阶段综合训练 平行四边形的性质与判定-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（湘教版）

阶段综合训练 平行四边形的性质与判定 题型① 利用平行四边形的性质与判定进行 (2)若BE平分∠ABC,求证：AB2=AE 角的计算 +BE2. 1.如下图，在四边形ABCD中，AD=BC,O是 对角线AC的中点，E是BC边上一点，连接 EO并延长交AD于点F,交BA的延长线于 点G,且OE=OF. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形 (2)若∠D=63°，∠G=42°，求∠GEC的 度数 3.推理能力如图，在△ABC中，AB=AC,点 D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥ AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F. 图① 图② 图③ (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE +DF=AC. (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②： 题型② 利用平行四边形的性质与判定探究 当点D在边BC的反向延长线上时，如图 线段问题 ③.请分别写出图②、图③中DE,DF,AC 2.(2025岳阳模拟)如下图，将□ABCD沿过 之间的数量关系，不需要证明， 点A的直线L折叠，使点D落到AB边上的 (3)若AC=6,DE=4,求DF的长. 点D'处，折痕l交CD边于点E,连接BE, (1)求证：四边形BCED'是平行四边形 0 下册第1章 题型③利用平行四边形的性质与判定解决 6.如右图，△ABC为等边三角 面积问题 形，D,F分别为CB,AB边 4.如下图，在□ABCD中，E是边BC的中点， 上的点，且CD=BF,连接 连接AE并延长，与DC的延长线相交于点 AD,CF,以AD为边作等 F,连接BF 边三角形ADE,连接EF. (1)求证：四边形ABFC是平行四边形. (1)求证：△ACD≌△CBF. (2)若AF平分∠BAD,∠D=60°，AD=8, (2)当点D在线段BC的何处时，四边形 求□ABCD的面积. CDEF是平行四边形且∠DEF=30°？请说 明理由. 题型④ 利用平行四边形的性质与判定探究 条件（结论）问题 5.分类讨论思想如图，在等 G 边三角形ABC中，BC= 6cm,射线AG∥BC,点E B→FC 从点A出发沿射线AG以 第5题图 1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射 线BC以2cm/s的速度运动.如果点E,F 同时出发，设运动时间为ts,那么当t 时，以A,C,E,F为顶点的 四边形是平行四边形 412 八年级数学XJ版BC,所以四边形ABCD是平行四边形，所以CD=AB =5,所以四边形MNCD的周长为MD+CD+CN+ MN=BN+CD+CN+MN=CD+BC+MN=5+8 +5=18. 10.24【解析】因为AC与BD互相平分， 所以四边形ABCD是平行四边形， 所以0D-号BD=3em,0A-AC=5m 因为AD=4cm,OA=5cm,OD=3cm, 所以AD+OD2=OA2, 所以△ADO为直角三角形，∠ADO=90°， 所以AD⊥BD, 所以四边形ABCD的面积为AD·BD=4×6=24 (cm). 11.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，O是对角线 AC的中点，所以AD∥BC,AO=CO,所以∠EAO =∠FCO. ∠EAO=∠FCO, 在△OAE和△OCF中，〈AO=CO, ∠AOE=∠COF, 所以△OAE≌△OCF(角边角)，所以OE=OF 同理可证得△OAG≌△OCH,所以OG=OH, 所以四边形EGFH是平行四边形. 12.解：(1)证明：因为CF∥AE,所以∠CFD=∠AED. 因为D是AC的中点，所以CD=AD. (∠CFD=∠AED, 在△CDF和△ADE中，∠FDC=∠EDA, CD=AD. 所以△CDF≌△ADE(角角边)， 所以DF=DE, 所以四边形AFCE是平行四边形. (2)因为四边形AFCE是平行四边形， 所以SOAFCE=2S△ACE· 因为BC=2CE,△ACE的CE边上的高与△ABC的 BC边上的高相等， 所以2S△ACE=S△ABC, 所以SOAFCE=S△ABC=8, 1 所以S△cme=4SaAE=4X8=2. 阶段综合训练平行四边形的性质与判定 1.解：(1)证明：因为O是对角线AC的中点，所以OA =OC. (OC=OA, 在△COE和△AOF中，{∠COE=∠AOF, OE=OF. 所以△COE≌△AOF(边角边)， 所以∠OCE=∠OAF, 所以AD∥BC. 又因为AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形. (2)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠B=∠D=63°， 所以∠GEC=∠B+∠G=63°+42°=105. 2.解：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠D=∠CBA,DC∥AB. 因为将口ABCD沿过点A的直线I折叠，使点D落到 AB边上的点D'处， 所以∠D=∠AD'E,所以∠AD'E=∠CBA, 所以ED'CB. 又因为EC∥D'B, 所以四边形BCED'是平行四边形. (2)因为BE平分∠ABC, 所以∠CBE=∠EBA. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以ADBC, 所以∠DAB+∠CBA=180°. 由折叠的性质，得∠DAE=∠BAE, 所以∠EAB+∠EBA=90°，所以∠AEB=90°， 所以AB=AE2+BE. 3.解：(1)证明：因为DE∥AC,DF∥AB, 所以∠FDC=∠B,四边形AEDF是平行四边形， 所以DE=AF. 又因为AB=AC,所以∠B=∠C, 所以∠FDC=∠C,所以DF=FC, 所以DE+DF=AF+FC=AC. (2)当点D在边BC的延长线上时，DE一DF=AC: 当点D在边BC的反向延长线上时，DF-DE=AC. (3)由(1)(2)可知，当AC>DE时，点D在边BC或边 BC的反向延长线上，所以DF=AC一DE=6一4=2 或DF=AC十DE=6十4=10，即DF的长为2或10. 4.解：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD,CD=AB,所以∠ABE=∠FCE. 因为E为BC的中点，所以BE=CE. ∠ABE=∠FCE, 在△AEB和△FEC中，BE=CE, ∠AEB=∠FEC, 所以△AEB≌△FEC(角边角)，所以AB=CF. 又因为AB∥CF,所以四边形ABFC是平行四边形. (2)因为AB∥CD,所以∠D+∠BAD=180°. 因为∠D=60°，所以∠BAD=120°. 因为AF平分∠BAD,所以∠FAD=号∠BAD=60, 所以△ADF为等边三角形. 由(1)可知，AB=CF,CD=AB, 所以CF=CD,所以∠CAD=30°，∠ACD=90°. 因为AD=8,所以CD=名AD=4, 所以AC=√AD-CD=45, 所以SaAD=CD·AC=4X4√5=16V3. 下册参考答案 5Λ 5.2或6【解析】当点F在点C的左侧时，根据题意，得 AE=tcm,BF=2tcm,则CF=BC一BF=(6一 2t)cm.因为AG∥BC,所以当AE=CF时，四边形 AECF是平行四边形，即t=6一2t,解得t=2: 当点F在点C的右侧时，根据题意，得AE=tcm,BF =2tcm,则CF=BF一BC=(2t一6)cm.因为AG∥ BC,所以当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边 形，即t=2t一6，解得1=6. 故当t=2或6时，以A,C,E,F为顶点的四边形是平 行四边形. 6.解：(1)证明：因为△ABC为等边三角形， 所以AC=CB,∠DCA=∠FBC=60°. AC=CB 在△ACD和△CBF中，{∠DCA=∠FBC, CD=BF, 所以△ACD≌△CBF(边角边). (2)当点D在线段BC的中点处时， 四边形CDEF是平行四边形且 ∠DEF=30°.理由如下： 如图，连接BE 由题意，得AB=AC,AE=AD, ∠BAC=∠EAD=60°， 所以∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=6O°， 所以∠EAB=∠DAC, 所以△AEB≌△ADC(边角边)， 所以BE=CD=BF,∠EBA=∠DCA=60°， 所以△EFB为等边三角形， 所以EF=BF=CD,∠EFB=6O° 又因为∠FBC=60°，所以EF∥BC,即EF∥CD, 所以四边形CDEF是平行四边形， 当D是线段BC的中点时，BF=CD=BC= 2AB. 所以CF⊥AB,所以∠BFC=90°， 所以∠FCD=180°-∠FBC-∠BFC=30°， 所以∠DEF=∠FCD=30°. 故当点D在线段BC的中点处时，四边形CDEF是平 行四边形且∠DEF=30. 1.3中心对称和中心对称图形 1.A2.E3.D 4.点C点F点D GE GE C平分△FGE 5.解：(1)对称中心O的位置如图所示 (2)四边形BC'B'C是平行四边形.理由如下： 由中心对称的性质可得OB=OB',OC=OC', 所以四边形BCB'C是平行四边形. 6.C7.A 46 八年级数学XJ版 8.D【解析】如下图，补画完的图形是轴对称图形，一共 有4种. 如下图，补画完的图形是中心对称图形，一共有3种。 9.4【解析】根据中心对称的性质可判断，图中成中心对 称的三角形有△AOD和△COB,△ABO和△CDO, △ACD和△CAB,△ABD和△CDB,共4对. 10.2【解析】因为△ABC与△DEC关于点C成中心 对称， 所以AC=CD,DE=AB=3.因为AE=5,∠D =90°， 所以AD=VAE-DE=4,所以AC=2AD=2. 11.解：(1)△EBD与△ACD关于点D成中心对称. (2)因为D是△ABC的边BC的中点，所以BD =DC. 所以△ABD与△ADC为等底同高的三角形， 所以S△ABD=S△ADc=4. 又因为△EBD与△ACD关于点D成中心对称， 所以S△ED=S△D=4,所以S△AE=S△ABD十S△ED=4 +4=8. 12.解：（答案不唯一）(1)如图①所示，6个阴影小等边三 角形组成一个轴对称图形。 (2)如图②所示，6个阴影小等边三角形组成一个中 心对称图形 图① 图② 13.解：如图所示 1.4三角形的中位线定理 1.D变式题B2.5 3.3【解析】因为∠AFB=90°，点D是AB的中点， 所以DF-子AB=5 因为D,E分别是AB,AC的中点， 所以DE=号BC=号×16=8 所以EF=DE-DF=8-5=3. 4.3【解析】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA=OC,OB=OD.