精品解析：江苏省南京市第二十九中学2026届高三考前质量检测评估数学试题

2026届考前质量检测评估 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，然后利用集合的并集运算即可. 【详解】因为， 又，所以， 故选：C. 2. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法运算求出，找出其对应点所在象限. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面内对应点，位于第四象限. 故选：D. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用的关系式以及均值不等式即可求出答案. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为. 故选：B. 4. 若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数图象的对称中心为，由题意可知函数图象相邻对称中心间的距离为，则存在，使得，解出的表达式，即可得出结果. 【详解】对于函数，由可得， 所以函数图象的对称中心为， 又因为函数图象的对称中心也为， 故函数图象的对称中心为， 对于正弦型函数，由可得， 故函数图象的对称中心为， 故函数图象相邻对称中心间的距离为， 易知函数图象相邻对称中心间的距离为， 且原点为函数、的一个公共对称中心， 因为函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心， 故存在，使得，解得，C选项合乎要求. 故选：C. 5. 定义：对于任意实数，符号表示的“临近整数”，即（为整数）当且仅当.已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数新定义结合指数、对数的运算性质比较即可. 【详解】因为，由指数函数的单调性可得所以， 由临近整数可得， 由对数函数的单调性可知， ， 由临近整数可得， ，且， ， 由临近整数可得， 所以. 故选：A. 6. 已知点，．若直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线l过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出的斜率，从而得出l的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】设直线过定点，则直线可写成， 令，解得. 直线必过定点． ，． 直线与线段相交，    由图象知，或，解得或， 则实数的取值范围是． 故选：A. 7. 椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，是圆上一动点，在轴上的投影为，则满足的动点的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相关点法求出椭圆的轨迹方程，再由离心率，列方程代入解方程即可得出答案. 【详解】设圆的方程为， 因为，则， 所以，即， 因为是圆上一点，所以， 所以，即，所以， 而椭圆的离心率为：， 所以，解得：. 故选：A. 8. 已知定义域为函数，满足，，其中是的导函数，若为偶函数，则（ ） A. 74 B. 72 C. 70 D. 68 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，求得，得到是奇函数，求得，再由题意，推得，得到函数是以4为周期的周期函数，结合周期性，即可求解. 【详解】由函数为偶函数，所以 ，所以， 可得是奇函数，所以， 因为，所以 ，所以， 令，可得， 因为，可得， 用代替，可得， 又因为，两式相加得， 令，可得；令，可得，所以， 因为，用代换，可得，即， 又因为函数是奇函数，可得 由，所以， 所以函数是周期为4的一个周期函数，则， 所以， 则. 故选：C. 二、多选题（每题6分，共18分，选对部分得部分分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上有且仅有两个零点和两个最值点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的部分图象求出函数的表达式，结合三角函数的图象与性质对每一选项进行判断即可. 【详解】由函数图象可知，， 所以，又，，所以，故A正确； 所以， 由， 得，解得， 由于，所以，所以， 得，所以函数的图象不关于点 对称，故B错误； 当时，， 而，且在为减函数， 在上为增函数，故在上不单调，故C错误； 因为， 由，得， 若函数在上有且仅有两个零点和两个最值点， 则，解得，故D正确. 故选：AD. 10. 已知实数x，θ满足则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式推出和时，条件成立，故，A错误；BCD选项，在A选项基础上结合三角恒等变换进行判断. 【详解】A选项，若，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 又，，故只有时，等号成立，此时， 若，可得，当且仅当时，等号成立， 又，，故只有时，等号成立，此时， 综上，，A错误； B选项，当时，，满足要求； 当时，，满足要求，B正确； C选项，，两边平方得， 即，C正确； D选项，当时，， ， 满足要求； 当时，， 此时， 故成立，综上，D正确. 故选：BCD 11. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 点是所在平面内任一点，，则与的面积比为 D. 点是所在平面内任一点，若，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理可判断A；利用正弦定理、倍角公式、余弦函数的单调性及值域可判断B；在上取点，使得，取中点为，设直线交于点，设，利用三点共线的性质及三角形面积关系可判断C；取中点为，连接，利用向量的数量积运算及线性运算求解可判断D. 【详解】对于A：，由正弦定理得， 故或， 当时，因为，所以， 但，故，所以不符合要求，所以，故A正确； 对于B：由知，，， 其中， 因为为锐角三角形，所以， 即，解得， 因为在上单调递减，所以，故B正确； 对于C：在上取点，使得，取中点为， 则，设直线交于点，设， 所以，即， 因为三点共线，所以，解得， 所以，所以与的面积比为，故C错误； 对于D：取中点为，连接，则，且， 则， 由于点是所在平面内的任一点，则， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为_______，（用数字作答） 【答案】-80 【解析】 【分析】直接利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】在的展开式中，的系数为 故答案为：-80 13. 已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】正弦定理边角转换，将原式转化为关于角的式子，根据已知信息求出角的取值范围，利用角的关系，将变量都转化为角，根据角的取值范围求出原式的取值范围. 【详解】在锐角中，由，有， 法一：有余弦定理知，，所以， 所以， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 所以的取值范围为. 法二：由正弦定理知，， 又，从而，故，所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么实数的取值范围是________. 【答案】. 【解析】 【分析】是对称函数，显然在内是单调减函数，满足条件①；根据函数的单调性，由条件②可得，即，等价于方程在有两个不同的解，从而解得k的范围． 【详解】因为函数是对称函数 所以函数满足题中的条件①②， 显然函数在定义域内是单调减函数， 当函数满足条件②时，函数定义域 设区间， 因为在上的值域为, 根据函数的单调性可得， 即， 等价于方程在有两个不同的解， 令， ， 故. 故答案为： 四、解答题（第15题满分13分，第16-17题满分15分，第18-19题每题17分） 15. 在中，角的对边分别是，且 （1）求角的大小 （2）若，且的面积为，求的周长 【答案】（1） ； （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，整理可得，再由余弦定理即可求解； （2）由的面积为可得，再由余弦定理可得，结合可求得，即可得到的周长. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得：， 因为  ，所以， 即  ， 即  ，由余弦定理， ，  ，  . 【小问2详解】 由三角形面积公式可得：  ，解得  ，  由余弦定理可得：，  解得：  ，则  三角形的周长为 6. 16. 设数列的前项和为，已知，当时，. （1）求证：为等比数列； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） 当时，，而， 故原式为：，即： ， 等式两侧同时加得：， 即，当时，， 故数列是以为首项，3为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用做差法即可证明为等比数列； （2）讨论绝对值里的正负，分别求当和两种情况下的. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，故， 而，故， 则， 故当时， 当时， 当时，； 当时，， 故. 17. 如图，在直三棱柱中，若M，N分别为棱，上的动点，且，点N在平面上的射影为点P，线段的中点为Q. （1）求证：平面平面； （2）求点Q的轨迹长度； （3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）在 中，，由余弦定理可得： ， 所以 ，，所以 . 又因为在直三棱柱中，所以平面 ， 平面 ，所以. 因为 ，，，平面， 所以 平面，又因为 平面，所以平面平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理得 ，再由直棱柱得 ，进而可得 平面，再由面面垂直的判定定理可得； （2）由点Q在坐标平面内，且，由解析法可得Q点的轨迹方程； （3）先用向量法表示出线面角的正弦值，再结合点的坐标的范围可得正弦值的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， ，，， 故以所以直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图： 因为M在 上，设，又N在上，设. 点N在平面上的射影为点P，且平面平面，所以，. 由，得：，即，. 因为Q在坐标平面，设，又是线段的中点， 所以代入上式得：，且. 所以点Q的轨迹在坐标平面内，以C点为圆心，以为半径，以为圆心角的弧，如图： 所以点Q的轨迹长度为 【小问3详解】 设平面的法向量为，且， 由，得，令，则，即. 而，所以直线 与平面所成角的正弦值为 ， 而由（2）可知，，所以， 即直线 与平面所成角的正弦值的取值范围为. 18. 已知双曲线 . （1）若双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，求 的值； （2）在(1)的条件下，若过点 且斜率为 的直线与双曲线 有且只有一个公共点，求 的值； （3）若双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，过点 的直线 交双曲线 于不同的两点 、 ，连接 并延长交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】(1)根据双曲线的渐近线方程相同，结合 的值，即可得出 的值； (2)由题意可知直线的方程为 ，联立双曲线方程，可得 ， 分 两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于 的等式，即可求得 的值; (3)分析可知直线 的斜率不为零，可设直线 的方程为 ，联立双曲线方程，设点 、 ，则 ，列出韦达定理，根据 结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出 ，结合 以及 与 可求出 的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得双曲线 的渐近线方程为 ， 又双曲线 的渐近线方程为 ， 则 . 【小问2详解】 当 时，双曲线的方程为 ， 由题意可知，直线的方程为 ， 联立 ，得 ， 当 ，即 时，方程(*)即为 ，该方程只有一个解，合乎题意； 当 ，即时，则 ， 解得 . 综上所述， 或 . 【小问3详解】 由题知 、 ， 当直线 的斜率为 0 时，此时 ，不合题意， 则直线 的斜率不为 0， 设直线 的方程为 ， ， 根据 延长线交双曲线 于点 ，由双曲线对称性知 ， 联立有 ， 显然二次项系数 ，其中 ， 由韦达定理可得 ①， ②， ，则 ， 因为 在直线 上，则 ， 即 ，即 ， 将①②代入有 ， 即 ，化简得 ， 所以 ，代入 ，得 ， 所以 ，且 ，解得 ， 由 ， 把 代入，解得 ，又 ，则 ， 综上， . 19. 集合 满足下列条件，则被称为 “好集”. ① ，且对任意的 ，其中 且为整数; ②每个集合 中存在一个元素等于 中其他元素的和. 若集合 为 “好集”，我们定义集合 中最大的元素为集合 的一个主元， 所有的主元构成的集合称为 的 “主元子集”. （1）判断集合 是否为“好集”，若是“好集”，写出它的主元子集，若不是，说明理由. （2）设 、 为正整数，若集合 为“好集”. ( i ) 证明: ; (ii) 证明: .并写出等号成立时， 的一个“主元子集”. 【答案】（1）是“好集”，它的主元子集为 （2）设集合被分拆为 个不相交的子集 ， ， ，满足题目的要求. ( i )因为在任何一个子集中，元素均不同，且其中总有一个主元， 所以，每个子集中均至少含有三个元素. 又集合中总共有个元素，则 . (ii) 集合 中所有元素之和为 ， 考虑每个子集中元素的和， 若为子集 的主元，则的所有元素和就是， 显然，所有子集的元素之和小于或等于 ， 最后一个不等式成立是因为 . 故 ， 下表为 时，满足题目要求的一个分拆. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6n-4 6n -5 6n-6 ... 5n-3 5n-5 ... 5n-4 5n-6 5n-8 ... ... ... 故 的一个主元子集为 。 【解析】 【分析】(1)根据“好集”对集合进行分拆即可求解； (2)( i )因为在任何一个子集中，元素均不同，且其中总有一个主元，所以，每个子集中均至少含有三个元素,从而可得结论. (ii) 由题可得集合 中所有元素之和为 ，若 为子集 的主元，则 的所有元素和就是 ，所有子集的元素之和小于或等于 ，结合，可得，化简即可证明，结合“好集”的定义，当 时，满足题目要求的一个分拆进行列举即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 故它是“好集”，它的主元子集为 . 【小问2详解】 (i)略 (ii)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届考前质量检测评估 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 5. 定义：对于任意实数，符号表示的“临近整数”，即（为整数）当且仅当.已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，．若直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，是圆上一动点，在轴上的投影为，则满足的动点的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为函数，满足，，其中是的导函数，若为偶函数，则（ ） A. 74 B. 72 C. 70 D. 68 二、多选题（每题6分，共18分，选对部分得部分分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上有且仅有两个零点和两个最值点，则 10. 已知实数x，θ满足则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 点是所在平面内任一点，，则与的面积比为 D. 点是所在平面内任一点，若，则的取值范围是 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为_______，（用数字作答） 13. 已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为______. 14. 函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么实数的取值范围是________. 四、解答题（第15题满分13分，第16-17题满分15分，第18-19题每题17分） 15. 在中，角的对边分别是，且 （1）求角的大小 （2）若，且的面积为，求的周长 16. 设数列的前项和为，已知，当时，. （1）求证：为等比数列； （2）若，求数列的前项和. 17. 如图，在直三棱柱中，若M，N分别为棱，上的动点，且，点N在平面上的射影为点P，线段的中点为Q. （1）求证：平面平面； （2）求点Q的轨迹长度； （3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 18. 已知双曲线 . （1）若双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，求 的值； （2）在(1)的条件下，若过点 且斜率为 的直线与双曲线 有且只有一个公共点，求 的值； （3）若双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，过点 的直线 交双曲线 于不同的两点 、 ，连接 并延长交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围. 19. 集合 满足下列条件，则被称为 “好集”. ① ，且对任意的 ，其中 且为整数; ②每个集合 中存在一个元素等于 中其他元素的和. 若集合 为 “好集”，我们定义集合 中最大的元素为集合 的一个主元， 所有的主元构成的集合称为 的 “主元子集”. （1）判断集合 是否为“好集”，若是“好集”，写出它的主元子集，若不是，说明理由. （2）设 、 为正整数，若集合 为“好集”. ( i ) 证明: ; (ii) 证明: .并写出等号成立时， 的一个“主元子集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $