1.2.1 平行四边形的性质-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（湘教版）

1.2平行四边形 1.2.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形的性质定理1 要点提园 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 2.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫作梯形.两腰相等的梯形叫作等腰梯形，有 一个角是直角的梯形叫作直角梯形. 3.平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等、对角相等. 4.夹在两条平行线间的平行线段相等。 课内基础练 变式题已知边长求周长→已知周长求 知识点① 平行四边形的定义 边长 1.（2025涟源月考)如图，E 小斌用一根50m长的绳子围成了一个平 已知AB∥EG,EF∥ 行四边形场地，其中一条边长为16m,则 BC,AC∥FG,则图中的 它的邻边长为 m. 平行四边形有() 第1题图 5.(教材变式)如图，在□ABCD中，BE平分 A.2个B.3个 C.4个 D.5个 ∠ABC,BC=6,DE=2,则□ABCD的周长 知识点②梯形的定义 为 2.下列说法中，符合梯形定义的是 ( 6.如下图，E,F分别是□ABCD的边AB,CD A.有一组对边平行的四边形是梯形 上的点.已知AE=CF,求证：DE=BF B.有一组对边平行，另一组对边相等的四边 形是梯形 C.有两组对边平行的四边形是梯形 D.只有一组对边平行的四边形是梯形 知识点③平行四边形的性质定理1 3.如图，在口ABCD中，下列说法一定正确的 是 ( A.AD=CD B.AC=BD C.AB=CD D.CD=BC 知识点④ 夹在两条平行线间的平行线段相等 D 7.如图，直线a∥b,AB∥CD, CE⊥b,FG⊥b,E,G为垂 GE D 第3题图 第5题图 足.下列结论不一定成立的是 第7题图 4.已知在□ABCD中，AB=4cm,BC=7cm, ( ) 则□ABCD的周长为 A.AB=CD B.CE=FG A.11 cm B.28 cm C.22 cm D.44 cm C.GE=FC D.GE=DB 下册第1章 已课外拓展练 (2)若BE=5,DE=6,求AF的长. 8.如图，□ABCD中，E,F是对角线BD上的 两点.如果添加一个条件使△ABE≌ △CDF,则添加的条件不能是 A.AE=CF B.BE=FD C.BF=DE D.∠1=∠2 D E D FA 第8题图 第9题图 9.如图，在□ABCD中，BF⊥AD于点F,BE⊥ CD于点E.若∠A=60°，AF=3cm,CE= 2cm,则□ABCD的周长为 cm. 色核心素养练 10.如图，AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8, 13.几何直观如下图，点E在□ABCD内部， △DCE的面积为6，则四边形ABCD的面 连接AE,BE,CE,DE,分别过点A,D作 积为 AF∥BE,DFCE. (1)求证：△BCE≌△ADF. (2)设□ABCD的面积为S,四边形AEDF 第10题图 第11题图 的面积为T,求产的值。 11.如图，AC是□ABCD的对角线，点E在 AC上，且满足AD=AE=BE,∠D= 108°，则∠BAC的度数是 12.(教材变式)如下图，在□ABCD中，AD= 2AB,点E为BC的中点，连接AE并延 长，交DC的延长线于点F,连接DE. (1)求证：△ABE≌△FCE. 八年级数学XJ版 第2课时平行四边形的性质定理2 要固提园 平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角线互相平分 已课内基础练 A.4 B.6 C.8 D.16 知识点平行四边形的性质定理2 5.转化思想如图，在□ABCD中，AC,BD为 1.如图，□ABCD的对角线 对角线，BC=10,BC边上的高为6，则图中 AC,BD相交于点O,则下 阴影部分的面积为 0 列说法一定正确的是 A.6 B.15 C.30 D.60 第1题图 D A.AO-OD B.AO⊥OD C.AO=OC D.AO⊥AB 第5题图 第6题图 2.如图，在口ABCD中，对角线AC和BD相 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对 交于点O,则图中的全等三角形共有( ) 角线AC与BD的交点，AB⊥AC.若AB= A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 8,AC=12,则BD的长是 7.(教材变式)如图，在口ABCD中，对角线 AC,BD交于点O.若AB=4,AC=6,BD= 第2题图 第3题图 10,则BC的长为 3.如图，在□ABCD中，BC=10,AC=8,BD =14,则△BOC的周长是 A A.21 B.22 C.25 D.32 第7题图 第8题图 变式题已知对角线长度→求对角线长度 8.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交 之和 于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点 整体思想如图，□ABCD的对角线AC, M,N.若△CON的面积为2，△DOM的面 BD交于点O,且AB=7,△OCD的周长 积为4，则△AOB的面积为 为19，则□ABCD的两条对角线的和是 9.一题多解法如下图，四边形ABCD与四边 形AECF均是平行四边形，且E,F在BD A.12 B.13 C.26 D.24 上，求证：BE=DF. 变式题图 第4题图 4.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,DE∥AC,CE∥BD.若AC=3,BD=5,则 四边形OCED的周长为 下册第1章 5△ 已课外拓展练 2AC=4, 所以 10.如图，已知□ABCD的面积为24cm2,对角 线AC,BD相交于点O,E为AB的中点， 因为△EAC是等边三角形， 连接OE,DE,则△ODE的面积为( ) 所以 =AC=8, A.3 cm2 B.4 cm2 ⊥AC. C.6 cm2 D.12 cm2 在Rt△ABO中，BO= 所以DO=BO= 第10题图 第11题图 在Rt△EAO中，EO= 11.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD交于 点O,EF过点O.下列结论：①AO=CO: 所以ED= ②EO=FO;③S△AOE=S△DOE;④S四边形ABOE 已核心素养练 =S四边形COF.其中正确的个数为 ( 15.推理能力如下图，在□ABCD中，对角线 A.1 B.2 AC与BD相交于点E,∠AEB=45°，BD C.3 D.4 =2.将△ABC沿AC所在直线翻折180°到 12.如图，EF过□ABCD对角线的交点O,交 其原来所在的同一平面内，点B的对应点 AD于点E,交BC于点F.若□ABCD的 为点B',AD交B'C于点F,连接B'D. 周长是36，OE=3,则四边形ABFE的周 (1)求证：AF=CF. 长为 (2)求BD的长. 第12题图 第13题图 B 13.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC =8,P为AB边上一动点，以PA,PC为边 作□PAQC,PQ交AC于点O,则对角线 PQ长度的最小值为 14.答题模板如右图，在E □ABCD中，对角线AC BD相交于点O,点E在 BD的延长线上，且△AEC 是等边三角形.若AC=8, AB=5,求ED的长， 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 6 八年级数学XJ版参考答案 第1章四边形 因为多边形的外角和为360，所以”360=12， 所以从一个顶点出发有12-3=9（条）对角线. 1.1多边形 3解：由题意可知，这个多边形各内角都相等，各外角也 第1课时多边形的内角和 相等. 1.C 设这个多边形的边数为n,则m-2)×180°_360 n ×4, 2.B【解析】①各边相等是正确的：②各个内角相等是正 解得n=10. 确的：③各个外角相等是正确的：④各条对角线不一定 经检验，n=10是原分式方程的解. 相等；⑤从正n边形的一个顶点引出的对角线将n边 故这个多边形是十边形 形分成(n一2)个三角形，而这(n一2)个三角形的面积 4.A5.四边形的不稳定性 不一定相等.综上，属于正多边形的特征的有3个. 6.B【解析】如图，因为正六边形的 3.C 4.C【解析】根据题意可得∠A+∠E+∠C+∠B+ 一个外角的度数为360 6 =60°， ∠D=(5-2)×180°=540°.因为∠B+∠D=180°， 所以∠4=60°，正六边形的一个内 3 所以∠A+∠E+∠C=540°-180°=360. 角的度数为180°一60°=120°，所以∠2+∠5=120°.因 变式题1140°【解析】正九边形的内角和=(9一2)× 为一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形 180°=1260°，则每个内角的度数=1260° 上，∠1=44°，所以∠3=∠1=44°，所以∠5=∠3+∠4 9 =140 =104°，所以∠2=120°-∠5=16°. 变式题2十【解析】设这个多边形的边数为，则 7.90【解析】由题意可知，小明第一次回到出发地A点 180°·(n-2)=1440°，解得n=10. 时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°，所以共转 5.解：因为多边形ABCDE是五边形， 了9次，每次都沿直线前进10m,所以一共走了90m. 所以∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=(5-2)× 8.解：(1)因为多边形的内角和是180°的整数倍，而 180°=540°. 2026°不是180°的整数倍，所以小明说多边形的内角和 因为∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°， 不可能是2026°. 所以∠EAB+∠ABC=540°-100°-75°-135° (2)2026°÷180°=11…46° =230°. 11+2=13,2026°-46°=1980°. 因为AP平分∠EAB,BP平分∠ABC, 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是1980°，多 1 所以∠PAB+∠PBA=2∠EAB+∠ABC)= 加的那个外角是46°. 230°=115°. 1.2平行四边形 在△PAB中，∠P=180°-（∠PAB+∠PBA)=180 -115°=65°. 1.2.1平行四边形的性质 6.解：连接BF,如图 第1课时平行四边形的性质定理1 因为∠A+∠G=∠ABF+∠GFB, 1.B2.D3.C4.C变式题9 所以∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E 5.20【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以 +∠EFG+∠G AB=CD,BC=AD=6,AD∥BC,所以∠AEB= =∠ABF+∠GFB+∠ABC+∠C+∠D ∠EBC.又因为BE平分∠ABC,所以∠ABE= +∠EFG ∠EBC,所以∠ABE=∠AEB,所以AB=AE.因为 =∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB DE=2,所以AB=AE=AD-DE=4,所以□ABCD =(5-2)×180 的周长=2(BC+AB)=2×(6+4)=20. =540°. 6.证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 第2课时多边形的外角和 所以∠A=∠C,AD=CB 1.B变式题D (AD=CB, 2.9【解析】设多边形有n条边. 在△ADE和△CBF中，∠A=∠C, AE=CF, 下册参考答案 所以△ADE≌△CBF(边角边)， 所以BC=10. 所以DE=BF」 因为四边形ABCD为平行四边形， 7.D【解析】由题意可证得四边形ABDC是平行四边 所以AD=BC=10,AB=CD 形，所以AB=CD,故A选项成立.因为CE⊥b,FG b,所以CE∥FG;由夹在两条平行线间的平行线段相 又因为AD=2AB,所以CD=AB= 2AD=5. 等可知CE=FG,故B选项成立.因为FC∥EG,CE∥ 由(1)得△ABE≌△FCE, FG,所以四边形CFGE是平行四边形，所以GE=FC, 所以AB=FC=5,AE=FE 故C选项成立.GE与DB的大小关系不确定，故D选 所以DF=CD+FC=5+5=10, 项不一定成立. 所以AD=DF. 8.A【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以 因为点E为AF的中点，所以DE⊥AF, AB=CD,AB∥CD,所以∠ABE=∠CDF. 所以在Rt△DEF中，EF=√DF-DE=√/I0一6 选项A:添加AE=CF.因为∠ABE,∠CDF不是已知 =8, 相等的边的夹角，所以不能证明两三角形全等； 所以AF=2EF=2×8=16. 选项B:添加BE=FD,符合“边角边”： 13.解：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形 选项C:添加BF=DE,可得BE=DF,也符合“边角 所以AD=BC,AD∥BC,所以∠ABC+∠BAD 边”； =180° 选项D:添加∠1=∠2，符合“角边角” 因为AF∥BE,所以∠EBA+∠BAF=180°， 9.20【解析】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠CBE=∠DAF.同理可得∠BCE=∠ADF, 所以AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=60°. 所以△BCE≌△ADF(角边角). 因为BF⊥AD,BE⊥CD, (2)因为点E在□ABCD内部， 所以∠AFB=∠BEC=90°， 所以∠ABF=∠CBE=30°， 所以Sm十Sm=号S:由1)知，△CE 所以AB=2AF=6cm,BC=2CE=4cm, ≌△ADF, 所以□ABCD的周长为2AB+2BC=12+8=20(cm). 所以S△KE=S△ADF· 10.20【解析】如图，过点D作DG⊥ 因为□ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积 BE于点G,过点A作AH⊥BC 为T, 于点H,则AH∥DG. 1 因为AD∥BC,所以AH=DG 所以T=S△ADF十S△AeD=S△Bc十S△ABD=2SOAn 又因为AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形， 5所以- 1 1 -=2. 所以BC=AD=5. 因为BE=8,所以CE=3.又因为△DCE的面积 为6， 第2课时平行四边形的性质定理2 1.C2.B 所以2CE·DG=6,所以DG=AH=4 3.A 【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，AC=8, 所以四边形ABCD的面积为BC·AH=20. BD=14,所以AO=OC=4,OD=OB=7.因为BC 11.24°【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以 10,所以△BOC的周长=BC+OB+OC=10+7+4 ∠ABC=∠D=108°，AD=BC.因为AD=AE=BE,所 =21. 以BC=AE=BE,所以∠EAB=∠EBA,∠BEC= 变式题D【解析】因为四边形ABCD是平行四边形 ∠ECB.因为∠BEC=∠BAE+∠EBA=2∠BAE,所以 AB=7,所以CD=AB=7,BD=2DO,AC=2OC ∠ACB=2∠BAC,所以∠BAC+∠ACB=3∠BAC= 因为△OCD的周长为19，所以OD+OC=19-7=12, 180°-∠ABC=180°-108°=72°，所以∠BAC=24°. 所以口ABCD的两条对角线的和=BD十AC=2(DO 12.解：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， +OC)=24」 所以AB=CD,AB∥CD, 4.C 【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA 所以∠EAB=∠F,∠B=∠ECF 因为点E为BC的中点，所以BE=CE =0c=24C-.0B=0D=BD-号 ∠EAB=∠F, 因为DE∥AC,CE∥BD,所以四边形OCED是平行四 在△ABE和△FCE中，∠B=∠ECF, BE=CE. 边形，所以OC=DE=号.OD=CE=号，所以四边形 所以△ABE≌△FCE(角角边). OCED的周长为2OC+2OD=3+5=8. (2)因为BE=5,点E为BC的中点， 5.C【解析】观察并结合平行四边形的性质可知，图中下 八年级数学XJ版 半部分的阴影面积等于上半部分的空白面积， 所以S△ooE=S△Br,EO=FO.故①②正确. 1 所以S用都=2SaAD 因为SAAHD=S△CDB,S△OmE=S△OBF, 所以S△ABD-S△ODE=SACDB-S△OBF, 因为BC=10,BC边上的高为6，所以SGABCD=10×6 即S网边形AE=S网边形cOF,故④正确. =60, 无法确定AE=ED,故③不正确. 所以S用影都分二2 ×60=30. 综上所述，正确结论的个数为3. 12.24【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以 6.20 AO=CO,AD∥BC,所以∠EAO=∠FCO.又因为 7.2√I3【解析】因为四边形ABCD是平行四边形， ∠AOE=∠COF,所以△AOE≌△COF(角边角)，所 所以0A=0C=AC=3.0B=0D=2BD=5. 以OE=OF=3,AE=CF,所以EF=6.因为□ABCD 的周长是36，所以AB+BC=18,所以四边形ABFE 在△ABO中，因为AB=4,OA=3,OB=5, 的周长=AB+BF+AE+EF=AB+BF+CF+EF 所以AB2+OA2=OB, =AB+BC+EF=18+6=24. 所以△ABO是直角三角形，且∠BAO=90°. 13.4√2 【解析】因为四边形PAQC是平行四边形， 在Rt△ABC中，BC=√AB+AC=√/④+6= 213 所议A0=c02AC=4,0P=0Q 8.6【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA 当PO最短时，PQ最短 =OC,OB=OD,AD∥BC,所以∠MAO=∠NCO, 如图，过点O作OP'⊥AB于点P' ∠AMO=∠CNO,所以△AOM≌△CON(角角边)， 因为∠BAC=45°， 所以SAAM=S△coN=2.因为S△M=4,所以S△AD= 所以∠AOP'=45°=∠BAC, 6.因为△AOB与△AOD是等底等高的三角形，所以 所以AP'=OP' S△AoB=6. 又因为AP2+OP2=OA=4, 9.证明：如图，连接AC交BD于点O. 所以OP'=2√2， 因为四边形ABCD和四边形 所以PQ长度的最小值为2OP'=4√2 AECF都是平行四边形， 所以OB=OD,OE=OF. 14.解：AO=CODO=BO EA E0√AB-AO 因为BE=OB-OE,DF=OD 33√EA-AOF4√3EO-D04/3-3 -OF, 15.解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ACB'=∠ACB. 所以BE=DF」 因为四边形ABCD是平行四边形， 一题多解法 所以AD∥BC,所以∠DAC=∠ACB, 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠DAC=∠ACB', 所以AF=CF」 所以AB=CD,AB∥CD, 所以∠ABF=∠CDE. (2)因为四边形ABCD是平行四边形，BD=2, 因为四边形AECF是平行四边形， 所以BE=DE=2BD=1. 所以AF∥CE,所以∠AFE=∠CEF. 根据折叠的性质，得∠AEB=∠AEB'=45°，BE= 在△ABF和△CDE中， B'E. I∠AFB=∠CED, 所以∠DEB′=180°-∠AEB-∠AEB'=90°，B'E ∠ABF=∠CDE, =DE AB=CD. 所以△DB'E是等腰直角三角形， 所以△ABF≌△CDE(角角边)，所以BF=DE, 因为BE=BF-EF,DF=DE-EF, 所以B'D=√2DE=√2. 所以BE=DF. 1.2.2平行四边形的判定 10.A 第1课时平行四边形的判定定理1、2 11.C【解析】因为四边形ABCD是平行四边形， 1.C2.平行且相等（或AD LBC) 所以AD=BC,AD∥BC,AO=CO,BO=DO, 3.BCBC BC CF BFBF 1 4.B【解析】由作图知，BC=AD,CD=AB, 所以Saan=S△cm=2SaAm,∠ODE=∠OBF, 所以四边形ABCD为平行四边形， 又因为∠DOE=∠BOF,所以△ODE≌△OBF(角 所以直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 边角)， 两组对边分别相等. 下册参考答案