15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 教学设计 2025-2026学年 人教版数学八年级上册

课题 15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 1.课程标准分析 1.课标摘录 根据《义务教育数学课程标准》，本节课属于“图形与几何”领域，具体涉及“图形的性质”部分，要求学生通过探索和理解线段的垂直平分线的性质与判定，发展空间观念和几何直观。 2.学生学什么 学习线段的垂直平分线的定义、性质及判定定理。通过操作探究，理解线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质。掌握利用全等三角形证明线段垂直平分线性质的方法。学习并理解原命题与逆命题的关系，以及互逆定理的概念。 2.学生学到什么程度 能够准确描述线段的垂直平分线的性质和判定定理。能够运用性质及判定定理解决相关几何问题。能够识别并证明原命题与其逆命题，理解互逆定理。在探究过程中，发展空间观念和几何直观，提升逻辑推理能力。 3.学生怎么学 通过动手操作（如量取距离、折叠线段）和观察，直观感受线段的垂直平分线的性质。通过小组合作和讨论，共同探究线段的垂直平分线的判定方法。利用全等三角形的知识，通过逻辑推理证明性质和判定定理。通过解决实际问题，巩固和应用所学知识。 2.教学内容分析 1.本课时教学内容在单元中的位置 本课时是“轴对称”单元中的重要组成部分，紧接在角的平分线学习之后，为后续学习等腰三角形、圆等几何知识打下基础。 2.核心内容对发展学生核心素养的功能价值分析 空间观念：通过操作和观察，培养学生的空间想象能力和对几何图形的感知。 几何直观：利用图形和实际操作，帮助学生直观理解几何概念和性质。 逻辑推理：通过证明性质和判定定理，提升学生的逻辑推理能力。 数学建模：通过解决实际问题，培养学生将现实问题抽象为数学模型的能力。 3.蕴含的正确价值观念 培养严谨的科学态度和实事求是的精神。 强调合作与交流的重要性，培养团队协作精神。 4.已学内容与本课内容的关联 已学角的平分线性质为本课学习提供了类比对象，帮助学生理解线段的垂直平分线的性质。 全等三角形的知识是证明线段的垂直平分线性质和判定定理的基础。 3.学习目标确定 1.探索并证明线段的垂直平分线的性质和判定定理. 2.能运用线段的垂直平分线的性质及判定解题. 4.学习重点难点 重点：线段的垂直平分线的性质. 难点：线段的垂直平分线的判定. 5.学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：导入新课 教师活动1 复习角的平分线性质，通过提问引导学生回顾角的平分线上的点到角两边距离相等的性质。 引入新课： 前面我们学习了角的平分线，角平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系.类似地，这节课我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 学生活动1 回答教师关于角的平分线性质的问题，回顾相关知识。 倾听教师引入新课的内容，明确本节课的学习目标。 活动意图说明：通过复习旧知，为新知的学习做好铺垫，形成知识迁移。明确本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。 环节二：垂直平分线的性质 教师活动2 操作探究：如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离. 问题1：观察量得的数据，你有什么发现？ P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B… 问题2：如果把问题1中的线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都重合吗？它们都分别相等吗？ 总结：由问题1，2，我们可以得出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 问题3：上面的性质，可以利用判定两个三角形全等的方法进行证明.请你完成下面的证明. 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上.求证：PA＝PB. 例1 如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是____6____. 学生活动2 观察情境图，动手量取点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离，并记录数据。 回答问题1和问题2，发现线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 总结线段的垂直平分线的性质，并尝试用数学语言表述。 尝试完成证明过程，利用全等三角形的知识证明线段的垂直平分线的性质。 证明：∵l⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°.又AC＝CB，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴PA＝PB. 活动意图说明 通过动手操作和观察，直观感受线段的垂直平分线的性质。培养学生的观察能力和总结归纳能力。培养学生的逻辑推理能力和证明能力。 通过证明过程，加深学生对线段垂直平分线性质的理解。 环节三：探究线段的垂直平分线的判定 教师活动3 思考：在前面的探究中，我们得知线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与线段两个端点距离相等的点，是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？ 探究：如图，PA＝PB.点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 问题1：过点P的直线有无数条，如果我们要说明点P在AB的垂直平分线上，我们可以先选定一条怎样的直线进行说明？怎样说明？ 可以先过点P作一条与AB垂直的直线，再说明这条直线平分线段AB.如图，先过点P作PC⊥AB，垂足为C，再说明AC＝BC. 问题2：AC＝BC吗？说明理由. AC＝BC.理由：如图，在Rt△PAC和Rt△PBC中，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）.∴AC＝BC. 展示证明过程，引导学生理解并掌握利用全等三角形证明性质的方法 归纳总结：根据线段垂直平分线的性质和判定定理可以看出：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点也都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合. 学生活动3 · · 思考教师提出的问题，尝试通过画图和逻辑推理得出结论。 参与小组讨论，分享自己的探究过程和结论。 倾听教师的归纳总结，理解并掌握线段的垂直平分线的判定定理 活动意图说明 培养学生的逆向思维能力和逻辑推理能力。通过探究活动，加深学生对线段垂直平分线判定定理的理解。 环节四：原命题和逆命题 教师活动4 讨论：关于探究点一和探究点二中的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？回忆我们学过的知识，能说出其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设和结论正好相反，类似关系的命题有角平分线的性质和判定. 定义归纳：两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 思考：如果原命题成立，它的逆命题一定成立吗？ 例2判断下列命题及其逆命题是否成立. （1）对顶角相等； （2）内错角相等，两直线平行； （3）若a＞b，则｜a｜＞｜b｜. 总结：像例2（2）中，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理.这两个定理叫作互逆定理.其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 学生活动4 通过复习回顾，巩固学生对线段的垂直平分线性质和判定定理的理解。 引入原命题与逆命题的概念，为后续探究打下基础 学生认真听讲，记录例子，并尝试判断逆命题的真假。 小组讨论，分享自己的看法，思考原命题与逆命题成立的条件。 设计意图说明 通过具体例子，帮助学生直观理解原命题与逆命题的关系。引导学生思考原命题成立时逆命题不一定成立的情况，培养学生的批判性思维能力。 板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $