1.7 正方形&重难题型专练-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（湘教版）

9.解：(1)2a (2)当P为BC的中点时，四边形ADPE是菱形. 理由：连接AP,如图①. 因为PD∥AC,PE∥AB 所以四边形ADPE是平行四边形 因为AB=AC,P为BC的中点， 所以∠PAD=∠PAE. 因为PE∥AB,所以∠PAD=∠APE, 所以∠PAE=∠APE,所以EA=EP, 所以四边形ADPE是菱形. (3)当点P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE 是菱形. 理由：如图②，连接AP 因为PD∥AC,PE∥AB, 所以四边形ADPE是平行四边形. 因为AP平分∠BAC, 所以∠1=∠2. 因为AB∥PE,所以∠1=∠3， 所以∠2=∠3，所以AE=EP, 所以四边形ADPE是菱形， 【解析】1)因为AB=AC,所以∠B=∠C. 因为PD∥AC,PE∥AB, 所以∠B=∠DPB=∠EPC=∠C, 所以DB=DP,PE=EC, 所以四边形ADPE的周长=AD+DP十PE十AE AD+DB+EC+AE=AB+AC=2a. 1.7正方形 1.B2.C3.A 4.解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=CD,且∠BAD=∠CDA=90°. 因为△ADE是等边三角形， 所以AE=DE,且∠EAD=∠EDA=60°， 所以∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE= ∠CDA+∠EDA=150°，所以∠BAE=∠CDE. (AB=DC, 在△BAE和△CDE中，∠BAE=∠CDE, AE=DE, 所以△BAE≌△CDE(边角边). (2)因为AB=AD,且AD=AE,所以AB=AE, 所以△ABE为等腰三角形，所以∠ABE=∠AEB 由(1)知∠BAE=150°， 所以由三角形内角和定理可知，∠AEB=(180°一 150°)÷2=15°. 5.A 6.证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以OA=OC,OB=OD,AC⊥BD 又因为BE=DF,所以OB-BE=OD-DF, 即OE=OF. 因为OE=OA,所以OA=OC=OE=OF,所以AC =EF. 又因为AC⊥EF,所以四边形AECF是正方形！ 7.2√5 8.解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°. 因为GE⊥CD, 所以∠ADE=∠GEC=90°，所以AD∥GE, 所以∠DAG=∠EGH. (2)AH⊥EF.理由如下： 如图，连接GC交EF于点O. 因为四边形ABCD是正方形，所以AD =CD,∠ADG=∠CDG=45°. 又因为DG=DG, H 所以△ADG≌△CDG(边角边)， 所以∠DAG=∠DCG. 在正方形ABCD中，∠ECF=90°. 因为GE⊥CD,GF⊥BC, 所以∠GEC=∠GFC=90°， 所以四边形FCEG为矩形，所以OE=OC, 所以∠OEC=∠OCE,所以∠DAG=∠OEC. 由(1)，得∠DAG=∠EGH, 所以∠EGH=∠OEC,所以∠EGH+∠GEH= ∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°， 所以∠GHE=90°，所以AH⊥EF. 9.解：(1)证明：如图①，过点E作EP⊥DC,交DC的延 长线于点P,EQ⊥BC,交BC的延长线于点Q,则四边 形CQEP为矩形， 所以∠EPD=∠EQF=∠PEQ=90° 因为∠ECQ=∠BCA=∠ECP=∠DCA=45°， 所以∠CEP=∠ECP=45°，所以CP=PE, 所以四边形CQEP为正方形，所以EQ=EP, 因为EF⊥DE,所以∠DEF=∠PEQ=90°， 所以∠QEF=∠PED ∠QEF=∠PED, 在△EQF和△EPD中，EQ=EP, ∠EQF=∠EPD, 所以△EQF≌△EPD(角边角)，所以EF=ED, 所以矩形DEFG是正方形. C(F) 图① 图② (2)①如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC= √AB+BC=4√2. 因为CE=2√2，所以AE=CE,所以点F与点C重 合，此时△DCE是等腰直角三角形， 所以矩形DECG是正方形，所以CG=CE=2√2， 下册参考答案 11 ②130°或40°【解析】(2)②分以下两种情况讨论：①如 图③，当DE与AD的夹角为40时，∠DEC=45°+40°= 85°.因为∠DEF=90°，所以∠CEF=5°.因为∠ECF= 45°，所以∠EFC=130°；②如图④，当DE与DC的夹角为 40时，因为∠DEF=∠DCF=90°，所以∠EFC=∠EDC =40°.综上所述，当线段DE与正方形ABCD的某条边 的夹角是40时，∠EFC的度数为130°或40° 图③ 图④ 重难题型专练四边形中的折叠问题 1.A2.40°3.40 4.A【解析】由折叠的性质，得BC=EC.因为四边形 ABCD是矩形，所以∠D=90°，AD∥BC,AD=BC, 所以∠DEC=∠FCB,CE=AD.因为BF⊥EC,所以 ∠D=∠BFC=90°，所以△EDC≌△CFB(角角边)， 所以DE=FC=2,所以CE=√CD+DE= √+2=√5，所以AD=√5，所以AE=AD-DE= 5-2. 5.√2【解析】如图，过点F作FM」 BC于点M,FN⊥CD于点N, 所以∠CMF=∠CNF=90°. 因为四边形ABCD是矩形， 所以∠DCM=∠ABC=90°，AB CD=2,所以四边形CMFN是矩形 因为CF平分∠BCD, 所以FM=FN,∠DCF=∠BCF=45°， 所以四边形CMFN是正方形 由折叠的性质可知，AB=BF=2,∠ABE=∠FBE= 30°，所以∠FBM=30°，所以MF= 2BF=1, 所以CN=NF=MF=CM=1,DN=CD-CN=1. 在Rt△DNF中，由勾股定理，得DF=√NF+DN =√+1下=√2. 6.A【解析】由折叠可得∠ACD=∠ACD'.因为CD∥ AB,所以∠ACD=∠CAB,所以∠ACF=∠CAF,所 以AF=CF.设AF=x,则CF=x,BF=8一x.在 Rt△BCF中，根据勾股定理，得CF2=BF2+BC2,即 x2=(8-x)2+4,解得x=5,所以AF=5,所以S△A =AF,BC=5X4=10. 2 2 7.36 8.解：如图，连接PD,DE 因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=90° 因为AB=8,BE=3,所以AE=5. 因为AD=12, 412 八年级数学XJ版 所以DE=√AE十AD √52+12=13. 由折叠的性质，得EB=EP=3. 因为EP十DP≥ED, 所以当E,P,D三点共线时，DP的长最短， 所以点P到点D的最短距离=DE一EP=13一3 =10. 章末对点导练 1.C 2.84° 【解析】因为图中的两个多边形分别为正六边形 和正五边形， 所以∠BOC= (6-2)×180° 6 =120°，∠EOF= (5-2)×180 5 =108°，∠OBE=60°，∠OEB=72°，所以 ∠BOE=180°-60°-72°=48°，所以∠C0F=360°- 120°-108°-48°=84°. 3.B 4.12【解析】如图，过点A作AE⊥b 于点E.因为直线a,b垂直相交于点 O,曲线C关于点O成中心对称，点 A的对称点是A',AB⊥a,A'D⊥b, A OB=4,OD=3,所以图形①与图形 ②的面积相等，OE=OD=3,所以阴影部分的面积之 和=矩形ABOE的面积=3×4=12. 5.解：△BMN是等腰直角三角形.证明如下： 因为AC平分∠BAD,∠BAD=60°， 所以∠DAC=∠BAC=30°. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，M为AC的中点，则 BM-ZAC-MA. 所以∠MBA=∠MAB=30°， 所以∠BMC=∠MBA+∠MAB=60. 因为M,N分别为AC,CD的中点， 所以MN/AD,MN=2AD. 所以∠CMN=∠CAD=30°， 所以∠BMN=30°+60°=90°. 因为AD=AC,所以MN=MB, 所以△BMN是等腰直角三角形， 6.解：(1)证明：因为∠ADB=∠CBD=90°，所以DE ∥CB. 因为∠AEB+∠C=180°，∠AEB+∠BED=180°， 所以∠C=∠BED. 因为∠CDB=90°-∠C,∠EBD=90°-∠BED, 所以∠CDB=∠EBD,所以BE∥CD, 所以四边形BCDE是平行四边形. (2)因为四边形BCDE是平行四边形，所以BC=DE. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得1.7正方形 要闾提园 1.正方形的定义：正方形是有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，也可以看作是一组邻边相等 的矩形，或者有一个角是直角的菱形. 2.正方形的性质：(1)四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分；(2)是中心对称图形， 对角线的交点是它的对称中心；(3)是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线 都是它的对称轴。 3.正方形的判定：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等或者对角线互相垂直；(2)先 判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角或者两条对角线相等， 已课内基础练 (2)求∠AEB的度数. 知识点①正方形的性质 1.正方形既是中心对称图形，又是轴对称图 形，它的对称轴有 ( A.2条 B.4条 C.6条 D.8条 2.若正方形的周长为40，则其对角线长为 ( 知识点② 正方形的判定 A.100 B.20√2 C.10√2 D.10 5.如图，在矩形ABCD中，对角 3.转化思想如图，边长为2的正 线AC,BD交于点O.要使该 方形ABCD的对角线相交于 矩形成为正方形，则应添加的 点O,过点O的直线分别交边 0 条件是 ( 第5题图 AD,BC于E,F两点，则阴影 A.CD=AD B.OD=CD 第3题图 部分的面积是 ( C.BD=AC D.∠AOB=60° A.1 B.2 C.3 D.4 6.如下图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD 4.如下图，在正方形ABCD的外侧，作等边三 相交于点O,点E,F在对角线BD上，且 角形ADE,连接BE,CE. BE=DF,OE=OA.求证：四边形AECF是 (1)求证：△BAE≌△CDE 正方形 下册第1章 25个 已课外拓展练 已核心素养练 7.如图，正方形ABCD的对角线 9.推理能力如图，四边形ABCD为正方形，E AC,BD交于点O,M是边AD 为射线AC上一点，连接DE,过点E作EF 上一点，连接OM,过点O作 ⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻 ON⊥OM,交CD于点N.若四 第7题图 边作矩形DEFG,连接CG. 边形MOND的面积是5，则AB的长为 (1)如图①，当点E在线段AC的延长线上 时，求证：矩形DEFG是正方形. 8.如下图，在正方形ABCD中，G是对角线 (2)如图②，当点E在线段AC上时， BD上的一点（与点B,D不重合），GE⊥ ①若AB=4,CE=2√2，求CG的长度； CD,GF⊥BC,垂足分别为E,F,连接EF, ②当线段DE与正方形ABCD的某条边的 AG,并延长AG交EF于点H. 夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数： (1)求证：∠DAG=∠EGH. (2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由. G 图① 图② 26 八年级数学XJ版 重难题型专练 四边形中的折叠问题 题型① 利用折叠求角度的大小 ∠ABE=30°.将△ABE沿BE D 1.如图，将□ABCD沿AC所在直线折叠，点 折叠得△FBE,连接CF,DF B恰好落在BA延长线上的点B'处，CB'交 若CF平分∠BCD,AB=2,则 AD于点E.若∠BAD=130°，则∠B'CD的 DF的长为 第5题图 度数为 题型③利用折叠求周长或面积 A.50° B.45 6.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4.将 C.40° D.35 矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠 部分△AFC的面积为 A.10 B.12 C.16 D.20 D D 第1题图 第2题图 2.如图，将菱形纸片ABCD沿EC折叠，使点 B落在AD边上的点F处，折痕为CE.若 第6题图 第7题图 ∠D=80°，则∠ECF的度数是 7.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC= 3.如图，有一张矩形纸片ABCD,将它沿GH 6cm.点E,F分别在AB,CD上.将矩形 折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上 ABCD沿EF折叠，使点A,D分别落在矩 的点E处.若∠GHC=110°，则∠AGE的度 形ABCD外部的点A1,D1处，则整个阴影 数为 部分图形的周长为 cm. 题型④ 利用折叠求最值 8.如右图，在矩形ABCD中， D AD=12,AB=8,E是AB 第3题图 第4题图 上一点，且EB=3,F是 题型②利用折叠求线段的长度 BC上一动点.若将△EBF沿EF对折后，点 4.如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上， B落在点P处，求点P到点D的最短距离. 把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在 AD边上的点E处，过点B作BF⊥EC,垂 足为F.若CD=1,CF=2,则线段AE的长 为 A.√5-2 B.3-1 c n 5.如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点， 下册第1章 27△