1.2.2 平行四边形的判定-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（湘教版）

1.2.2平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定定理1、2 要周提园 1.平行四边形的判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2.平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 课内基础练 知识点② 两组对边分别相等的四边形是平 知识点① 一组对边平行且相等的四边形是 行四边形 平行四边形 4.如图，已知△ABD,用尺规进行如下操作： 1.已知在四边形ABCD中，AB∥CD.添加下 ①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以 列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是 点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在 平行四边形的是 ( BD上方交于点C,连接BC,DC.可直接判 A.AD=BC B.AC=BD 定四边形ABCD为平行四边形的条件是 C.AB=CD D.AB=AD 2.情境应用如图所示的是 A.两组对边分别平行 某小区门口汽车出入道闸 B.两组对边分别相等 示意图.四边形ABCD在 C.对角线互相平分 长方形道闸(AB=DC)打 D.一组对边平行且相等 第4题图 开的过程中，边AB固定， 5.将两块相同的含有30°角的三 第2题图 连杆AD,BC分别绕点A,B转动，且边DC始 角尺按如图所示的方式摆放 30° 终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与 在一起，则四边形ABCD为平 BC的关系为 行四边形.判断的依据可以是 第5题图 3.答题模板如右图，在 □ABCD中，点E,F分 别在DA,BC的延长线B 6.数形结合思想如下图，在四边形ABCD中， AB=5,BC=x-5,DC=x-3,AD=11- 上，且AE=CF.求证：四边形EBFD为平 x,BD=4,BD⊥BC.试判断四边形ABCD 行四边形. 的形状，并说明理由. 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD= ,AD∥ 因为AE=CF, 所以AD+AE 即DE= 又因为DE∥ 所以四边形EBFD为平行四边形. 下册第1章 已课外拓展练 已核心素养练 7.对于四边形ABCD,给出下列条件：①AB∥ 11.分类讨论思想如下图，在四边形ABCD CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC. 中，AD∥BC,AD=6,BC=16,点E是BC 从以上条件中选择两个，能使四边形ABCD 的中点.点P以每秒1个单位长度的速度 为平行四边形的选法共有 ( 从点A出发，沿AD向点D运动，到达点 A.3种B.4种C.5种 D.6种 D处后停止运动；同时点Q以每秒2个单 8.已知A,B,C是平面内不在同一条直线上的 位长度的速度从点C出发，沿CB向点B 三点，D是平面内任意一点.若A,B,C,D 运动.点P停止运动时，点Q也随之停止 四点恰好能构成一个平行四边形，则在平面 运动.设运动时间为ts.求t为何值时，以 内符合这样条件的点D有 点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四 A.1个B.2个 C.3个D.4个 边形. 9.图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意 A 图.已知AB=40cm,BC=25cm,DE=CF =10cm,CD=EF=9cm.当CD⊥AB时， 窗户为完全开启状态，此时点A到点E的距 离为 cm 图① 图② 第9题图 10.如下图，E,F分别是□ABCD的AD,BC 边上的点，且AE=CF (1)求证：△ABE≌△CDF. (2)若M,N分别是 BE,DF的中点，连接 MF,EN,求证：四边形 6 MFNE是平行四边形. 八年级数学XJ版 第2课时平行四边形的判定定理3 要周提园 1.平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形， 已课内基础练 4.如下图，□ABCD的对角线AC,BD相交于 知识点① 点O,EF过点O交AD于点E,交BC于点 对角线互相平分的四边形是平行 F,G是OA的中点，H是OC的中点.求证： 四边形 四边形EGFH是平行四边形. 1.在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O.下列条件能判定这个四边形是平行四 边形的是 ) A.OA=2,OB=2,OC=2.5,OD=1.5 B.OA=2,OB=2,OC=2.5,OD=2.5 C.OA=2,OB=1.5,OC=2,OD=1.5 D.OA=1.5,OB=2,OC=2.5,OD=2 2.（2025洪江月考)如图，在 △ABC中，AD是BC边上的 知识点② 两组对角分别相等的四边形是平 中线，延长AD至点E,使DE 行四边形 =AD,连接BE,CE,则四边形 5.一个四边形的三个相邻内角度数依次如下， ABEC是 第2题图 那么其中是平行四边形的是 () 3.一题多解法如下图，在口ABCD中，对角线 A.88°，108°，88 B.88°，104°，108° AC,BD相交于点O,过点A作AN⊥BD C.88°，92°，92 D.88°，92°，88 于点N,过点C作CM⊥BD于点M,连接 6.已知在四边形ABCD中，∠A,∠B,∠C,∠D AM,CN.求证：四边形ANCM为平行四 的度数之比为4：3：m:n,则下列m:n的值 边形 能判定四边形ABCD是平行四边形的是 A.6 c号 4 0.6 7.如下图，在四边形ABCD中，∠B=∠D, ∠DCA=∠CAB.求证：四边形ABCD是平 行四边形 下册第1章 9△ 已课外拓展练 分别交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH. 求证：四边形EGFH是平行四边形. 易错点对平行四边形判定方法不熟悉 出错 8.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,E,F是对角线AC上的两 点.给出下列四个条件：①OE=OF: ②DE=BF;③∠ADE=∠CBF; ④∠ABE=∠CDF.其中不能判定四边 形DEBF是平行四边形的有 ( A.0个 B.1个C.2个 D.3个 已核心素养练 12.推理能力如下图，在△ABC中，D是AC 第8题图 第9题图 的中点，E是线段BC延长线上一点，连接 9.(教材变式)如图，在四边形ABCD中，点 AE,ED,过点C作CF∥AE交ED的延长 M,N分别在AD,BC上，MN和BD交于 线于点F,连接AF. 点O且互相平分.若AD=BC=8,MN= (1)求证：四边形AFCE是平行四边形， AB=5,则四边形MNCD的周长为 (2)若BC=2CE,△ABC的面积为8，求 △CDF的面积. 10.情境应用图①是小蒲周末学做的小蛋糕， 每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形 ABCD,小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个 十字花（如图②）.已知AC与BD互相平分 且交于点O,AD=4cm,AC=10cm,BD= 6cm,则一块小蛋糕的上表面ABCD的面 积为 cm 图① 图② 第10题图 11.如右图，在□ABCD中， O是对角线AC的中点， EF过点O,与AD,BCB 分别交于点E,F,GH过点O,与AB,CD 410 八年级数学XJ版半部分的阴影面积等于上半部分的空白面积， 1 所以S刚影都分=2SaAD. 因为BC=10,BC边上的高为6，所以SBARCD=10X6 =60, 所以S阴5都分=2X60=30. 6.20 7.2√I3【解析】因为四边形ABCD是平行四边形 所以OA=OC=AC=3,0B=0D=号BD=5. 在△ABO中，因为AB=4,OA=3,OB=5, 所以AB+OA2=OB, 所以△ABO是直角三角形，且∠BAO=90°. 在Rt△ABC中，BC=√AB+AC=√/4+6= 2/13. 8.6【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA =OC,OB=OD,AD∥BC,所以∠MAO=∠NCO, ∠AMO=∠CNO,所以△AOM≌△CON(角角边)， 所以S△A0M=S△coN=2.因为S△WM=4,所以S△AD= 6.因为△AOB与△AOD是等底等高的三角形，所以 S△AoB=6. 9.证明：如图，连接AC交BD于点O. 因为四边形ABCD和四边形 AECF都是平行四边形， 所以OB=OD,OE=OF. 因为BE=OB-OE,DF=OD -OF, 所以BE=DF, ◆一题多解法《 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=CD,AB∥CD, 所以∠ABF=∠CDE. 因为四边形AECF是平行四边形， 所以AF∥CE,所以∠AFE=∠CEF 在△ABF和△CDE中， I∠AFB=∠CED, ∠ABF=∠CDE, AB=CD, 所以△ABF≌△CDE(角角边)，所以BF=DE 因为BE=BF一EF,DF=DE一EF, 所以BE=DF 10.A 11.C【解析】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC,AD∥BC,AO=CO,BO=DO, 1 所以SAADD=SAcDn=2SaAm,∠ODE=∠OBF. 又因为∠DOE=∠BOF,所以△ODE≌△OBF(角 边角)， 所以S△ooE=SAOBF,EO=FO.故①②正确. 因为S AABD=S△CDB,S△ODE=S△OF, 所以S△ABD-S△ODE=SACDH-S△OBF, 即S四边形AE=S网边形cOF,故④正确。 无法确定AE=ED,故③不正确. 综上所述，正确结论的个数为3. 12.24【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以 AO=CO,AD∥BC,所以∠EAO=∠FCO.又因为 ∠AOE=∠COF,所以△AOE≌△COF(角边角)，所 以OE=OF=3,AE=CF,所以EF=6.因为□ABCD 的周长是36，所以AB+BC=18,所以四边形ABFE 的周长=AB+BF+AE+EF=AB+BF+CF+EF =AB+BC+EF=18+6=24. 13.4√2【解析】因为四边形PAQC是平行四边形， 所以A0=C0=2AC=4,0P=00, 当PO最短时，PQ最短. 如图，过点O作OP'⊥AB于点P' 因为∠BAC=45°， 所以∠AOP'=45°=∠BAC, 所以AP'=OP' 又因为AP?+OP2=OA2=4, 所以OP'=2√2， 所以PQ长度的最小值为2OP'=4√2， 14.解：AO=CODO=BO EA EO√AB-AO 33√EA-AO产4√3E0-D043-3 15.解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ACB'=∠ACB. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC,所以∠DAC=∠ACB, 所以∠DAC=∠ACB', 所以AF=CF. (2)因为四边形ABCD是平行四边形，BD=2, 所以BE=DE=2BD=1. 根据折叠的性质，得∠AEB=∠AEB'=45°，BE= B'E. 所以∠DEB'=180°-∠AEB-∠AEB'=90°，B'E =DE. 所以△DBE是等腰直角三角形， 所以B'D=√2DE=√2. 1.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定定理1、2 1.C2.平行且相等（或AD LBC) 3.BCBCBC CF BF BF 4.B【解析】由作图知，BC=AD,CD=AB, 所以四边形ABCD为平行四边形， 所以直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 两组对边分别相等. 下册参考答案 3 5.两组对边分别相等的四边形是平行四边形（答案不 唯一) 6.解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下： 因为BC=x-5,DC=x-3,BD=4,BD⊥BC, 所以CD2一BC2=BD,即(x一3)2一(x一5)2=16，解 得x=8,所以BC=3,DC=5,AD=3, 所以AB=CD,AD=BC, 所以四边形ABCD是平行四边形， 7.B【解析】根据平行四边形的定义和判定定理1、2可知 符合题意的选法有4种，分别是①②，②④，①③，③④. 8.C【解析】由题意画出图形，如图，可知符合条件的点 D有3个. D 9.28【解析】因为DE=CF,CD=EF, 所以四边形CDEF为平行四边形，所以CD∥EF 因为CD⊥AB,所以EF⊥AB. 在Rt△BEF中，EF=9cm,BF=BC-CF=25-10= 15(cm),所以BE=√BF2-EF=√15-92=12(cm), 所以AE=AB-BE=40-12=28(cm). 10.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=CD,∠A=∠C. 又因为AE=CF,所以△ABE≌△CDF(边角边). (2)由(1)得△ABE≌△CDF, 所以∠AEB=∠CFD,BE=DF 又因为M,N分别是BE,DF的中点， 所以ME=BE,FN=DF,所以ME=FN. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC,所以∠AEB=∠FBE 所以∠CFD=∠FBE,所以BE∥DF,即ME∥FN, 所以四边形MFNE是平行四边形 11.解：由题意可知，AP=,CQ=2,CE=2BC=8. 因为AD∥BC, 所以当PD=EQ时，以点P,Q,E,D为顶点的四边 形是平行四边形. 当2t<8,即t<4时，点Q在C,E之间，如图①. 此时，PD=AD-AP=6-t,EQ=CE一CQ=8-2t. 由PD=EQ,得6-t=8一2t,解得t=2: 当4<1<6时，点Q在B,E之间，如图② 此时，PD=AD-AP=6-t,EQ=CQ-CE=2t-8. 14 由PD=EQ,得6-1=21-8，解得1=3 .14 综上所述，当t的值为2或3时，以点P,Q,E,D为 顶点的四边形是平行四边形. 4 八年级数学XJ版 E Q C B Q E 图① 图② 第2课时平行四边形的判定定理3 1.C2.平行四边形 3.证明：因为四边形ABCD为平行四边形， 所以OA=OC. 因为AN⊥BD,CM⊥BD, 所以∠ANO=∠CMO=90°. ∠ANO=∠CMO, 在△AON和△COM中，∠AON=∠COM, OA=OC, 所以△AON≌△COM(角角边)，所以ON=OM, 所以四边形ANCM为平行四边形 》一题多解法 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AB∥CD,AB=CD,BO=DO,AO=CO, 所以∠ABN=∠CDM. 因为AN⊥BD,CM⊥BD, 所以∠ANB=∠CMD=90° ∠ANB=∠CMD, 在△ABN和△CDM中，∠ABN=∠CDM, AB=CD. 所以△ABN≌△CDM(角角边)， 所以BN=DM, 所以BO-BN=DO-DM,即ON=OM, 所以四边形ANCM为平行四边形. 4.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC,OA=OC,所以∠EAO=∠FCO. 又因为∠AOE=∠COF, 所以△AOE≌△COF(角边角)，所以OE=OF. 因为G是OA的中点，H是OC的中点， 所以OG=2OA,0H=20C,所以OG=OH, 所以四边形EGFH是平行四边形. 5.D6.C 7.证明：因为∠B=∠D,∠DCA=∠CAB, 所以∠DAC=∠ACB, 所以∠DAC+∠CAB=∠ACB+∠DCA, 所以∠DAB=∠DCB, 所以四边形ABCD是平行四边形. 8.B 9.18【解析】如图，连接BM,DN.因为 MN和BD相交于点O且互相平分，所 以四边形MBND是平行四边形，所以 MD=BN,AD∥BC.又因为AD= BC,所以四边形ABCD是平行四边形，所以CD=AB =5,所以四边形MNCD的周长为MD+CD+CN+ MN=BN+CD+CN+MN=CD+BC+MN=5+8 +5=18. 10.24【解析】因为AC与BD互相平分， 所以四边形ABCD是平行四边形， 所以0D-号BD=3em,0A-AC=5m 因为AD=4cm,OA=5cm,OD=3cm, 所以AD+OD2=OA2, 所以△ADO为直角三角形，∠ADO=90°， 所以AD⊥BD, 所以四边形ABCD的面积为AD·BD=4×6=24 (cm). 11.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，O是对角线 AC的中点，所以AD∥BC,AO=CO,所以∠EAO =∠FCO. ∠EAO=∠FCO, 在△OAE和△OCF中，〈AO=CO, ∠AOE=∠COF, 所以△OAE≌△OCF(角边角)，所以OE=OF 同理可证得△OAG≌△OCH,所以OG=OH, 所以四边形EGFH是平行四边形. 12.解：(1)证明：因为CF∥AE,所以∠CFD=∠AED. 因为D是AC的中点，所以CD=AD. (∠CFD=∠AED, 在△CDF和△ADE中，∠FDC=∠EDA, CD=AD. 所以△CDF≌△ADE(角角边)， 所以DF=DE, 所以四边形AFCE是平行四边形. (2)因为四边形AFCE是平行四边形， 所以SOAFCE=2S△ACE· 因为BC=2CE,△ACE的CE边上的高与△ABC的 BC边上的高相等， 所以2S△ACE=S△ABC, 所以SOAFCE=S△ABC=8, 1 所以S△cme=4SaAE=4X8=2. 阶段综合训练平行四边形的性质与判定 1.解：(1)证明：因为O是对角线AC的中点，所以OA =OC. (OC=OA, 在△COE和△AOF中，{∠COE=∠AOF, OE=OF. 所以△COE≌△AOF(边角边)， 所以∠OCE=∠OAF, 所以AD∥BC. 又因为AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形. (2)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠B=∠D=63°， 所以∠GEC=∠B+∠G=63°+42°=105. 2.解：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠D=∠CBA,DC∥AB. 因为将口ABCD沿过点A的直线I折叠，使点D落到 AB边上的点D'处， 所以∠D=∠AD'E,所以∠AD'E=∠CBA, 所以ED'CB. 又因为EC∥D'B, 所以四边形BCED'是平行四边形. (2)因为BE平分∠ABC, 所以∠CBE=∠EBA. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以ADBC, 所以∠DAB+∠CBA=180°. 由折叠的性质，得∠DAE=∠BAE, 所以∠EAB+∠EBA=90°，所以∠AEB=90°， 所以AB=AE2+BE. 3.解：(1)证明：因为DE∥AC,DF∥AB, 所以∠FDC=∠B,四边形AEDF是平行四边形， 所以DE=AF. 又因为AB=AC,所以∠B=∠C, 所以∠FDC=∠C,所以DF=FC, 所以DE+DF=AF+FC=AC. (2)当点D在边BC的延长线上时，DE一DF=AC: 当点D在边BC的反向延长线上时，DF-DE=AC. (3)由(1)(2)可知，当AC>DE时，点D在边BC或边 BC的反向延长线上，所以DF=AC一DE=6一4=2 或DF=AC十DE=6十4=10，即DF的长为2或10. 4.解：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD,CD=AB,所以∠ABE=∠FCE. 因为E为BC的中点，所以BE=CE. ∠ABE=∠FCE, 在△AEB和△FEC中，BE=CE, ∠AEB=∠FEC, 所以△AEB≌△FEC(角边角)，所以AB=CF. 又因为AB∥CF,所以四边形ABFC是平行四边形. (2)因为AB∥CD,所以∠D+∠BAD=180°. 因为∠D=60°，所以∠BAD=120°. 因为AF平分∠BAD,所以∠FAD=号∠BAD=60, 所以△ADF为等边三角形. 由(1)可知，AB=CF,CD=AB, 所以CF=CD,所以∠CAD=30°，∠ACD=90°. 因为AD=8,所以CD=名AD=4, 所以AC=√AD-CD=45, 所以SaAD=CD·AC=4X4√5=16V3. 下册参考答案 5Λ