15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

15.1.2　线段的垂直平分线 第1课时　线段的垂直平分线的性质与判定 1.探索并证明线段的垂直平分线的性质和判定定理. 2.能运用线段的垂直平分线的性质及判定解题. 重点：线段的垂直平分线的性质. 难点：线段的垂直平分线的判定. 知识链接 前面我们学习了角的平分线，角平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系.类似地，这节课我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 创设情境——见配套课件 探究点一：线段的垂直平分线的性质 操作探究：如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离. 问题1：观察量得的数据，你有什么发现？ P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B… 问题2：如果把问题1中的线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都重合吗？它们都分别相等吗？ 都重合，都分别相等. 总结：由问题1，2，我们可以得出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 问题3：上面的性质，可以利用判定两个三角形全等的方法进行证明.请你完成下面的证明. 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上.求证：PA＝PB. 证明：∵l⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°.又AC＝CB，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴PA＝PB. 问题3图 例1题图 如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是　6　. 探究点二：线段的垂直平分线的判定 思考：在前面的探究中，我们得知线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与线段两个端点距离相等的点，是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？ 探究：如图，PA＝PB.点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 问题1：过点P的直线有无数条，如果我们要说明点P在AB的垂直平分线上，我们可以先选定一条怎样的直线进行说明？怎样说明？ 可以先过点P作一条与AB垂直的直线，再说明这条直线平分线段AB.如图，先过点P作PC⊥AB，垂足为C，再说明AC＝BC. 问题2：AC＝BC吗？说明理由. AC＝BC.理由：如图，在Rt△PAC和Rt△PBC中，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）.∴AC＝BC. 归纳总结：根据线段垂直平分线的性质和判定定理可以看出：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点也都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合. 探究点三：原命题和逆命题 讨论：关于探究点一和探究点二中的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？回忆我们学过的知识，能说出其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设和结论正好相反，类似关系的命题有角平分线的性质和判定. 定义归纳：两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 思考：如果原命题成立，它的逆命题一定成立吗？不一定. 判断下列命题及其逆命题是否成立. （1）对顶角相等； （2）内错角相等，两直线平行； （3）若a＞b，则｜a｜＞｜b｜. （答案在配套课件中展示） 总结：像例2（2）中，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理.这两个定理叫作互逆定理.其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点P.已知PA＝5，则线段PB的长度为（　D　） A.8 B.7 C.6 D.5 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长为（　B　） A.1　　　　　　　　B.2　　　　　　　　C.3　　　　　　　　D.4 3.如图所示的仪器中，OD＝OE，CD＝CE.小州把这个仪器放在直线l上，使点D，E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，其中蕴含的道理是　与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上　. 4.命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题是　内错角相等，两直线平行　，它是　真　（填“真”或“假”）命题. （其他课堂拓展题，见配套PPT） 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $