专题06 等积变形及不规则物体的体积五大类型（易错专项训练）数学北师大版六年级下册

专题06 等积变形及不规则物体的体积五大类型易错专项训练 易错专项训练一 排水法测量不规则物体的体积 易错专项训练二 排水法测量规则物体的体积 易错专项训练三 圆柱和圆锥的等积变形问题 易错专项训练四 圆柱和长方体的等积变形问题 易错专项训练五 圆锥和长方体的等积变形问题 易错专项训练一排水法测量不规则物体的体积 1．一个容积为500毫升的水杯中装有300毫升水。乐乐先放入4颗相同的小球，发现水未溢出；又放入了1颗，水就溢出了。那么1颗小球的体积范围是（    ）立方厘米。 A．大于20且小于或等于30 B．大于30且小于或等于40 C．大于40且小于或等于50 D．大于50且小于或等于60 2．将下图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是（    ）（单位：厘米）。 A． B． C． D． 3．一个量杯中装有400毫升水，皮皮将一块土豆放入在这个量杯中，此时水面刻度上升到460毫升（水没有溢出）。如果将这块土豆浸没在装满水的量杯中，那么大约会有（    ）毫升的水溢出。 A．400 B．460 C．60 4．有大、小两种玻璃球，放入盛有同样多水的圆柱形容器中，用“排水法”测量玻璃球的体积，结果如下：（π取3.14） （1）图2测得一个大球的体积是（ ）立方厘米。 （2）图4中水的高度是（ ）厘米。 5．普罗旺斯西红柿沙瓤多汁，备受人们欢迎，乐乐想要测量一个普罗旺斯西红柿的体积，他找来一个底面半径为5cm，高16cm的圆柱形容器，然后给里面注入高6cm的水，将该西红柿放入完全浸没后，水面上升至9.4cm，这个西红柿的体积是（ ）。 6．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里（如下图），量得水深是8.5cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是多少立方厘米？ 7．一个圆柱形的金鱼缸，底面内半径是40cm，里面有一座假山石全部浸没在水中（水没有溢出），取出假山石后，水面的高度由20cm降到15cm。这座假山石的体积是多少？ 8．综合与实践。 小明同学进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 先准备一个底面直径10厘米的圆柱形玻璃容器，注入了9厘米深的水（如图1）；放入土豆A，浸没在水中，水面上升到11厘米处，此时水面距离容器口是1厘米（如图2）；再放入土豆B，此时有部分水溢出（如图3）；取出土豆B，这时水面距离容器口4厘米（如图4）。 根据实验情况，请你解决以下问题：（π取3） （1）请求出土豆A的体积； （2）放入土豆B后，溢出了多少毫升水？ （3）由于土豆是不规则的，经过大量实验进行验证，我们规定：一个“标准土豆”的体积约是（2）问溢出水的体积，现有一批这样的“标准土豆”，一个加工厂现将“标准土豆”制成“土豆泥”，每个“标准土豆”在制成“土豆泥”过程中会损失1%，加工厂原来收取的费用有如下规定，制成的“土豆泥”为每立方分米10元，由于技术革新，现做如下调整：采取分段式收费，制成的“土豆泥”为20立方分米或20立方分米以下，收费是每立方分米15元；制成的“土豆泥”为20立方分米以上的部分，收费是每立方分米20元，按技术革新后的收费标准比原来多收2127.5元，求这批“标准土豆”有多少个？ 易错专项训练二排水法测量规则物体的体积 9．如图，一个圆柱形容器，从里面量得底面半径为10厘米，里面装有一些水，现将一个底面积为78.5平方厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，这时水面上升了0.5厘米（水未溢出）。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 10．如图，在一个底面面积是78.5平方厘米的圆柱形容器中，放入一个底面半径4厘米的圆锥形物体（完全浸没），水面上升了4厘米（没有溢出），求圆锥形物体的体积和高。 11．一个圆柱形容器底面积是240平方厘米，高20厘米，原来水面高度是8厘米，分别往该容器内完全浸没不同物体后，水面高度均上升至10厘米（如图）。请分别求出浸入的正方体、圆锥和圆柱的体积。 12．为测得一个圆锥形零件的体积，元元将零件投入一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，水面上升（如图）。（数据由容器内部测得） （1）圆锥形零件的体积是多少立方厘米？ （2）如果圆锥形零件的高为10厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？ 易错专项训练三圆柱和圆锥的等积变形问题 13．一个圆柱形橡皮泥的底面积是15平方厘米，高是6厘米，如果把它捏成一个与它的底面积相等的圆锥，圆锥的高是（    ）厘米。 A．2 B．6 C．18 14．一块圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是（    ）。 A．4cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．36cm2 15．如图是一个高为18厘米的密闭容器，乐乐将容器倒过来后，水面高度是（ ）厘米。 16．把一段底面直径是8分米、高5分米的圆柱形钢材熔铸成一个底面直径是16分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 17．给一个底面直径是16cm的圆柱形容器装满水，将一个底面周长是25.12cm、高6cm的圆锥形铁块完全没入水中。当从水中取出这个铁块后，容器内的水面下降了多少厘米？ 18．将一堆底面直径是6米、高是1米的圆锥形沙子填入底面周长是12.56米的圆柱形坑里，正好填平。这个圆柱形坑的高度约是多少？ 易错专项训练四圆柱和长方体的等积变形问题 19．一个底面半径10厘米，高20厘米的圆柱形容器内装有8厘米深的水，放入长8厘米、宽8厘米、高20厘米的长方体铁块，使它与容器底面接触，现在水深多少厘米？ 20．把两个长8厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体铁块铸成一个底面积为20平方厘米的圆柱形铁块，它的高是多少厘米？ 21．一块长方体钢坯的长是12.56分米，宽是5分米，高是4分米，把它熔铸成一个底面半径为4分米的圆柱形钢材，这个圆柱形钢材的高是多少？ 22．如图，圆柱形容器A是底面半径为5厘米，高为20厘米的空容器，长方体容器B中的水深6.28厘米，底面为10厘米的正方形。将容器B中的水全部倒入容器A，这时容器A水深多少厘米？ 易错专项训练五圆锥和长方体的等积变形问题 23．一个圆锥形沙堆，底面直径10米，高1.5米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？ 24．沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 25．工人师傅要把一个长8厘米，宽7厘米，高6.28厘米的长方体铁块铸造成一个底面直径是20厘米的圆锥形零件，这个圆锥形零件的高是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 等积变形及不规则物体的体积五大类型易错专项训练 易错专项训练一 排水法测量不规则物体的体积 易错专项训练二 排水法测量规则物体的体积 易错专项训练三 圆柱和圆锥的等积变形问题 易错专项训练四 圆柱和长方体的等积变形问题 易错专项训练五 圆锥和长方体的等积变形问题 易错专项训练一排水法测量不规则物体的体积 1．一个容积为500毫升的水杯中装有300毫升水。乐乐先放入4颗相同的小球，发现水未溢出；又放入了1颗，水就溢出了。那么1颗小球的体积范围是（    ）立方厘米。 A．大于20且小于或等于30 B．大于30且小于或等于40 C．大于40且小于或等于50 D．大于50且小于或等于60 【答案】C 【分析】先计算出杯子中空余部分的容积是200毫升。放入4个球水未溢出，说明4个球的体积最大共200毫升，由此用200除以4即可求出小球的最大体积。又放入了1颗，水就溢出了，说明5个球的体积最小也比200毫升大，用200除以5即可求出小球的最小体积。 【解答】500－300＝200（毫升） 200÷4＝50（毫升） 200÷5＝40（毫升）， 所以1颗小球的体积大于40且小于或等于50。 故答案为：C 2．将下图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是（    ）（单位：厘米）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】石块的体积等于水面上升部分的体积，即底面积乘水面上升高度，所以底面积越小，水面上升越多，比较四个容器的底面积大小即可。 【解答】A．底面积为6×8＝48（平方厘米） B.  底面积为3.14×（8÷2）² ＝3.14×4² ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） C.  底面积为8×8＝64（平方厘米） D.  底面积为10×8＝80（平方厘米） 48＜50.24＜64＜80，A的底面积最小，水面上升最多。 故答案为：A 3．一个量杯中装有400毫升水，皮皮将一块土豆放入在这个量杯中，此时水面刻度上升到460毫升（水没有溢出）。如果将这块土豆浸没在装满水的量杯中，那么大约会有（    ）毫升的水溢出。 A．400 B．460 C．60 【答案】C 【分析】将一块土豆放入量杯中，土豆占据了量杯内水的一部分空间，因此水面上升，即上升的水的体积，也就是这个土豆的体积。 【解答】460－400＝60（毫升） 如果将这块土豆浸没在装满水的量杯中，那么大约会有60毫升的水溢出。 故答案为：C 4．有大、小两种玻璃球，放入盛有同样多水的圆柱形容器中，用“排水法”测量玻璃球的体积，结果如下：（π取3.14） （1）图2测得一个大球的体积是（ ）立方厘米。 （2）图4中水的高度是（ ）厘米。 【答案】（1）56.52 （2）6.5 【分析】（1）观察图1和图2，水面上升的体积就是一个大球的体积，一个大球的体积＝容器底面积×水面上升的高度； （2）观察图3，放入4个小球和放入1个大球水面上升的高度一样，说明4个小球的体积＝1个大球的体积，1个大球的体积÷4＝1个小球的体积，观察图4，1个大球和1个小球的体积和÷容器底面积＝水面上升的高度，再加上原来的水面高度就是图4水面高度。 【解答】（1）3.14×（6÷2）2×（6－4） ＝3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（立方厘米） 图2测得一个大球的体积是56.52立方厘米。 （2）56.52÷4＝14.13（立方厘米） （56.52＋14.13）÷[3.14×（6÷2）2] ＝70.65÷[3.14×32] ＝70.65÷[3.14×9] ＝70.65÷28.26 ＝2.5（厘米） 2.5＋4＝6.5（厘米） 图4中水的高度是6.5厘米。 5．普罗旺斯西红柿沙瓤多汁，备受人们欢迎，乐乐想要测量一个普罗旺斯西红柿的体积，他找来一个底面半径为5cm，高16cm的圆柱形容器，然后给里面注入高6cm的水，将该西红柿放入完全浸没后，水面上升至9.4cm，这个西红柿的体积是（ ）。 【答案】 266.9 【分析】西红柿放入水中后，水面上升部分的体积等于西红柿的体积。水面从6cm上升到9.4cm，上升了3.4cm，即西红柿的体积等于一个底面半径为5cm，高3.4cm的圆柱的体积，根据圆柱的体积，代入数据计算。 【解答】3.14×52×（9.4－6） ＝3.14×25×3.4 ＝3.14×85 ＝266.9（cm3） 则这个西红柿的体积是266.9cm3。 6．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里（如下图），量得水深是8.5cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】117.75立方厘米 【分析】根据题意，石头的体积等于下降的那部分水的体积，首先求出下降的水的高度，再利用圆柱的底面积乘下降的水的高度就是石头的体积。 【解答】 （立方厘米） 答：这块石头的体积是117.75立方厘米。 7．一个圆柱形的金鱼缸，底面内半径是40cm，里面有一座假山石全部浸没在水中（水没有溢出），取出假山石后，水面的高度由20cm降到15cm。这座假山石的体积是多少？ 【答案】25120立方厘米 【分析】取出假山石后，水下降的体积等同于假山石的体积，用π乘内半径平方得内底面积，再用内底面积乘水下降的高度就可以求出水下降的体积，也就是假山石的体积。 【解答】（平方厘米） （立方厘米） 答：这座假山石的体积是25120立方厘米。 8．综合与实践。 小明同学进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 先准备一个底面直径10厘米的圆柱形玻璃容器，注入了9厘米深的水（如图1）；放入土豆A，浸没在水中，水面上升到11厘米处，此时水面距离容器口是1厘米（如图2）；再放入土豆B，此时有部分水溢出（如图3）；取出土豆B，这时水面距离容器口4厘米（如图4）。 根据实验情况，请你解决以下问题：（π取3） （1）请求出土豆A的体积； （2）放入土豆B后，溢出了多少毫升水？ （3）由于土豆是不规则的，经过大量实验进行验证，我们规定：一个“标准土豆”的体积约是（2）问溢出水的体积，现有一批这样的“标准土豆”，一个加工厂现将“标准土豆”制成“土豆泥”，每个“标准土豆”在制成“土豆泥”过程中会损失1%，加工厂原来收取的费用有如下规定，制成的“土豆泥”为每立方分米10元，由于技术革新，现做如下调整：采取分段式收费，制成的“土豆泥”为20立方分米或20立方分米以下，收费是每立方分米15元；制成的“土豆泥”为20立方分米以上的部分，收费是每立方分米20元，按技术革新后的收费标准比原来多收2127.5元，求这批“标准土豆”有多少个？ 【答案】（1）150立方厘米； （2）225毫升； （3）1000个 【分析】（1）土豆A的体积等于上升的水的体积，将数据代入圆柱的体积公式：V＝πr2h计算即可。 （2）由题意可知：土豆B的体积等于下降的水的体积。溢出的水的体积等于土豆B的体积减去图2中容器空余部分的体积，将数据代入圆柱的体积公式：V＝πr2h计算出空余部分的体积，最后用土豆B的体积减去容器空余部分的体积即可。 （3）20立方分米或20立方分米以下，每立方分米收费多出：15－10＝5元。20立方分米收费一共多出20×5＝100元。20立方分米以上，每立方分米收费多出20－10＝10元。则20立方分米以上，土豆泥的体积是（2127.5－100）÷10立方分米，土豆泥的总体积是[（2127.5－100）÷10＋20]立方分米。每个“标准土豆”在制成“土豆泥”过程中会损失1%，则每个土豆产生的土豆泥占每个“标准土豆”的1－1%＝99%，根据求一个数的百分之几是多少用乘法，求出，每个“标准土豆”生产的土豆泥的体积。最后用土豆泥的体积除以一个“标准土豆”可生产的土豆泥的体积即可求出“标准土豆”的个数。 【解答】（1）3×（10÷2）2×（11－9） ＝3×52×2 ＝3×25×2 ＝150（立方厘米） 答：土豆A的体积是150立方厘米。 （2）土豆B的体积是：3×（10÷2）2×4 ＝3×52×4 ＝3×25×4 ＝300（立方厘米） 溢出水的体积是：300－3×（10÷2）2×1 ＝300－3×52×1 ＝300－3×25×1 ＝300－75 ＝225（立方厘米） 225立方厘米＝225毫升 答：放入土豆B后，溢出了225毫升水。 （3）20立方分米或20立方分米以下，每立方分米收费多出：（元） 20立方分米收费一共多出（元） 20立方分米以上，每立方分米收费多出：（元） 20立方分米以上，土豆泥的体积：（2127.5－100）÷10 ＝2027.5÷10 ＝202.75（立方分米） 总共土豆泥体积：20＋202.75＝222.75（立方分米） 222.75立方分米＝222750立方厘米 这批“标准土豆”的个数：222750÷[225×（1－1%）] ＝222750÷[225×0.99] ＝222750÷222.75 ＝1000（个） 答：这批“标准土豆”有1000个。 易错专项训练二排水法测量规则物体的体积 9．如图，一个圆柱形容器，从里面量得底面半径为10厘米，里面装有一些水，现将一个底面积为78.5平方厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，这时水面上升了0.5厘米（水未溢出）。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】当圆锥形铁块完全浸没在水中时，水面上升部分的水的体积就等于圆锥形铁块的体积。我们先根据圆柱体积公式求出上升的水的体积，也就是圆锥的体积，再根据圆锥体积公式求出圆锥的高。据此解答。 【解答】求上升的水的体积（即圆锥的体积）： 圆柱体积公式为V＝πr2h，上升的水的体积为： 3.14×102×0.5 ＝3.14×100×0.5 ＝314×0.5 ＝157（立方厘米） 求圆锥的高： 圆锥体积公式为V＝Sh，已知圆锥底面积S＝78.5平方厘米，体积V＝157立方厘米，那么圆锥的高h为： 157×3÷78.5 ＝471÷78.5 ＝6（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是6厘米。 10．如图，在一个底面面积是78.5平方厘米的圆柱形容器中，放入一个底面半径4厘米的圆锥形物体（完全浸没），水面上升了4厘米（没有溢出），求圆锥形物体的体积和高。 【答案】314立方厘米；18.75厘米 【分析】已知圆柱形容器的底面积是78.5平方厘米，当圆锥形物体完全浸没在圆柱形容器的水中时，水面上升了4厘米，此时水面上升的体积就是圆锥形物体的体积，根据“圆柱体积＝底面积×高”计算出上升的水的体积，即该圆锥形物体的体积。 已知圆锥形物体的底面半径是4厘米，根据圆的面积公式计算出该圆锥形物体的底面积，然后根据“圆锥体积＝×底面积×高”，用圆锥的体积乘3再除以圆锥的底面积即可计算出该圆锥形物体的高。 【解答】78.5×4＝314（立方厘米） 314×3÷（3.14×42） ＝314×3÷（3.14×16） ＝314×3÷50.24 ＝942÷50.24 ＝18.75（厘米） 答：圆锥形物体的体积是314立方厘米，高是18.75厘米。 11．一个圆柱形容器底面积是240平方厘米，高20厘米，原来水面高度是8厘米，分别往该容器内完全浸没不同物体后，水面高度均上升至10厘米（如图）。请分别求出浸入的正方体、圆锥和圆柱的体积。 【答案】均为480立方厘米 【分析】根据题意，浸没物体的体积等于上升的水的体积，根据圆柱体积公式：，用圆柱的底面积乘水面上升的厘米数可得水面上升的体积，即被浸没物体的体积。 【解答】由题图可知，分别浸入正方体、圆锥和圆柱后，水面高度均上升至10厘米；体积为： （立方厘米） 答：正方体、圆锥和圆柱的体积都是480立方厘米。 12．为测得一个圆锥形零件的体积，元元将零件投入一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，水面上升（如图）。（数据由容器内部测得） （1）圆锥形零件的体积是多少立方厘米？ （2）如果圆锥形零件的高为10厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）628立方厘米 （2）188.4平方厘米 【分析】（1）圆锥形零件投入圆柱容器中使水面上升，则上升水的体积等于圆锥形零件的体积。已知圆柱容器底面直径20厘米，用直径长度除以2计算出半径长度，水面上升高度为12－10＝2厘米；然后根据圆柱的体积（容积）公式计算出上升水的体积，即为圆锥形零件的体积。 （2）由（1）可知圆锥形零件的体积，又已知圆锥形零件的高为10厘米，根据“圆锥的体积＝×底面积×高”可得“圆锥的底面积＝体积×3÷高”，用该圆锥形零件的体积乘3除以高即为它的底面积。 【解答】（1）20÷2＝10（厘米） 3.14×102×（12－10） ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方厘米） 答：圆锥形零件的体积是628立方厘米。 （2）628×3÷10 ＝1884÷10 ＝188.4（平方厘米） 答：这个零件的底面积是188.4平方厘米。 易错专项训练三圆柱和圆锥的等积变形问题 13．一个圆柱形橡皮泥的底面积是15平方厘米，高是6厘米，如果把它捏成一个与它的底面积相等的圆锥，圆锥的高是（    ）厘米。 A．2 B．6 C．18 【答案】C 【分析】先根据题意，利用公式V＝Sh，求出圆柱的体积。把它捏成等底的圆锥，圆锥的体积等于圆柱的体积。根据圆锥的体积公式V＝Sh反求出圆锥的高，h＝V÷÷S，代入数据计算即可。 【解答】圆柱体积：15×6＝90（立方厘米） 圆锥的高： 90÷÷15 ＝90×3÷15 ＝270÷15 ＝18（厘米） 所以如果把它捏成一个与它的底面积相等的圆锥，圆锥的高是18厘米。 故答案为：C 14．一块圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是（    ）。 A．4cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．36cm2 【答案】D 【分析】根据题意可知，圆锥的高等于圆柱的高，圆锥的体积等于圆柱的体积，即圆柱的底面积×高＝圆锥的底面积×高×；即圆柱的底面积＝圆锥的底面积×，则圆锥的底面积＝圆柱的底面积÷，据此求出圆锥的底面积。 【解答】12÷ ＝12×3 ＝36（cm2） 一块圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是36cm2。 故答案为：D 15．如图是一个高为18厘米的密闭容器，乐乐将容器倒过来后，水面高度是（ ）厘米。 【答案】6厘米 【分析】由图可知，圆锥的高为6厘米，圆柱和圆锥等底。正放时，圆锥部分水的体积，倒过来后变为圆柱部分，因为等底等高圆柱体积是圆锥的3倍，所以圆锥高6厘米的水，在圆柱中高度为（6×）厘米。正放时，容器下部是圆锥，高6厘米，上部是圆柱，水的高度到10厘米，即圆柱部分水高（10 – 6）厘米。最后将两部分加起来就是水面高度。 【解答】　10－6＋6× ＝10－6＋2 ＝6（厘米） 答：水面高度是6厘米。 16．把一段底面直径是8分米、高5分米的圆柱形钢材熔铸成一个底面直径是16分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 【答案】3.75分米 【分析】圆柱形钢材的体积等于圆锥的体积，已知圆柱形钢材的底面直径是8分米、高5分米，先求出底面半径是8÷2＝4分米，然后根据圆柱的体积公式求出圆柱的体积，即为圆锥的体积； 已知圆锥的底面直径是16分米，求出底面半径为16÷2＝8分米，根据圆的面积公式求出底面积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh，用圆锥的体积乘3除以底面积即可求出高。据此解答。 【解答】8÷2＝4（分米） 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方分米） 16÷2＝8（分米） 3.14×82＝3.14×64＝200.96（平方分米） 251.2×3÷200.96 ＝753.6÷200.96 ＝3.75（分米） 答：这个圆锥的高是3.75分米。 17．给一个底面直径是16cm的圆柱形容器装满水，将一个底面周长是25.12cm、高6cm的圆锥形铁块完全没入水中。当从水中取出这个铁块后，容器内的水面下降了多少厘米？ 【答案】0.5厘米 【分析】由题意可知，铁块取出后容器里的水会下降，下降的水的体积就是圆锥形铁块的体积；根据圆锥的体积计算公式求出圆锥形铁块的体积，再根据圆柱的高＝体积÷底面积即可解答题目。 【解答】 （厘米） （立方厘米） （平方厘米） （厘米） 答：容器内的水面下降了0.5厘米。 【点睛】解答本题的关键是明白：下降的水的体积等于圆锥形铁块的体积。 18．将一堆底面直径是6米、高是1米的圆锥形沙子填入底面周长是12.56米的圆柱形坑里，正好填平。这个圆柱形坑的高度约是多少？ 【答案】0.75米 【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径是6米、高是1米，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这堆沙子的体积； 把这堆沙子填入底面周长是12.56米的圆柱形坑里，正好填平，那么沙子的体积不变； 先根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱形坑的底面半径；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱形坑的底面积； 根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，据此求出这个圆柱形坑的高度。 【解答】沙子的体积： ×3.14×（6÷2）2×1 ＝×3.14×32×1 ＝×3.14×9×1 ＝9.42（立方米） 圆柱形坑的底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 圆柱形坑的底面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 圆柱形坑的高： 9.42÷12.56＝0.75（米） 答：这个圆柱形坑的高度约是0.75米。 易错专项训练四圆柱和长方体的等积变形问题 19．一个底面半径10厘米，高20厘米的圆柱形容器内装有8厘米深的水，放入长8厘米、宽8厘米、高20厘米的长方体铁块，使它与容器底面接触，现在水深多少厘米？ 【答案】10.048厘米 【分析】放入铁块前后，容器内水的体积不变；水深8厘米，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，求出水的体积；放入铁块后，容器的底面积变小了，用容器的底面积－长方体铁块的底面积，求出盛水部分的底面积；用水的体积÷盛水部分的底面积，即可求出水的高度，据此解答。 【解答】3.14×102×8 ＝3.14×100×8 ＝314×8 ＝2512（立方厘米） 2512÷（3.14×102－8×8） ＝2512÷（3.14×100－64） ＝2512÷（314－64） ＝2512÷250 ＝10.048（厘米） 答：现在水深10.048厘米。 20．把两个长8厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体铁块铸成一个底面积为20平方厘米的圆柱形铁块，它的高是多少厘米？ 【答案】 16厘米 【分析】已知长方体铁块长8厘米，宽5厘米，高4厘米，先根据“长方体体积＝长 ×宽×高”算出一个长方体铁块的体积，再乘2得到两个长方体铁块的总体积，这个体积也就是铸造成的圆柱形铁块的体积；已知圆柱的底面积是20平方厘米，然后根据“圆柱体积＝底面积×高”，用圆柱体积除以底面积，就能求出圆柱的高。 【解答】8×5×4×2 ＝40×4×2 ＝160×2 ＝320（立方厘米） 320÷20＝16（厘米） 答：它的高是16厘米。 21．一块长方体钢坯的长是12.56分米，宽是5分米，高是4分米，把它熔铸成一个底面半径为4分米的圆柱形钢材，这个圆柱形钢材的高是多少？ 【答案】5分米 【分析】把一块长方体钢坯熔铸成一根圆柱形钢材，形状发生变化，但体积不变。 根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，先求出长方体钢坯的体积，也是圆柱形钢材的体积；再根据公式：圆柱的底面积＝圆周率×半径×半径，求出圆柱的底面积；最后根据公式：高＝圆柱的体积÷底面积，即可求出圆柱的长度。 【解答】12.56×5×4 ＝62.8×4 ＝251.2（立方分米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 251.2÷50.24＝5（分米） 答： 这个圆柱形钢材的高是5分米。 22．如图，圆柱形容器A是底面半径为5厘米，高为20厘米的空容器，长方体容器B中的水深6.28厘米，底面为10厘米的正方形。将容器B中的水全部倒入容器A，这时容器A水深多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积；将容器B中的水全部倒入容器A，水的体积不变，根据圆柱的高＝体积÷底面积，据此求出容器A中的水深。 【解答】10×10×6.28＝628（立方厘米） 628÷（3.14×52） ＝628÷（3.14×25） ＝628÷78.5 ＝8（厘米） 答：这时容器A水深8厘米。 易错专项训练五圆锥和长方体的等积变形问题 23．一个圆锥形沙堆，底面直径10米，高1.5米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？ 【答案】 196.25米 【分析】首先计算圆锥形沙堆的体积：已知圆锥形沙堆底面直径是10米可计算出半径长度，高是1.5米，根据圆锥体积公式“”代入数值可计算出沙堆体积；然后分析铺在公路上沙子的形状并计算长度：铺在公路上的沙子可看作一个长方体，其宽为10米，高（厚）为2厘米，因为要统一单位，2厘米 ＝ 0.02米，体积就是圆锥形沙堆的体积，根据”长方体的长＝体积÷高÷宽“来计算沙子铺路的长度。 【解答】10÷2＝5（米） ×3.14×52×1.5 ＝×3.14×25×1.5 ＝3.14×25×0.5 ＝78.5×0.5 ＝39.25（立方米） 2厘米＝0.02米 39.25÷0.02÷10 ＝1962.5÷10 ＝196.25（米） 答：能铺196.25米。 24．沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 【答案】0.628厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14），长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出沙的体积，然后用这些沙的体积除以长方体的底面积即可。 【解答】×3.14×（12÷2）2×10÷（30×20） ＝×3.14×62×10÷（30×20） ＝×3.14×36×10÷600 ＝×36×3.14×10÷600 ＝12×3.14×10÷600 ＝37.68×10÷600 ＝376.8÷600 ＝0.628（厘米） 答：在长方形木盒中会平铺大约0.628厘米高的沙子。 【点睛】这道题的关键是沙子体积不变，先算沙漏里圆锥形状沙子的体积，再用这个体积除以长方体木盒的底面积，就能得出沙子在木盒里平铺的高度。具体计算时，先由圆锥直径算出半径，代入圆锥体积公式求出沙子体积，再用体积除以长方体底面积，最终得到高度。 25．工人师傅要把一个长8厘米，宽7厘米，高6.28厘米的长方体铁块铸造成一个底面直径是20厘米的圆锥形零件，这个圆锥形零件的高是多少？ 【答案】3.36 厘米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出铁块的体积，即圆锥的体积，圆锥底面积＝圆周率×半径的平方，据此求出圆锥底面积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式解答即可。 【解答】8×7×6.28＝351.68（立方厘米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 351.68×3÷314＝3.36（厘米） 答：这个圆锥形零件的高是3.36 厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $