荆山公学2025-2026学年高二上学期数学期末培优卷（含答案）

荆山公学2025-2026学年高二数学期末培优卷 （人教A版（2019）选择性必修一第一章到选择性必修二第四章） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.现有一段底面周长为厘米和高为厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行厘米爬行到达点，则此时线段长单位：厘米为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底面的截面圆，， 设圆柱的底面圆半径为，则，解得， 于是，，， 则，故答案选A 2.已知三棱锥中，侧面底面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 解：取中点，连结，过作平面，交于，过作，交于， 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 即， 解得，，，， 则，， 设球心，则， ，解得， 三棱锥外接球半径， 三棱锥外接球的表面积为：．故选A． 3.在正四棱台中，，若的最小值为，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设，则点在平面上， 故， 因为的最小值为，的最小值为， 所以该棱台的高为．如图，连接，，则四边形是等腰梯形， ，，从点向平面作垂线，垂足为， 则最小时，点与点重合，点在上，且， 所以， 设点到直线的距离为，则，所以．故选：． 4.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：由题意可知， 因为，，，四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以所以．故选： 5.已知球是棱长为的正方体的内切球，点为球表面上一动点，且满足平面，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：以为原点，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 正方体顶点坐标：，，， 内切球心， 内切球方程为： 设平面的法向量，由、 ， 得：， 取，得， 设，由平面，得，， 故：， ， ， 由球方程展开，代入化简得：， 代入球方程，令，， 化简得关于的二次方程：， 由判别式，解得，故的最大值为， 代入，得：故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有(    ) A. 平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是 D. 直线与直线所成角最小时，线段长为 【答案】ACD  解：直三棱柱 中， ， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，  ， ， 分别是，的中点， ，，，，，， 设，， 对于， 为平面的一个法向量， ， 则， 不在平面内， 平面 ，故A正确； 对于， 为平面 的一个法向量， ， 设直线与平面 所成角为， 则 ，故B错误； 对于，当 是上的中点时，，，可得， ， 设平面的法向量为， 则  ，解得，，设到平面的距离为， 则，故C正确； 对于，设， 则， ， 设直线与直线 所成角为，则 ， 当 ，即 时， 取最大值，此时直线与直线所成角最小， ， ，故D正确．故选：． 7.如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，则平面 C. 若，，则平面 D. 若，时，直线与平面所成的角为，则 【答案】BCD  解：连接，，，，，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 可得，，，，， 则 ，即， 对于中，若，，则，则点与点重合， 可得，所以A错误； 对于中，若，则，， ，，设平面的法向量为， 则取，可得，，所以， 由于，可得， 又因为平面，所以平面，所以B正确； 对于中，若，，则，， 由于，所以平面，所以C正确； 对于中，若，时，可得，所以， 则， 设，，则，，， 则， 由于函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以，所以，，， ，，所以， 所以，所以D正确．故选：． 三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。 8.在棱长为的正方体中，点为的中点，点为正方体表面上的一动点，且满足，则的轨迹的长度为          ． 【答案】  【解析】解：如图建立空间直角坐标系：则，，，，，，，， 点为中点，坐标为 设，由得： ， 展开化简得：， 代入得，，， 交线端点和，长度； 代入得，，， 交线端点和，长度； 代入得，，，交线端点和， 长度； 代入得，，，交线端点和， 长度； 代入得，，，交线端点和， 长度；代入得无有效解 总长度为有效交线长度之和为．故答案为． 四、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为，的中点，为棱上的点，． 证明：平面； 证明：； 当为何值时，平面与平面所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 【答案】解：因为三棱柱是直三棱柱， 所以底面，因为底面，所以， 因为，，所以， 又，，平面，所以平面． 因为平面，平面， 所以，所以，，两两垂直． 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图． 所以，，，，，，，． 由题设因为，， 所以，所以． 设平面的法向量为， 因为，， 所以，即． 令，则． 因为平面的法向量为， 设平面与平面所成角为，， 则． 因为，， 所以，当时，取最小值为，此时取最大值为，此时， 所以当时，平面与平面所成角的余弦值最大，最大值是． 10.本小题分 已知，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹记为． 求轨迹的方程； 设是线段的从左至右的两个三等分点． 试比较与的大小，并说明理由； 若直线，分别与曲线相交于另一点和，直线与交于另一点，求证：直线经过一定点． 【答案】解：设，因为直线，的斜率之积是， 所以，化简得，， 因为，，，是线段的从左至右的两个三等分点，所以，， 设的焦点坐标为，所以，即， 所以，为的焦点， 因为，所以， 当且仅当时取等号，所以； 设，，当斜率存在时，不妨令直线， 联立，化简得，， 因为与的另一个交点为，所以， 因为，所以式可以化为， 所以，所以点，同理点， 当轴，即时，，， 所以直线过轴上点 下证：，，三点共线，因为， 同理，， 因为，，三点共线，所以，所以， 即，，三点共线，所以直线经过一定点． 当轴时，即，根据对称性不妨令，所以， 此时，联立，解得 所以直线交于，所以 综上，直线经过定点．  11.本小题分 已知圆的圆心在轴上，且经过，两点． 求圆的标准方程； 若过点的直线与圆交于，两点，且，求的斜率． 若为直线上的一个动点，过作圆的切线，切点为，，判断直线是否经过定点若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】解：法一：设圆， 由题意得，得所以圆的标准方程为； 法二：设，，得的中点坐标为，， 则的中垂线方程为， 令，得，则圆的圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； 法一：当的斜率为时，，不符合题意， 当的斜率不为时，设，，， 由，得， 易得， ， 得，故的斜率为； 法二：作，垂足为，设， 由题意得 注意还有对称的情况 ， 因为，， 所以，得，故的斜率为 法三：当的斜率不存在时，，不符合题意， 当的斜率存在时，设，，，示意图同法一， 由，得，易得， ，得．故的斜率为． 直线经过定点，理由如下：设，，， 则，，． 易得，得， 则， 所以， 得， 同理得， 所以直线的方程为． 由，得，所以直线经过定点． 12.本小题分 在梯形中，，，为中点，，，，如图，以为轴将平面折起，使得平面平面． 若为的中点，证明：平面； 证明：平面平面； 若是线段上一动点，平面与平面夹角的余弦值为，求的长． 【答案】解：证明：在梯形中，由，，得，， 因为为的中点，为中点，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； 证明：因为平面平面，平面平面，， 所以平面，又平面，所以， 由，，，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 由，得，，两两垂直， 则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，则， 设，则， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，得，， 故平面的一个法向量为， 易知平面的法向量为， 所以， 解得，此时，所以，即的长为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆山公学2025-2026学年高二数学期末培优卷 （人教A版（2019）选择性必修一第一章到选择性必修二第四章） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.现有一段底面周长为厘米和高为厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行厘米爬行到达点，则此时线段长单位：厘米为(    ) A. B. C. D. 2.已知三棱锥中，侧面底面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 3.在正四棱台中，，若的最小值为，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则(    ) A. B. C. D. 5.已知球是棱长为的正方体的内切球，点为球表面上一动点，且满足平面，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有(    ) A. 平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是 D. 直线与直线所成角最小时，线段长为 7.如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，则平面 C. 若，，则平面 D. 若，时，直线与平面所成的角为，则 三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。 8.在棱长为的正方体中，点为的中点，点为正方体表面上的一动点，且满足，则的轨迹的长度为                         ． 四、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为，的中点，为棱上的点，． 证明：平面； 证明：； 当为何值时，平面与平面所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 10.本小题分 已知，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹记为． 求轨迹的方程； 设是线段的从左至右的两个三等分点． 试比较与的大小，并说明理由； 若直线，分别与曲线相交于另一点和，直线与交于另一点，求证：直线经过一定点． 11.本小题分已知圆的圆心在轴上，且经过，两点． 求圆的标准方程； 若过点的直线与圆交于，两点，且，求的斜率． 若为直线上的一个动点，过作圆的切线，切点为，，判断直线是否经过定点若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 12.本小题分在梯形中，，，为中点，，，，如图，以为轴将平面折起，使得平面平面． 若为的中点，证明：平面； 证明：平面平面； 若是线段上一动点，平面与平面夹角的余弦值为，求的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $