1.6.2 菱形的判定-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（湘教版）

1.6.2菱形的判定 要因提园 1.根据菱形的定义判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形 3.菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或对角线互相垂直平分的四边形是菱形） 已课内基础练 若赞同小惠的证法，请在第一个 知识点① 一组邻边相等的平行四边形是菱形 方框内打“√”；若赞成小洁的说 法，请你补充一个条件，并证明. 1.条件开放题如图，将△ABC 沿射线BC方向平移得到 △DCE.当△ABC满足条件 B 第1题图 时，能够判定四 边形ACED为菱形（写出一种情况即可）. 知识点③ 四条边都相等的四边形是菱形 知识点② 对角线互相垂直的平行四边形是 4.如下图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分 菱形 别为AB,BD,CD,AC的中点，AD=BC.求 2.下列条件中，能判定四边形是菱形的是( 证：四边形EFGH是菱形. A.对角线互相垂直B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直平分 变式题如图，在四边形 ABCD中，AC⊥BD,垂足 为O,AB∥CD.要使四边 形ABCD为菱形，应添加 的条件是 (写 变式题图 易错点对菱形的判定方法掌握不牢致错 出一个即可) 5.张师傅应客户要求加工4个菱形零件， 3.小惠自编一题“如下图，在四边形ABCD中， 在交付客户前，张师傅需要对4个零件 对角线AC,BD相交于点O,AC⊥BD,OB 进行检测.根据零件的检测结果，图中有 =OD.求证：四边形ABCD是菱形”，并将 可能不合格的零件是 自己的证明过程与同学小洁交流 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 120° 60° <160° 小惠： 小洁： 2 cm 2 cm 2 cm 证明：因为AC⊥BD,OB= 这个题目还缺少 A B OD, 条件，需要补充 2 cm 1109 2 cm 所以AC垂直平分BD, 一个条件才能 了70 120 Q60° 60> 所以AB=AD,CB=CD, 证明 2 cm 2 cm 2 cm C D 所以四边形ABCD是菱形， 下册第1章 23 巴课外拓展练 核心素养练 6.四边形ABCD为矩形，过点A,C作对角线 9.推理能力如图①，△ABC为等腰三角形， BD的垂线，过点B,D作对角线AC的垂 AB=AC=a,P是底边BC上的一个动点， 线.如果用这四条垂线段拼成一个四边形， PD∥AC,PE∥AB 那么这个四边形为 (1)用a表示四边形ADPE的周长为 A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 (2)当点P运动到什么位置时，四边形 7.如图，在□ABCD中，E, ADPE是菱形？请说明理由， F分别是AB,CD的中 (3)若△ABC不是等腰三角形（如图②），其 点，AF,DE相交于点G, 他条件不变，则当点P运动到什么位置时， 第7题图 BF,CE相交于点H.当 四边形ADPE是菱形？请说明理由， □ABCD满足 时，四边形 EHFG是菱形（写出一种情况即可）. 8.如下图，将等腰三角形ABC绕顶点B逆时 针方向旋转α到△A1BC1的位置，AB与 图② A1C1相交于点D,AC与A,C1,BC1分别交 于点E,F (1)求证：△BCF≌△BA1D. (2)当∠C=a时，判断四边形A1BCE的形 状，并说明理由. 424 八年级数学XJ版因为四边形GEHF是菱形，所以GH⊥EF, 所以AB⊥EF,即AB⊥BD. (2)2【解析】(2)因为AB=2,BD=2AB,所以BD =4.因为E,O,F分别是对角线BD上的四等分点， 所以EO=OF=1,所以EF=2.因为四边形AGHB 是平行四边形，所以GH=AB=2,所以菱形GEHF 的面积=2EF·GH-号×2X2=2 11.证明：(1)连接AC,如图① 因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=BC=CD,AB∥CD. 因为∠B=60°， 所以△ABC是等边三角形，∠BCD=180°一∠B =120 因为E是BC的中点，所以AE⊥BC. 因为∠AEF=60°，所以∠FEC=90°-60°=30°， 所以∠EFC=180°-∠BCD-∠FEC=30°， 所以∠FEC=∠EFC,所以CE=CF 又因为BC=CD,所以BC-CE=CD一CF,即BE= DF. 图① 图② (2)连接AC,如图②. 由(1)，得△ABC是等边三角形， 所以AB=AC,∠BAC=∠BAE+∠EAC=60°. 因为∠EAF=∠CAF+∠EAC=6O°，所以∠BAE =∠CAF. 因为四边形ABCD是菱形，∠B=60°， 1 所以∠ACF=2∠BCD=60°=∠B, 所以△ABE≌△ACF(角边角)，所以AE=AF, 又因为∠EAF=60°，所以△AEF是等边三角形. 1.6.2菱形的判定 1.AC=BC(答案不唯一) 2.D变式题AB=CD(答案不唯一) 3.解：赞成小洁的说法.示例：补充的条件为OA=OC 证明：因为OB=OD,OA=OC, 所以四边形ABCD是平行四边形 因为AC⊥BD,所以四边形ABCD是菱形. 4.证明：因为E,F分别为AB,BD的中点， 所以EF=2AD. 同理可证EH=号BC,HG=号AD.FG=2BC. 又因为AD=BC, 所以EF=EH=HG=FG, 所以四边形EFGH是菱形. 410 八年级数学XJ版 5.C【解析】A.四条边相等的四边形是菱形，能判定为 菱形，不符合题意：B.有一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，能判定 为菱形，不符合题意；C.不能判定四边形为菱形，符合 题意；D.两组对边平行的四边形是平行四边形，邻边 相等的平行四边形是菱形，能判定为菱形，不符合 题意. 6.A【解析】如图 因为四边形ABCD为矩形， 所以S△oc=SAOD,OC=OB OA=OD. 因为过点A,C作对角线BD的垂线，过点B,D作对 角线AC的垂线，所以Saoe=S△aw=2OC·BF= 1 2OB·CH=2OD·AE=20A·DG, 所以BF=CH=AE=DG,所以如果用这四条垂线段 拼成一个四边形，那么这个四边形为菱形. 7.AB⊥BC(答案不唯一)【解析】当□ABCD满足AB ⊥BC时，□ABCD是矩形，四边形EHFG是菱形. 因为四边形ABCD是矩形，所以AE∥CF,AB=CD. 因为E是AB的中点，F是CD的中点，所以AE =CF. 所以四边形AECF是平行四边形，所以AF∥CE. 同理可得DE∥BF,所以四边形EHFG是平行四 边形. 因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=∠DCB =90°. 因为E是AB的中点，F是CD的中点，所以BE =CF BE=CF, 在△EBC和△FCB中，∠EBC=∠FCB, BC=CB, 所以△EBC≌△FCB(边角边)， 所以CE=BF,∠ECB=∠FBC,所以BH=CH, 所以EH=FH,所以四边形EHFG是菱形. 8.解：(1)证明：因为△ABC是等腰三角形， 所以AB=BC,∠A=∠C. 由旋转性质，得A,B=AB=BC,∠A=∠A,=∠C, ∠A,BD=∠CBF=a, 所以△BCF≌△BA,D(角边角). (2)四边形A,BCE是菱形.理由： 因为∠ADE=∠A1DB,∠A1=∠A, 所以∠AED=∠A,BD=a&. 因为∠C=a,所以∠AED=∠C,所以A,E∥BC. 因为∠A=∠C=a,∠A,BD=a, 所以∠A=∠A,BD,所以A1B∥EC, 所以四边形A,BCE是平行四边形. 又因为A,B=BC, 所以四边形ABCE是菱形. 9.解：(1)2a (2)当P为BC的中点时，四边形ADPE是菱形. 理由：连接AP,如图①. 因为PD∥AC,PE∥AB 所以四边形ADPE是平行四边形 因为AB=AC,P为BC的中点， 所以∠PAD=∠PAE. 因为PE∥AB,所以∠PAD=∠APE, 所以∠PAE=∠APE,所以EA=EP, 所以四边形ADPE是菱形. (3)当点P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE 是菱形. 理由：如图②，连接AP 因为PD∥AC,PE∥AB, 所以四边形ADPE是平行四边形. 因为AP平分∠BAC, 所以∠1=∠2. 因为AB∥PE,所以∠1=∠3， 所以∠2=∠3，所以AE=EP, 所以四边形ADPE是菱形， 【解析】1)因为AB=AC,所以∠B=∠C. 因为PD∥AC,PE∥AB, 所以∠B=∠DPB=∠EPC=∠C, 所以DB=DP,PE=EC, 所以四边形ADPE的周长=AD+DP十PE十AE AD+DB+EC+AE=AB+AC=2a. 1.7正方形 1.B2.C3.A 4.解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=CD,且∠BAD=∠CDA=90°. 因为△ADE是等边三角形， 所以AE=DE,且∠EAD=∠EDA=60°， 所以∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE= ∠CDA+∠EDA=150°，所以∠BAE=∠CDE. (AB=DC, 在△BAE和△CDE中，∠BAE=∠CDE, AE=DE, 所以△BAE≌△CDE(边角边). (2)因为AB=AD,且AD=AE,所以AB=AE, 所以△ABE为等腰三角形，所以∠ABE=∠AEB 由(1)知∠BAE=150°， 所以由三角形内角和定理可知，∠AEB=(180°一 150°)÷2=15°. 5.A 6.证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以OA=OC,OB=OD,AC⊥BD 又因为BE=DF,所以OB-BE=OD-DF, 即OE=OF. 因为OE=OA,所以OA=OC=OE=OF,所以AC =EF. 又因为AC⊥EF,所以四边形AECF是正方形！ 7.2√5 8.解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°. 因为GE⊥CD, 所以∠ADE=∠GEC=90°，所以AD∥GE, 所以∠DAG=∠EGH. (2)AH⊥EF.理由如下： 如图，连接GC交EF于点O. 因为四边形ABCD是正方形，所以AD =CD,∠ADG=∠CDG=45°. 又因为DG=DG, H 所以△ADG≌△CDG(边角边)， 所以∠DAG=∠DCG. 在正方形ABCD中，∠ECF=90°. 因为GE⊥CD,GF⊥BC, 所以∠GEC=∠GFC=90°， 所以四边形FCEG为矩形，所以OE=OC, 所以∠OEC=∠OCE,所以∠DAG=∠OEC. 由(1)，得∠DAG=∠EGH, 所以∠EGH=∠OEC,所以∠EGH+∠GEH= ∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°， 所以∠GHE=90°，所以AH⊥EF. 9.解：(1)证明：如图①，过点E作EP⊥DC,交DC的延 长线于点P,EQ⊥BC,交BC的延长线于点Q,则四边 形CQEP为矩形， 所以∠EPD=∠EQF=∠PEQ=90° 因为∠ECQ=∠BCA=∠ECP=∠DCA=45°， 所以∠CEP=∠ECP=45°，所以CP=PE, 所以四边形CQEP为正方形，所以EQ=EP, 因为EF⊥DE,所以∠DEF=∠PEQ=90°， 所以∠QEF=∠PED ∠QEF=∠PED, 在△EQF和△EPD中，EQ=EP, ∠EQF=∠EPD, 所以△EQF≌△EPD(角边角)，所以EF=ED, 所以矩形DEFG是正方形. C(F) 图① 图② (2)①如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC= √AB+BC=4√2. 因为CE=2√2，所以AE=CE,所以点F与点C重 合，此时△DCE是等腰直角三角形， 所以矩形DECG是正方形，所以CG=CE=2√2， 下册参考答案 11