1.4 三角形的中位线定理-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（湘教版）

1.4三角形的中位线定理 要闾提园 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 已课内基础练 知识点② 三角形的中位线与平行四边形 知识点①三角形的中位线定理 4.整体思想如图，□AB 1.(2025洪江期中)如图，在△ABC中，BC= CD的对角线AC,BD相 0 4,点D,E分别为AB,AC的中点，则DE= 交于点O,E,F分别是 B 线段AO,BO的中点.若 第4题图 ( 1 AC+BD=24cm,△OAB的周长是18cm, A.4 B. 2 C.1 D.2 则EF= cm. 5.如下图，D,E,F分别为△ABC的边AC, AB,BC的中点，连接DE,DF,EF,BD, BD与EF相交于点O. 第1题图 变式题图 (1)求证：OE=OF. 变式题反向思维：三角形的第三边等于中 (2)若∠ABC=90°，试判断线段BD与EF 的数量关系，并说明理由. 位线的两倍 如图，A,B两点被池塘隔开，A,B,C三点 不共线.设AC,BC的中点分别为M,N. 若MN的长度为3m,则AB的长度为 A.4m B.6m C.8m D.10m 2.(教材变式)如图，D,E,F分别为△ABC三 边的中点.若△ABC的周长为10，则△DEF 的周长为 易错点运用中位线定理时出错 6.如图，点D,E,F分别为△ABC各边中 点，下列说法正确的是 第2题图 第3题图 A.DE=DF 3.(2025怀化九县十校联考)如图，在△ABC 中，AB=10,BC=16,点D,E分别是边 B.EF-2AB AB,AC的中点，点F是线段DE上的一点， C.S△ABD=SAACD D 连接AF,BF.若∠AFB=90°，则线段EF 第6题图 D.AD平分∠BAC 的长为 下册第1章 15 已课外拓展练 已核心素养练 -- 7.如图，已知四边形AB 10.推理能力(1)如图①，BD,CE分别是 CD,R,P分别是DC,BC △ABC的外角平分线，过点A作AF⊥ 上的点，E,F分别是AP, BD,AG⊥CE,垂足分别是F,G,连接FG RP的中点.当点P从点 第7题图 求证：FG= 2(AB+BC+AC). B向点C移动，且点R从点D向点C移动 (点P,R与点C不重合)时，下列结论成立 (2)如图②，若BD,CE分别是△ABC的内 的是 角平分线，过点A作AF⊥BD,AG⊥CE, A.线段EF的长逐渐增大 垂足分别是F,G,连接FG.线段FG与 B.线段EF的长逐渐减小 △ABC的三边又有怎样的数量关系？写 C.线段EF的长不变 出你的猜想，并给予证明. D.四边形ABCR的面积不变 8.如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形 各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接 图 图② 所得的小三角形各边中点得到第2个小三 角形，…如此操作下去，则第n个小三角 形的面积为 第8题图 9.定义：至少有一组对边相等的凸四边形为 “等对边四边形”.如下图，已知四边形AB CD,E,F分别是对角线AC,BD的中点，G 为BC的中点，连接EF,FG,EG,△EFG为 等边三角形.求证：四边形ABCD是“等对边 四边形”. 金16 八年级数学XJ版5.2或6【解析】当点F在点C的左侧时，根据题意，得 AE=tcm,BF=2tcm,则CF=BC一BF=(6一 2t)cm.因为AG∥BC,所以当AE=CF时，四边形 AECF是平行四边形，即t=6一2t,解得t=2: 当点F在点C的右侧时，根据题意，得AE=tcm,BF =2tcm,则CF=BF一BC=(2t一6)cm.因为AG∥ BC,所以当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边 形，即t=2t一6，解得1=6. 故当t=2或6时，以A,C,E,F为顶点的四边形是平 行四边形. 6.解：(1)证明：因为△ABC为等边三角形， 所以AC=CB,∠DCA=∠FBC=60°. AC=CB 在△ACD和△CBF中，{∠DCA=∠FBC, CD=BF, 所以△ACD≌△CBF(边角边). (2)当点D在线段BC的中点处时， 四边形CDEF是平行四边形且 ∠DEF=30°.理由如下： 如图，连接BE 由题意，得AB=AC,AE=AD, ∠BAC=∠EAD=60°， 所以∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=6O°， 所以∠EAB=∠DAC, 所以△AEB≌△ADC(边角边)， 所以BE=CD=BF,∠EBA=∠DCA=60°， 所以△EFB为等边三角形， 所以EF=BF=CD,∠EFB=6O° 又因为∠FBC=60°，所以EF∥BC,即EF∥CD, 所以四边形CDEF是平行四边形， 当D是线段BC的中点时，BF=CD=BC= 2AB. 所以CF⊥AB,所以∠BFC=90°， 所以∠FCD=180°-∠FBC-∠BFC=30°， 所以∠DEF=∠FCD=30°. 故当点D在线段BC的中点处时，四边形CDEF是平 行四边形且∠DEF=30. 1.3中心对称和中心对称图形 1.A2.E3.D 4.点C点F点D GE GE C平分△FGE 5.解：(1)对称中心O的位置如图所示 (2)四边形BC'B'C是平行四边形.理由如下： 由中心对称的性质可得OB=OB',OC=OC', 所以四边形BCB'C是平行四边形. 6.C7.A 46 八年级数学XJ版 8.D【解析】如下图，补画完的图形是轴对称图形，一共 有4种. 如下图，补画完的图形是中心对称图形，一共有3种。 9.4【解析】根据中心对称的性质可判断，图中成中心对 称的三角形有△AOD和△COB,△ABO和△CDO, △ACD和△CAB,△ABD和△CDB,共4对. 10.2【解析】因为△ABC与△DEC关于点C成中心 对称， 所以AC=CD,DE=AB=3.因为AE=5,∠D =90°， 所以AD=VAE-DE=4,所以AC=2AD=2. 11.解：(1)△EBD与△ACD关于点D成中心对称. (2)因为D是△ABC的边BC的中点，所以BD =DC. 所以△ABD与△ADC为等底同高的三角形， 所以S△ABD=S△ADc=4. 又因为△EBD与△ACD关于点D成中心对称， 所以S△ED=S△D=4,所以S△AE=S△ABD十S△ED=4 +4=8. 12.解：（答案不唯一）(1)如图①所示，6个阴影小等边三 角形组成一个轴对称图形。 (2)如图②所示，6个阴影小等边三角形组成一个中 心对称图形 图① 图② 13.解：如图所示 1.4三角形的中位线定理 1.D变式题B2.5 3.3【解析】因为∠AFB=90°，点D是AB的中点， 所以DF-子AB=5 因为D,E分别是AB,AC的中点， 所以DE=号BC=号×16=8 所以EF=DE-DF=8-5=3. 4.3【解析】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA=OC,OB=OD. 又因为AC+BD=24cm,所以OA十OB=12cm. 因为△OAB的周长是18cm,所以AB=6cm. 因为E,F分别是线段AO,BO的中点， 所以EF是△OAB的中位线，所以EF=号AB= 3 cm. 5.解：(1)证明：因为D,E,F分别是AC,AB,BC的 中点， 所以DE,DF为△ABC的中位线， 所以DE∥BC,DF∥AB, 所以四边形EBFD是平行四边形，所以OE=OF. (2)BD=EF.理由如下： 因为D是AC的中点，∠ABC=90°，所以BD= 1 C. 因为E,F分别是AB,BC的中点，所以EF= 所以BD=EF. 6.C 7.A【解析】因为E,F分别是AP,RP的中点，所以EF =2AR.因为当点P从点B向点C移动，点R从点D 向点C移动（点P,R与点C不重合）时，AR的长度逐 渐增大，所以线段EF的长逐渐增大.S四边形AR= Sm边形ABCD一S△ADR,因为DR随着点R的运动逐渐增 大，所以S△ADR逐渐增大，所以S网边形ABR逐渐减小. 8.2一【解析】记原来三角形的面积为S,第一个小三 角形的面积为S1,第二个小三角形的面积为S2,… 1 11 2·S,,所以S.=2·S=2X2×2X2 1 =2 9.证明：因为△EFG为等边三角形，所以EG=FG. 因为E,F分别是对角线AC,BD的中点，G为BC的 中点，所以EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的 中位线，所以CD=2FG,AB=2EG,所以CD=AB, 所以四边形ABCD是“等对边四边形” 10.解：(1)证明：延长AF交BC于点M,延长AG交BC 于点N,如图①.因为AF⊥BD,所以∠AFB= ∠MFB.因为BD是△ABC的外角平分线，所以 ∠ABF=∠MBF. (∠AFB=∠MFB, 在△ABF和△MBF中，BF=BF, ∠ABF=∠MBF, 所以△ABF≌△MBF(角边角)， 所以MB=AB,AF=MF 同理可得CN=AC,AG=NG, 所以FG是△AMN的中位线，所以FG=2MN= 1 1 (MB+BC+CN)=(AB+BC+AC). 图① 图② (2)猜想：FG=2(AB+AC-BC). 证明：如图②，延长AG,AF,分别与直线BC相交于 点M,N.同(1)可证得△ABF≌△NBF, 所以NB=AB,AF=NF 同理可得MC=AC,AG=MG, 所以FG=2MN,所以MN=2FG, 所以BC=BN+MC-MN=AB+AC-2FG, 所以FG=2(AB+AC-BC). 1.5矩形 1.5.1矩形的性质 1.(2)平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行 四边形 (3)矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形 2.C3.B 4.2√5【解析】因为在矩形ABCD中，AB=4,AD=6, 所以BC=AD=6,∠A=∠ABC=90. 因为BE=BC,所以BE=6,所以AE=√BE-AB =2√5. 因为CF⊥BE,∠ABC=90°， 所以∠BFC=∠A=90°，∠ABE=90°-∠EBC=∠FCB. ∠A=∠BFC, 在△ABE和△FCB中，∠ABE=∠FCB, BE=CB. 所以△ABE≌△FCB(角角边)，所以BF=EA=2√5. 5.解：因为四边形ABCD是矩形， 所以CD=AB=6,AC=BD,∠BCD=90°. 又因为∠DBC=30°，所以BD=2CD=2×6=12, 所以AC=12. 6.47.B 8.D【解析】在矩形ABCD中，∠ADC=90°，OC=OD. 因为∠ADE：∠EDC=3:2,∠ADE+∠EDC=90°， 所以∠EDC=36° 因为DE⊥AC,所以∠DCE=90°-36°=54°. 因为OC=OD,所以∠ODC=∠OCD=54°， 所以∠BDE=∠BDC-∠EDC=54°-36°=18°. 9.2【解析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得OD 下册参考答案 (⑦△