（25-26高三上·江西·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．【多选题】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知 则（    ） A． B． C． D． 4．【多选题】（24-25高二下·江苏南通·月考）在以下结论中正确的是（   ） A． B． C． D．已知，则 题型十 三项式系数 1．（2026·河北·模拟预测）的展开式中的系数为 ． 2．（25-26高三上·广东广州·期末）的展开式中项的系数是 ． 3．（24-25高三上·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 4．（25-26高三上·广东·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 题型一 整除与余数问题 1．（24-25高二上·江西萍乡·期末）《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为 ． 3．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：能被64整除． 题型二 近似计算问题 1．（2025高三·全国·专题练习）计算：．（精确到0.001） 2．（23-24高三下·河北·开学考试）已知二项式的二项式系数的和为，则 .试估算时，的值为 .（精确到） 3．（24-25高二下·全国·课后作业）求精确到0.001的近似值． 4．（2025高三·全国·专题练习）（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 题型三 证明恒等式 1．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 2．（23-24高三下·全国·课后作业）求证： 3．（23-24高三下·全国·课后作业）求证：. 4．【多选题】（24-25高二下·山东泰安·期中）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.例如：考察恒等式，左边的系数为，而右边，的系数为，因此可得到组合恒等式.利用算两次的思想方法或其他方法，可以得出下面有关组合数的等式，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四 二项式定理与数列求和问题 1．【多选题】（2025·广东深圳·二模）对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知数列满足，数列满足，． (1)求，的通项公式； (2)定义：已知数列，，当时，称为“4一偶数项和整除数列”． （i）计算，，其中，． （ii）若为“4-偶数项和整除数列”，求的最小值． 3．（2024·湖北襄阳·二模）知识卡片：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理计算： . 4．（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，且， (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)已知对于恒成立．求证：． 题型五 杨辉三角问题 1．（24-25高二下·广东中山·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)在的展开式中，求含项的系数． 2．（24-25高二下·福建福州·期中）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 ，令，则前n项和 ． 3．（25-26高二上·黑龙江·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（    ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 4．（24-25高二下·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 1．【多选题】（25-26高三上·福建福州·开学考试）设正整数，其中，记.已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B．对任意的，有 C．若，则使成立的m的取值个数为 D． 2．（24-25高二下·江苏扬州·期末）类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则： （1） ；（结果用数字表示） （2）若，（，），则 ． 3．（24-25高二下·河南·期中）二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”．若十进制数，其中，，则n对应的二进制数为． (1)十进制数6，2025分别用二进制表示． (2)证明：满足，，，…，中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275． (3)将n对应的二进制数中1的个数记为，则． 4．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知（，），的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（   ） A．6或7 B．6 C．8或9 D．9 5．【多选题】（2025·内蒙古包头·模拟预测）数的进制是人们利用符号来计数的方法.我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就是二进制方法.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.若干进制数，其中，则对应的二进制数为.以下说法正确的是（） A．十进制数2025用二进制表示为 B．满足中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275 C．将对应的二进制数中1的个数记为，则 D．将对应的二进制数中0的个数记为，令，则 6．（25-26高三上·山东枣庄·月考）我们曾用组合模型发现了组合恒等式：，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”.对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范.我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多组合恒等式，如由等式，计算 . 7．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知函数，. (1)当时，求的值； (2)若能被整除，求的最小值； (3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 8．（24-25高一上·安徽亳州·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4 二项式定理 题型一 求二项展开式 1．（25-26高二上·全国·期末）求多项式的展开式. 【答案】 【分析】利用完全平方公式将三项式转化为二项式，然后根据二项式定理即可得到展开式. 【详解】因为 ， 所以 . 所以多项式的展开式为. 2．（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【分析】先将利用二项式定理展开，然后根据等式确定和的值即可得到答案. 【详解】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 故选：． 3．（24-25高二下·天津河东·期中）根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项展开式直接运算即可； （2）根据二项展开式分别求的展开式，即可得结果. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为 ， 因为 ， 所以 . 4．（24-25高二·全国·课堂例题）求的展开式； 【答案】 【分析】法一、法二，由二项式定理即可求解； 【详解】方法一： ． 方法二： ． 题型二 二项展开式的逆用 1．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）的值为 ． 【答案】0 【分析】根据二项式定理的逆用，可得答案. 【详解】． 故答案为：. 2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理，对所给式子进行变形，然后结合二项式定理的形式求出结果． 【详解】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 故选：A． 3．（2026·重庆永川·模拟预测）设是正整数，表达式化简的结果是 【答案】 【分析】根据二项式定理化简. 【详解】 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）设复数（是虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简，再利用二项式定理变形后再计算． 【详解】由， 则 ． 故选：A. 题型三 求展开式的第k项 1．（25-26高三上·天津和平·月考）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（   ） A．90 B．-90 C．180 D．-180 【答案】C 【分析】利用二项式的展开式中系数的规律及二项式展开式的通项公式即可解出. 【详解】由题意可知，二项式的展开式中一共有11项，所以， 设展开式第项为常数项，则， ， ， 该二项式的展开式中常数项为， 故选：C. 2．（25-26高三上·上海青浦·期中）在的二项展开式中，第四项是常数项，则 ． 【答案】6 【分析】求出通项，再令可解. 【详解】展开式的通项为，， 因为第四项是常数项， 所以当时，， 所以 故答案为：6. 3．（25-26高三上·上海嘉定·月考）的二项展开式中第4项是 . 【答案】 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：的二项展开式中第4项是. 故答案为：. 4．（25-26高三上·广东·月考）若的展开式中第4项为160，则 . 【答案】 【分析】根据二项式展开的通项公式，结合题意，列出等式，化简计算，即可得答案. 【详解】的展开式中第4项为， 所以，解得. 故答案为： 题型四 求指定项的二项式系数/系数 1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）的二项展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】由二项展开式的通项计算可得. 【详解】由题可知，二项展开式的通项公式为， 令，可得， 故， 故项的系数为. 故答案为：. 2．（25-26高三上·四川德阳·月考）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为 ． 【答案】60 【分析】先根据题干条件算出，然后由二项式定理的展开式通项进行求解. 【详解】的展开式中第项与第项的二项式系数相等， ，，则的展开式中的通项为： ，令，解得， 故该展开式中的系数为 故答案为：60 3．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 ． 【答案】14或23 【分析】表示各二项式系数，利用等差数列公式求解即可. 【详解】由题意得，． 在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，，可得， 即， 化简得，解得或． 故答案为：14或23. 4．（25-26高三上·福建厦门·月考）若的展开式中，的系数等于的二项式系数的8倍，则 ． 【答案】5 【分析】由展开式的通项公式，列出等式即可求解. 【详解】由展开式通项公式为， 则的系数为，的二项式系数， 所以，即， 解得：， 故答案为：5 题型五 二项式系数的最值 1．（25-26高三上·山西晋城·月考）在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可． 【详解】因为在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大， 所以仅有最大，则， 的通项公式， 其中，当时， 是有理项，所以， 即的展开式中有理项的项数是5． 故选：A． 2．（25-26高三上·天津·月考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 【答案】7 【分析】根据只有第5项的二项式系数最大，可得，写出展开式的通项公式，令，求得k值，代入即可求出答案. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，即， 所以展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：7 3．（25-26高三上·江西·月考）已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为 . 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质，得到n，再利用展开式的通项，得到常数项. 【详解】依题意有， ， 令得， 所以常数项为， 故答案为：. 4．（24-25高二下·福建福州·期末）已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则为（   ） A．15 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】展开式共有9项，所以. 【详解】的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，故第5项为中间项， 展开式共有9项，所以. 故选：D 题型六 系数的最值 1．（25-26高二上·上海浦东新·月考）在的二项展开式中，求： (1)常数项； (2)系数最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解； （2）令，假设最大，由解出的取值范围，结合可得出的值，代入通项后即可得解. 【详解】（1）的展开式通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. （2）令， 假设在、、、中最大，则，即， 即，解得， 因为，则，所以展开式中系数最大的项为. 2．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知的展开式中第项为，，且第三项和第九项的二项式系数相等． (1)求第四项的二项式系数与系数； (2)求二项式系数的最大值及展开式系数的最大值． 【答案】(1)第四项的二项式系数为；系数为 (2)二项式系数的最大值为；系数最大值为 【分析】（1）首先由第三项与第九项的二项式系数相等的条件可得的值，进而确定二项式定理的通式，从而得所求； （2）根据二项式系数的性质确定二项式系数的最大值，再由，得的单调性，从而确定系数最大时的值，进而求解出系数的最大值． 【详解】（1）已知的展开式中第项，，且第三项和第九项的二项式系数相等． 即，故； 又展开式的通项为，故， 所以第四项的二项式系数为，系数为； （2）因为是偶数，故二项式系数的最大值为， 因为，故， 因为， 令，得：，因为是正整数，故时，； 时，， 所以第8项的系数最大，最大值为． 3．（24-25高二下·河南开封·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 . 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出，再利用递推不等式组可求出系数最大项. 【详解】由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，可得，即， 所以，则或（舍）， 设展开式中第项的系数最大，则，可得， 解得，因为，所以， 所以系数最大的项为． 故答案为： 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为17． (1)求； (2)当展开式中的系数最小时，求的系数； (3)已知的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求． 【答案】(1) (2)140 (3)582 【分析】（1）写出的通项公式，根据展开式中x的系数得到的值； （2）由（1）知，分，，均大于等于2时，得到展开式中的系数，求出当或时，的系数取得最小值，进而得到的系数； （3）由（1）知，写出的展开式的通项公式，根据二项式系数的增减性得到，利用不等式法得到，求出. 【详解】（1）根据二项式定理知，的展开式的通项为 ， 根据题意得，即． （2）由（1）知， 当时，，此时展开式中的系数为， 同理当时，，此时展开式中的系数为， 当均大于等于2时，展开式中的系数为 ， 故当或时，的系数取得最小值64， 显然的系数最小时，或， 此时，的系数为． （3）由（1）知，则， 二项式的展开式的通项为， 所以可得，再根据即得， 此时，所以 ． 题型七 二项式系数和 1．（24-25高二下·贵州遵义·月考）在的展开式中，所有的二项式系数之和为16，则所有项的系数之和为 ． 【答案】/ 【分析】先根据二项式系数之和为16求出，再利用赋值法可求系数之和. 【详解】因为二项式系数之和为16，故，所以， 在中令，故所有项的系数之和为， 故答案为：. 2．（25-26高三上·山东滨州·期末）在的展开式中，所有项的二项式系数和为，则展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】由所有项的二项式系数和为得到，从而得到的值，设展开式中的常数项为项，求出，经过整理后设的次数为，解出的值，代入中求出常数项即可得解. 【详解】的展开式中，所有项的二项式系数和为，， ，， 设展开式中的常数项为项， 则， 故，解得， 则常数项为. 故答案为：. 3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据组合数的运算公式，结合二项式系数和公式进行求解即可. 【详解】，或舍去， 因此. 故选：C 4．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）已知的展开式中所有二项式系数之和为，则展开式中常数项为 . 【答案】 【分析】利用所有二项式系数之和可求出的值，再结合二项式展开式通项可求得展开式中的常数项的值. 【详解】因为的展开式中所有二项式系数之和为，解得， 的展开式通项为， 令，可得，故展开式中的常数项为. 故答案为：. 题型八 奇偶项系数和 1．（25-26高二上·北京西城·期末）已知，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令和后作差可得. 【详解】令，则， 令，则， 作差可得. 故选：A. 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知，求 (1)； (2)，． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）令和，可求得； （2）令与（1）可求得，的值. 【详解】（1）令，得， 令，得， 所以； （2）令，得， 由（1）知， 所以，， 所以，. 3．（2025高三·全国·专题练习）若，则 ； ． 【答案】 【分析】令，可得，再令，即可求解；分别令和，两式相加即可求解. 【详解】令，可得， 令，可得，① ∴； 令，可得，② ①②两式相加，可得. 故答案为： 4．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C 题型九 特定项系数和 1．【多选题】（25-26高三上·河北·开学考试）设，则下列说法正确的有（    ） A．的展开式中所有项的二项式系数的和为 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，由结论直接可得二项式系数的和为，A正确；B选项，令得；C选项，赋值得到，相加可得C正确；D选项，令得，D错误. 【详解】A选项，的展开式中所有项的二项式系数的和为，A正确； B选项，中，令得，B正确； C选项，中，令得 ①， 令得②， 两式①+②得， 即，C正确； D选项，， 由二项式定理得， 故，， 令得，D错误. 故选：ABC 2．【多选题】（25-26高三上·江西·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】应用赋值法分别计算及化简判断各个选项即可. 【详解】令，得，A错误． 令，得①，B错误． 令，得②，由①-②得，C正确． 令，得， 则，D正确． 故选：CD 3．【多选题】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知 则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用二项展开式的通项公式求，判断A的真假；利用赋值法，令可判断B的真假；利用赋值法，分别令和，求出和可判断C的真假；设，求导，再令可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A错误； 对B：令，得，故 B正确； 对C：令得①， 令得②. ①    ②得：；①②得. 所以 ，故C正确； 对D：设， 则. 再令得，故D错误. 故选：BC 4．【多选题】（24-25高二下·江苏南通·月考）在以下结论中正确的是（   ） A． B． C． D．已知，则 【答案】BCD 【分析】利用组合数公式计算可判断AB；利用二项式定理可判断C；利用赋值法可判断D. 【详解】对于A，， 故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，， 故C正确； 对于D，令，则， 令，则， 两式相加可得，两式相减， 再令得，则， 则 ，故D正确. 故选：BCD. 题型十 三项式系数 1．（2026·河北·模拟预测）的展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】利用展开式各项的意义可求解. 【详解】因为的项可以由展开式中含的项与1的乘积构成， 又展开式中的项为； 因为的项可以由展开式中含的项与的乘积构成， 又的展开式中含的项为， 所以的展开式中的项为. 故的展开式中的系数为. 故答案为：. 2．（25-26高三上·广东广州·期末）的展开式中项的系数是 ． 【答案】60 【分析】将看作个因式相乘，由分步乘法计数原理求解. 【详解】将看作个因式相乘， 则得到需从个因式中先选择个因式取，有种不同的取法； 再从剩余个因式中选择个因式取，有种不同的取法， 最后从剩下的因式中取，有种不同的取法， 根据分步乘法计数原理，可得的系数为， 故答案为：. 3．（24-25高三上·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 【答案】D 【分析】求出展开式通项，再求出的展开式通项，即可求出. 【详解】展开式的通项为， 则含的项为，其中的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D. 4．（25-26高三上·广东·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】10个因式的乘积中，有8个选，有1个选，有1个选，可得的系数，9个因式的乘积中，有8个选，有1个选，可得的系数为，求解即可． 【详解】的展开式表示10个因式的乘积， 故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选， 即可得到含的项，故的系数为，即； 在的展开式表示9个因式的乘积， 故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项， 故的系数为，即， 所以. 故选：B． 题型一 整除与余数问题 1．（24-25高二上·江西萍乡·期末）《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】A 【分析】利用二项式定理证明除17余数为即可得. 【详解】 所以除17余数为，即. 故选：A. 2．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为 ． 【答案】5 【分析】先求出除以的余数，再根据整除条件确定的最小正整数即可. 【详解】 因为能被整除， 所以除以的余数是，故的最小正整数为. 故答案为：. 3．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数． 【详解】令，得， 令，得， 两式相减得， 所以． 因为 能被8整除， 被8整除的余数为3， 所以被8整除的余数为3， 故选：C． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：能被64整除． 【答案】证明见解析 【分析】由，应用二项式定理将其展开，即可证. 【详解】 ． 因为是整数， 所以能被64整除. 题型二 近似计算问题 1．（2025高三·全国·专题练习）计算：．（精确到0.001） 【答案】31.761 【分析】利用二项式定理进行近似计算. 【详解】 ． 所以． 2．（23-24高三下·河北·开学考试）已知二项式的二项式系数的和为，则 .试估算时，的值为 .（精确到） 【答案】 【分析】利用二项式系数和求出的值，再利用二项式定理可求出的近似值.（精确到） 【详解】二项式的二项式系数的和为，解得， 当时， . 故答案为：；. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）求精确到0.001的近似值． 【答案】0.951 【分析】根据给定条件可得，再利用二项式定理求解. 【详解】依题意， . 所以精确到0.001的近似值为. 4．（2025高三·全国·专题练习）（1）求精确到0.001的近似值； （2）若今天是星期一，再过天是星期几？ 【答案】（1）0.995；（2）星期三． 【分析】（1）由并作展开，结合精确数位即可得近似值； （2）由并作展开，判断除以7的余数，即可得. 【详解】（1） ， 可以看出，及其后面的项在精确到0.001时都可以忽略， 所以近似值为． （2）因为 ， 显然，是一个除以7余2的数， 所以，如果今天是星期一，再过天是星期三． 题型三 证明恒等式 1．（2025高三·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将右侧式子倒序相加，结合组合数的性质及二项式系数和，即可证. 【详解】设①， 把①式倒序排列得， 由，得②， ①②得， 所以，得证. 2．（23-24高三下·全国·课后作业）求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据二项式系数性质利用倒序相加求和即可得出结论. 【详解】证明： 令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. 3．（23-24高三下·全国·课后作业）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据，利用二项式定理分别求出等式左右两边含的项的系数即可证明. 【详解】证明： ， 当时，展开式中的系数为， 又， 当时，展开式中的系数为， ， . 4．【多选题】（24-25高二下·山东泰安·期中）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.例如：考察恒等式，左边的系数为，而右边，的系数为，因此可得到组合恒等式.利用算两次的思想方法或其他方法，可以得出下面有关组合数的等式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，，左边的系数等于右边的系数，得到A正确；B选项，在个人中选人搞卫生工作，其中人擦窗户，人拖地，共有多少种不同的方法，用两种方法解答，得到B正确；C选项，，左边的系数等于右边的系数，故，C错误；D选项，在C基础和题干条件下，得到方程组，联立得到答案. 【详解】A选项，， 左边的系数为， 右边， 故的系数为， 故，A正确； B选项，在个人中选人搞卫生工作，其中人擦窗户，人拖地，共有多少种不同的方法？ 方法一：先从在个人中选人，再从选出的人中选出人擦窗户，共有种不同的方法； 方法二：先从在个人中选人擦窗户，再从剩余的人中选人拖地， 故共有种方法； 故，B正确； C选项，， ， 左边的系数为， 右边的系数为，故，C错误； D选项，由题干可得， 故， 即①， 由C可知，，则②， 故①-②得， 所以，D正确. 故选：ABD 题型四 二项式定理与数列求和问题 1．【多选题】（2025·广东深圳·二模）对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据的定义逐项判断即可. 【详解】对A，∵，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，∵设， ， 增加了，两项系数为0，∴ ，故C正确； 对于D，∵， ∴，故D错误； 故选：ABC. 2．（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知数列满足，数列满足，． (1)求，的通项公式； (2)定义：已知数列，，当时，称为“4一偶数项和整除数列”． （i）计算，，其中，． （ii）若为“4-偶数项和整除数列”，求的最小值． 【答案】(1)，． (2)（i），；（ii） 【分析】（1）因式分解得到，变形得到，故为公比为3的等比数列，求出通项公式； （2）（i）利用等差数列求和公式得到，并利用等比数列求和公式得到； （ii）方法一，根据得到，2，3不满足题意，满足要求，进一步得到，变形后结合二项式定理得到，并得到，得到结论； 方法二：根据得到，2，3不满足题意，满足要求，当时，，故，根据且，证明出结论. 【详解】（1）由可得， 根据可得， 由可得，且， 所以是以首项为3，公比为3的等比数列，故． （2）（i）， ． （ii）方法一：当时，， 显然，，2，3不满足题意，时，，满足要求， 当时，， ， 故，得证． 方法二：当时，， 显然，，2，3不满足题意．时，，满足要求， 当时，，， 因为且， 下面证明对恒成立， 令，则，当时，， 故在单调递增，故， 故对恒成立， 所以，得证， 故最小值为4. 【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 3．（2024·湖北襄阳·二模）知识卡片：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理计算： . 【答案】 【分析】根据微积分基本定理得到，再结合二项式定理及微积分基本定理计算可得. 【详解】因为， 且， 所以 ； ， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给微积分基本定理的理解及应用，对于新定义型问题，理解定义是关键. 4．（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，且， (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)已知对于恒成立．求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由递推关系，结合等比数列定义证明结论； （2）利用累加法求数列的通项公式； （3）结合证明，由此证明，结合等比数列求和公式证明结论. 【详解】（1）因为， 所以 所以 又， 所以， 所以数列是首项为12，公比为4的等比数列， （2）由（1）可得： 则有；；…， 累加可得： 所以 ， 又也满足故选， 所以， （3）因为， 所以对于恒成立， 所以对于，恒成立 当时，，即对于恒成立 所以对于恒成立 所以 ． 【点睛】关键点点睛：本题第三小问结合条件证明，从而利用放缩法，结合等比数列求和公式证明结论. 题型五 杨辉三角问题 1．（24-25高二下·广东中山·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《解答九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题． 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：，； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)在的展开式中，求含项的系数． 【答案】(1)256 (2) 【分析】（1）由杨辉三角的性质以及二项式系数之和公式即可得解； （2）求出的每一项中含项的系数在杨辉三角中所处的位置，再结合杨辉三角的性质，即可得解. 【详解】（1）由杨辉三角的性质1可知，第8行就是的展开式的二项式系数， 由二项式系数之和公式可知，杨辉三角中第8行的各数之和为； （2）的二项展开式的通项为， 其中的系数为，是杨辉三角第行中从左到右的第三个数， 因此中含项的系数， 分别为杨辉三角中第行中从左到右的第三个数， 首项为，且每一项均在平行于腰的一条线上，满足杨辉三角的性质， 其系数之和为最后一个数斜右下方的那个数， 因此，在的展开式中， 则含项的系数为. 2．（24-25高二下·福建福州·期中）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 ，令，则前n项和 ． 【答案】 【分析】由莱布尼茨三角形中数据规律可知，将的表达式进行化简变形可得，再由裂项相消求和计算可得结果． 【详解】根据莱布尼茨三角形可看出，下一行两个分数之和等于肩上的上一行的那个分数， 故可得； 当时， ， 显然也满足通项公式， 所以前n项和 ． 故答案为；． 3．（25-26高二上·黑龙江·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（    ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 【答案】B 【分析】明确杨辉三角每行数字个数及规律以及去掉1后每行数字个数规律，然后确定所求数列前35项在杨辉三角中的位置，利用等比数列求和公式求杨辉三角前行和，再去掉1的个数及第10行对应部分和，从而得到所求数列前35项和. 【详解】杨辉三角第行有个数，且数字之和为，去除两端的1后，第行剩余个数. 第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，， 第行去掉1后剩余个数字； 那么， 当时，，即前9行去掉1后有28个数. 所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字. 杨辉三角前行和为， 前9行和为，而前9行中两端的1共有（第1行1个，后面8行各2个）. 第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9， 前7个数字和为. 所以此数列的前35项和为. 故选：B. 4．（24-25高二下·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【分析】A选项，分别得到第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数，第9行的第8个数，得到A正确；B选项，第2023行中第1012个数为，第1013个数为，结合组合知识得到B正确；C选项，先得到，得到；D选项，第15个数与第16个数之比为. 【详解】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 1．【多选题】（25-26高三上·福建福州·开学考试）设正整数，其中，记.已知集合，下列说法正确的是（    ） A． B．对任意的，有 C．若，则使成立的m的取值个数为 D． 【答案】AC 【分析】根据题中函数的定义及性质判断选项A；举反例判断选项B；根据题中函数的定义及性质，结合组合数判断选项C；根据题中函数的定义及性质，结合组合数的性质，利用倒序相加法即可求解判断选项D. 【详解】根据题意，函数表示将正整数转化为二进制后，统计该二进制中1的个数. 选项A，，有2个1， 所以，所以A正确； 选项B，取，由，所以， 此时，所以B错误； 选项C，根据题意当时， 得， 所以集合中的任一元素均可以由唯一表示， 则意味着二进制表示中有位1，从位中选位为1即， 所以使成立的的取值个数为，所以C正确； 选项D，由题意得， 记， 又， 两式相加得， 所以，即， 所以， 而，则， 所以，所以D错误. 故选：AC. 2．（24-25高二下·江苏扬州·期末）类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则： （1） ；（结果用数字表示） （2）若，（，），则 ． 【答案】 24 【分析】根据定义的函数，写出对应的函数，根据函数解析式，求出，再根据定义函数的性质，构造一个新的函数，再根据其展开式，列出其中相等的项，写出方程，化简即可求出结果. 【详解】由题意知，则时一次项系数，则， 即. 由题意得， 展开得， 可得， 因为，，所以， 故答案为：24；. 3．（24-25高二下·河南·期中）二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”．若十进制数，其中，，则n对应的二进制数为． (1)十进制数6，2025分别用二进制表示． (2)证明：满足，，，…，中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275． (3)将n对应的二进制数中1的个数记为，则． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据十进制与二进制的转化方法代入计算，即可得到结果； （2）利用组合数分析出所有情况，然后代入计算，即可证明； （3）先求得，然后分别计算等式左右两侧即可证明. 【详解】（1）， . （2），其中中有且只有2个1，有种可能； 所以所有二进制数对应的十进制数的和中， 出现次，均出现次， 所以对应的十进制数的和为， （3），则， 又， 故, 由于， 故，故. 4．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知（，），的展开式中含的项的系数为15，则的展开式中含的项的系数是（   ） A．6或7 B．6 C．8或9 D．9 【答案】C 【分析】写出、展开式的通项，再对、分类讨论，分别确定、的值，再利用通项计算可得. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 展开式的通项为（且）， 若，且，时， 则展开式中含的项为， 依题意可得， 若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去； 若，则，不存在这样的正整数使得方程成立，故舍去； 若，满足题意，此时，则展开式中含的项的系数为； 若，此时，，则无解，故舍去； 若，，则展开式中含的项为，则，解得（负值已舍去）， 此时，则展开式中含的项的系数为； 若，时，展开式中含的项的系数为为，显然为偶数， 由，不存在这样的正整数使得方程成立无解，故舍去； 综上可得的展开式中含的项的系数是或. 故选：C 5．【多选题】（2025·内蒙古包头·模拟预测）数的进制是人们利用符号来计数的方法.我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就是二进制方法.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.若干进制数，其中，则对应的二进制数为.以下说法正确的是（） A．十进制数2025用二进制表示为 B．满足中有且只有3个1的所有二进制数对应的十进制数的和为1275 C．将对应的二进制数中1的个数记为，则 D．将对应的二进制数中0的个数记为，令，则 【答案】BCD 【分析】根据十进制与二进制的转化方法即可判断A，利用组合分析出所有情况即可判断B；分别计算等式左右两侧即可判断；利用二项展开式公式即可判断D. 【详解】对于A： ，故A错误； 对于B：，其中中有且只有2个1，有种可能； 所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现次，均出现次， 所以对应的十进制数的和为，故B正确； 对于C：， 则，， 故,， 故，故，故C正确； 对于D：共个数中所有的数转换为二进制后， 总位数都为2026，且最高位都为1；而除最高位之外的剩余2025位中，每一位都是0或者1； 设其中的数，转换为二进制后有个； 在这个数中，转换为二进制后有个0的数共有个， 故，故D正确， 故选：BCD. 6．（25-26高三上·山东枣庄·月考）我们曾用组合模型发现了组合恒等式：，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”.对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范.我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多组合恒等式，如由等式，计算 . 【答案】 【分析】等式中，通过等号左右两侧的系数相等可得结果. 【详解】因为， 所以其展开式中，的系数为， 又 所以. 而的展开式中的系数为， 因为，所以等号两侧的系数相等， 即. 故答案为：. 7．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知函数，. (1)当时，求的值； (2)若能被整除，求的最小值； (3)若，，且在中，存在连续三项，，的项的系数成等差数列，求和的值. 【答案】(1) (2) (3)，或 【分析】（1）依题意，再代入计算可得； （2）由，写出展开式，即可分析要能被整除，再分为偶数、奇数讨论，分别确定的最小值； （3）写出展开式的通项，即可得到，根据组合数公式整理得到，则为完全平方数，即可确定的值，同时取出相应的. 【详解】（1）因为 ，， 当时，所以； （2）因为，， 则 ， 又能被整除，所以， 又能被整除， 所以要能被整除， 当为偶数时，，此时的最小值为； 当为奇数时，不可能被整除，所以不存在符合题意， 综上可得的最小值为； （3）因为展开式的通项为（且）， 所以，，的项的系数分别为，，， 因为，，的项的系数成等差数列， 所以，整理可得， 即，为完全平方数， 又且 的最大值为，此时，则或， 解得或， 所以时中，，的项的系数分别为，，成等差数列， 中，，的项的系数分别为，，成等差数列； 综上可得，或. 8．（24-25高一上·安徽亳州·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 【答案】(1) (2)存在，且这三个数为，， (3)证明见解析 【分析】（1）利用题中公式可计算出图中第行的各数之和； （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件，利用题中公式可得出关于、的等式组，解出、的值，即可得出结论； （3）证明出当且、时，，然后利用题中性质可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，，同理可得，， ，，，，， 所以，图中第行的各数之和为 . （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件， 即， 整理可得，解得， 所以存在相邻的三个数，，， （3）因为当且、时，， 故 ， 即当、，，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $