江苏南通市2026届高三上学期学业质量检测（一模）数学试卷

南通市2026届高三学业质量监测 数学参考答案与评分建议 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 A 0 C B 0 D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9 10 11 BD BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.60 13.-为 14.号 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解】(1)假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响. x2=8018￥12-30x20-44812>3.841, …4分 38×42×32×48133 所以有95%以上的把握认为不同打法选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响. …6分 (2)根据分层抽样可知， 8名横拍打法的选手中5名喜欢有缝球，3名喜欢无缝球. …8分 记“两个赛区都有人被选中”为事件A, 则p④=cC5+CC-45 c 6 答：两个赛区都有人被选中的概率为 …13分 56 16.(15分) 【证】(I)因为AD⊥平面BCD,BCC平面BCD, 所以AD⊥BC. …2分 因为BC⊥CD,AD,CDC平面ACD,AD∩CD=D, 参考答案与评分建议第1页（共7页） 所以BC⊥平面ACD· …4分 因为BCC平面ABC, 所以平面ABC⊥平面ACD. …6分 (2)(方法一)如图，连结PN并延长， 与DC的延长线交于点Q,连结BQ. …9分 因为MN∥平面BCD,MNC平面PBQ, 平面BCD∩平面PBQ=BQ, 所以MN∥BQ. …11分 因为M是PB的中点，所以N是PQ的中点， 所以N=号BO. 过点N作NT∥AD,交CD于点T, M 所以T=号PD, B 因为P是AD的中点，所以T=AD, 所以C℃=71 CD AD 4 因为8C=CD=AD=2,所以CT= 所以QC=QT-CT=1, 在直角△BCQ中，BQ=√5， 所以aN:号 …15分 (方法二)以C为坐标原点，CD,CB,DA}为正交基底建立 如图所示的空间直角坐标系. 因为BC=CD=AD=2, P是AD的中点，M是BP的中点， 所以A(2,0,2),P(2,0,1),B(0,2,0),M(11, …9分 设CN=CA=(21,0,2)(0<元≤1)， 参考答案与评分建议第2页（共7页） 所以=(2元-1，-1,2元-为 因为平面BCD的法向量n=(O,0,1),MN∥平面BCD, 所以MN⊥n, 所以2A-=0,即A=4: …13分 所以=（号1,0， 所以N=5 …15分 2 17.(15分) 【解】因为f0=2sin0=1,所以sn0=号 因为四<受，所以p=若 …2分 (1)当o=1时，f(倒=2si血(c+2, 因为f,)=2sin(,+君=号，所以sin(,+g=号 令6+若=1，则sm1=多 所以血(2+-sm2-g+ =sin(2r+9}=cos21=1-2sint=235, 所以f2+号到-2m2s+是 …6分 (2)设f(x)的周期为T. 由①知，T≥元， 由②知，买≤5，所以T≤零， 2 ③知，号≥号所以7≥， 所以选①和③. …8分 若满足条件① 因为x∈(0，，所以ax+g∈(gm+君： 6 (6 参考答案与评分建议第3页（共7页） 所以号<r+晋≤受，解得}<®≤号 …11分 若满足条件③： 因为xe(平}，所以x+e(w+若0+》： +≤5 所以 4 6 2 解得0<o≤4 …14分 2 综上所述：<≤4 3 3 …15分 18.(17分) 【解】(1)设点C(x,),x≠1. 因为直线AC的斜率与直线BC的斜率的差是2， 所告2 …2分 化简得：x2=-y(x≠±1). …4分 (2)因为P,0关于直线y=x+m对称，所以直线P的斜率为-2. 设直线P2的方程为y=-2x+n,P(x1)C(x2y2), 联立少=-2+消去y可得2-2x+n=0. y=-x2, [△=4-4n>0, 所以 所以P2中点坐标M1,n-2),n<1. …7分 +x2=2, 因为点M在直线y=号x+m上，所以m=n3<-产， 若直线PO过点A,则m=- Γ2 若直线PQ过点B,则m=-, 综上所述：m的取值范围是(0，》（号，-引 …9分 (3)因为△PQR为等边三角形， 所以点R在直线y=x+m上. 参考答案与评分建议第4页（共7页） 设R(,-x2),则 M=1+孕。- |Pgl=1+22k1-x2=5vk,+x2)2-4xx2=25-n. 所以M=9Pg,即k-=25-n, 化简得，(-1)2=121-)①. …12分 因为点R在直线y一分+m多上， 所以x2+5+n-3-0@。 …14分 由①②消n得，11x,2+8x-19=(x。-1)11x+19)=0. 因为1，所以。=吕， 所以P阳-251-29x月5-10 …17分 11 19.(17分) 【解】(1)当a=e时，f(x)=hx+ex, 由f()=1+e>0,得fx)在(0，+m)上单调递增. 因为f(3)=h是+ex是=0， 所以国的零点为。 …3分 (2)当a>0时，f'(w)=1+a>0, 所以f(x)在(0，+o)上单调递增. 因为fI)=a>0, att)atl+a1a-+ag-0 所以，e(十，使得f,)=0, 所以f(x)存在唯一零点x。∈(0,1)， 所以对于任意一个α的值，f(x)都有唯一零点x。与之对应， 参考答案与评分建议第5页（共7页） 所以x。=g(a是函数， …6分 下面讨论该函数的单调性： （方法一)在(0，+w)任取a1,a2,且a2>a1· 设x1=g(a1),x2=g(a2), 所以x,x2∈(0,1)，且hx1+ax1=0,hx2+ax2=0, X2」 所以-4=，-，= 因为a>4,所以血飞<血 2 设(x)=血x,()=1-血x, x2 当x∈(0,1)时，(x)>0,所以x)在(0,1)上单调递增. 因为h(x2)<h(x1),所以x<x,g(a2)<g(a), 所以函数g(a)在(0，+w)上单调递减. …9分 （方法二)由lng(a)+ag(a)=0,两边对a求导， @8'(@+8@+ag'@=0, 得1 所以g@(ga+a-g@. 所以g'(a=- g2(a@ g(a+1 <0恒成立， 所以g(a<0, 所以函数g(a)在(0，+o)上单调递减. …9分 (3)由(2)知，0<g(a,)<1(=1,2,,n). 由0-4)=1， a2=1-g(a), 得ag(a1)=1, 所以血×马=1，解得=启， X 所以a=e,a2=1-1 …11分 e 由血g(a,)+aga,)=0,得a=-n8a) g(a) 参考答案与评分建议第6页（共7页） 所以4-41=8-1-ga】 g(a) g'(a)-8(a)-Ing(a) g(a) 设Q(x)=x2-x-nx,x∈(0,1)， 所以Q')=2x-1--《-12x+D<0, 所以Q(x)在(0,1)上单调递减， 所以0(x)>Q1)=0, 所以a,-a+1>0. …14分 因为0<g(a,)<1, 所以∑(a-a)8(a)=(a-a,)g(a)+∑(a-ag(a) <(a1-a2)g(a)+(a2-a3)+(a3-a)++(a。-an+1) =(a1-a2)g(a)+a-a+1<(a-a)g(a)+a2 -1+a-<1+0-3°-号<3 所以得证· …17分 参考答案与评分建议第7页（共7页）南通市2026届高三学业质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效。 3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 2 1.+i订 A.-i B.i C.-2i D.2i+ 2.己知集合A={0,1,2},B={x2x2-x-3<0},则4nB= A.{0}B.(1} 21'C.{0,1} D.{0,1,2} 3.在△4ABC中，AD=2DC,BE=2E,则DE= A.号丽+号AC B.号丽-4C C.}丽-子c D.号4c-号丽 4.“b=ac”是“a,b,c成等比数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.用与圆柱底面成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为 A.9 B.⑤ 2 c. D. 6.某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高H（单位：cm)进行了测量，发现 株高H近似服从正态分布.己知测量的向日葵平均株高为172.0cm,标准差为14.5。 现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后10%）、正常偏矮(10%~50%)、 正常偏高(50%-90%)、过高（前10%）.若PH-720≤-1.28=0.10，则 14.5 “过高”等级中最矮株高可能为 A.184.6cm B.186.6cm C.188.6cm D.190.6cm 3 7.设函数闭=4十2”则下列函数中为奇函数的是 A.)-多 B.f+号 c.fc+-是D.fx-+月 8. 己知四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°，AB=BC=1, AD=2,点S到直线CD的距离为2.以A为球心，5为半径的球面与侧面5CD的 2 交线长为 A.号 B.受 C.π D.2x 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知正数x,y,z满足x=y=z,则x,y,z的大小关系可能是 A.x<z<y B.x<y<z C.y<x<z D.z<y<x 10已知双自线C号茶=a>06>0的左、右售点分别为5,5，过点5作垂直于 x轴的直线交C于A,B两点.若直线AE的斜率是，△ABF的周长是16，则 A.C的渐近线方程为y=±2x B.C的实轴长是2 C.△ABE的面积是12 D.△ABF的外接因半径是 8 1山.设3，是数列a}的前n项和，若neN,不等式三<S品恒成立，则称数列a} nn+l 为“均增数列”，则下列说法正确的有 A.若a,=2n-1,则数列{a.}是“均增数列” B.若等差数列a,}是“均增数列”，则公差d>0 C.若{a,}是“均增数列”，则a,<a D.若a,=-2g,则存在负数g,使得数列{a,}是“均增数列” 数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在G-引的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则常数项为 13.已知曲线y=c+a在x=1处的切线方程为y=2r+b,则b= 14.在△ABC中，2aB-AC=AB+AC,sin2A=2 sin B-sinC,则2的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区 抽取部分选手进行调研，相关数据如下表： 喜欢用有缝球 喜欢用无缝球 直拍打法选手 18 30 横拍打法选手 30 12 (1)能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？ (2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自 喜爱的球型参加相应赛区的比赛.现从8名选手中选3人，用A1监测他们的比赛数据，求两 个赛区都有人被选中的概率。 n(ad-bc) P(x2≥k)0.1000.0500.010 附：X产=a+bMc+a+cb+西 2.7063.8416.635 16.(15分) 如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD,BC⊥CD, BC=CD=AD=2.P是AD的中点，M是BP的中点， 点N在线段AC上 (1)求证：平面ABC⊥平面ACD: (2)若MN∥平面BCD,求MN, 数学试卷第3页（共4页） 17.(15分) 已知函数f(x)=2sin(ar+)(o>0,lq<),且f0)=1. )若®=1，化)=号，求f2x+的值： (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得ω存在，并求ω的取值范围。 ①函数f(x)在区间(0，)上只有最大值，没有最小值： ②函数)在区间0，上恰有4个零点： ®函数)在区间吾引上单调递增。 18.(17分) 己知A,B两点的坐标分别是(-1，-)，1，-)，直线AC,BC相交于点C,且直线4C 的斜率与直线BC的斜率的差是2. (1)求点C的轨迹「的方程： (2)已知r上存在三点P,Q,R,且P,Q关于直线y=号x+m对称. ①求m的取值范围： ②若△PQR为等边三角形，求IPQ1. 19.(17分) 已知函数f(x)=lnx+ar, (1)当a=c时，求fx)的零点： (2)给定数集A=(0,+m),任给aeA,对应关系g使函数fx)的零点，与a对应. ①证明：x。=g()是函数，并讨论该函数的单调性： 回若数列a,满是a0-a-lanl-8a,证明：立a-a8a号 数学试卷第4页（共4页）