专题7.2 认识概率（八大高频易错题题型训练 共32题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

该初中数学讲义围绕“认识概率”单元，通过八大易错题型系统构建知识体系，以具体问题情境呈现事件可能性判断、等可能结果分析、概率意义理解等核心内容，用表格梳理频率数据、实例解析转盘与摸球问题，清晰展现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于针对高频易错点设计分层训练，如判断连续抛硬币概率（培养推理意识）、用商场转盘频率估计概率（发展数据意识），结合生活情境题帮助学生从数学角度观察现实世界，基础题巩固概念，综合题提升应用能力，为教师精准教学和学生自主复习提供有效支持。

专题7.2 认识概率（高频易错题题型训练） 【苏科版八下●新教材】 易错题型一 判断事件发生的可能性的大小 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）转动如图的转盘一周以上，指针指向 区域的可能性最小．（填“红”、“黄”“蓝”或“黑”） 【答案】蓝 【易错思路点拨】本题考查了可能性的大小． 根据图像作答即可． 【规范解答】解：由图可知，转动如图的转盘一周以上，指针指向蓝区域的可能性最小． 故答案为：蓝． 2．（24-25八年级下·上海普陀·期末）下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．一次函数的图像经过原点 B．关于的方程有解 C．直线与坐标轴有2个交点 D．投掷一枚骰子，恰好数字6朝上 【答案】C 【易错思路点拨】本题考查事件的分类，必然事件指在一定条件下必然发生的事件．逐一分析各选项是否符合必然事件的定义． 【规范解答】解：A：一次函数的一般式为，当且仅当时图像经过原点．若，则不过原点，因此该事件是随机事件． B：方程的解需分情况讨论．当时，方程有唯一解；当且时，方程有无数解；当且时，方程无解．因此该事件可能发生也可能不发生，非必然． C：直线与y轴交于，与x轴交于，必定与坐标轴有2个交点，属于必然事件． D：骰子有6个面，数字6朝上的概率为，属于随机事件，非必然． 故选：C． 3．（24-25六年级下·上海·期末）盒子里有10个红球，12个白球，15个黑球（它们除颜色外均相同），每次从中任意摸出一个球，第一次摸出一个黑球后不放回，那么第二次摸出 球的可能性更大．（填“红”或“白”或“黑”） 【答案】黑 【易错思路点拨】本题考查了可能性大小的判断，解题的关键是掌握可能性大小的判断方法．根据黑球、红球和白球的个数判断可能性大小，求解即可． 【规范解答】解：∵盒子里有10个红球，12个白球，15个黑球，第一次摸出一个黑球后，还剩14个黑球，红球和白球的个数不变， ∴剩余的球中黑球个数最多， ∴第二次摸出黑球的可能性更大． 故答案为：黑． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列事件中，发生可能性最大的是（   ） A．掷骰子，掷到6点 B．随意翻到一本书的某页，页码是奇数 C．画一个四边形，其内角和是 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【易错思路点拨】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，结合具体的问题情境进行判断即可，正确理解事件发生的可能性的大小判断是解题的关键． 【规范解答】解：、掷骰子掷到6点，骰子共有6个等可能结果，概率为； 、翻到奇数页码，页码奇偶数量接近，概率为； 、四边形内角和为，根据多边形内角和公式，所有四边形内角和均为，此事件为必然事件，概率为； 、射击命中靶心，命中概率受技术影响，但无法达到， 故选：． 易错题型二 判断实验所得结果是否是等可能的 5．下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【规范解答】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 【考点点拨】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键． 6．彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【易错思路点拨】根据等可能事件的意义解答即可． 【规范解答】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 【考点点拨】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键． 7．在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 【答案】B 【易错思路点拨】看所给物品得到的可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等即可． 【规范解答】解：A、一只小球，不能出现两种情况，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； B、两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃），符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项正确； C、一个啤酒瓶盖，只有压平的瓶盖才可以，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； D、尖朝上的概率＞面朝上的概率，不能做替代物，故此选项错误； 故选B． 【考点点拨】考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考. 8．下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【答案】B 【易错思路点拨】根据概率和事件的分类进行逐项分析即可． 【规范解答】解：A、天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是随机事件，只是可能性较大，非必然事件，原说法错误，不符合题意； B、某彩票中奖率为5%，即为每张彩票的中奖率均为5%，则最后一张中奖的概率仍为5%，原说法正确，符合题意； C、任意抛掷一枚图钉10次，不能代表全部情况，则抛掷一枚图钉针尖向上不是必然事件，原说法错误，不符合题意； D、射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，但是这两种情况不是等可能的情况，所以中靶的概率不为，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【考点点拨】本题考查概率的定义，等可能情况的理解，事件的分类等，理解基本定义是解题关键． 易错题型三 概率的意义理解 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币99次，都是正面朝上，那么第100次抛掷时正面朝上的概率是 （    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【易错思路点拨】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 每次抛掷硬币都是独立事件，不受之前结果影响． 【规范解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次抛掷的结果相互独立．无论之前抛掷的结果如何，第100次抛掷时，“正面朝上”的概率仍为． 故选B． 10．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）连续抛掷一枚质地均匀的一元硬币9次，出现了8次正面朝上，则第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是 ． 【答案】/ 【易错思路点拨】根据概率的意义可知，每一次正面朝上的概率都为，据此即可求解． 【规范解答】解：每一次正面朝上的概率都为， 第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是． 故答案为： 11．（2025·贵州·模拟预测）小星从一定高度随机抛掷一枚质地均匀的硬币，前次抛掷的结果均为“正面朝上”，那么小星第次抛掷该硬币时，下列说法正确的是（   ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同 D．一定是“正面朝上” 【答案】C 【易错思路点拨】本题考查了概率，根据概率的意义即可求解，理解概率的意义是解题的关键． 【规范解答】解：抛掷一枚硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性相同， 故选：． 12．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如果事件A发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是（    ） A．做200次这种试验，事件A必发生1次 B．做200次这种试验，事件A发生的频率是 C．做200次这种试验，事件A可能发生1次 D．做200次这种试验，前199次事件A没发生，最后1次事件A才发生 【答案】C 【易错思路点拨】本题考查了概率的意义.直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【规范解答】解：A.做次这种试验，事件必发生次，事件A不一定发生，故错误； B. 做200次这种试验，事件发生的频率是，频率不等于概率，故此选项错误； C. 做次这种试验，事件可能发生次，正确； D. 做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件发生，事件A不一定发生，故错误． 故选：C． 易错题型四 判断几个事件概率的大小关系 13．有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【易错思路点拨】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【规范解答】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【考点点拨】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 14．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝） P（红）．（填“”“”或“”）    【答案】 【易错思路点拨】先求出蓝色区域的圆心角为，得出蓝色区域的面积大于红色区域的面积，即可得出答案． 【规范解答】解：根据题意，可得红色区域的圆心角为，蓝色区域的圆心角为，蓝色区域的面积大于红色区域的面积，所以． 故答案为：． 【考点点拨】本题主要考查了可能性大小的判断，解题的关键是求出蓝色区域的圆心角，得出蓝色区域的面积大于红色区域的面积． 15．一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 【答案】A 【易错思路点拨】分别求出摸到各种颜色的求的概率，再比较大小即可. 【规范解答】袋子中一共有个球，有1个白球，3个红球，4个黄球，没有黑球. ∴摸到白球的概率= 摸到黄球的概率= 摸到红球的概率= 摸到黑球的概率=0 ∴摸到黄球的概率最高. 故选：A 【考点点拨】本题主要考查了概率的计算，事件A发生的概率=.掌握概率的计算方法是解题的关键. 16．袋子里有5只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，摸到 球的可能性大． 【答案】红 【易错思路点拨】分别计算出摸到红球、白球的概率，即可比较． 【规范解答】解：∵袋子里有5只红球，3只白球， ∴任意摸出1只球，摸到红球的概率为：， 摸到白球的概率为：， ∴摸到红球的可能性大． 故答案为：红． 【考点点拨】本题考查简单概率的计算，掌握概率计算公式是解题的关键． 易错题型五 求某事件的频率 17．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0．74 0．69 (1)填空：______，______，______，______； (2)当n很大时，频率会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是多少？ 【答案】(1)；；； (2) (3) 【易错思路点拨】（1）根据频率的算法，频率=频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率求解． 【规范解答】（1）解：； ； ； ； （2）当n很大时，频率将会接近； （3）获得“橙汁”的概率约是． 【考点点拨】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 18．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表： 摸球次数 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数 63 123 247 365 484 603 摸到白球的频率 (1)表中的________； (2)请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到） (3)试估算摸到红球的概率是________（精确到） (4)试估算这个不透明的口袋中红球的个数． 【答案】(1) (2) (3) (4)这个不透明的口袋中红球有15个 【易错思路点拨】（1）根据题目表中的数据，直接计算摸到白球的频率即可得到答案； （2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在左右； （3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，再利用1减去摸到白球的概率即可得； （4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由表中数据可知摸到白球的频率； 故答案为：； （2）解：由表格中计算的频率过程可知，当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （3）解：由题意得：摸到白球的概率为， 则摸到红球的概率是， 故答案为：； （4）解：设红球的个数为x，根据题意， 得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：这个不透明的口袋中红球有15个． 【考点点拨】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，组成整体的几部分的概率之和为1． 19．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 b 604 落在“可乐”区域的频率” 0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.604    (1)______，______； (2)请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率是______；（结果精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角是多少度？ 【答案】(1)0.6，472； (2)0.6；0.6； (3)144°． 【易错思路点拨】（1）根据频率的定义计算m=298时的频率和频率为0.59时的频数； （2）从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是； （3）可根据获得“洗衣粉”的概率为−，然后根据扇形统计图的意义，用乘以即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角． 【规范解答】（1）解：÷≈；； 故答案为：，； （2）解：估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是； 故答案为：；； （3）解：， 所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是． 【考点点拨】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 20．如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内擦小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿） 100 200 500 1000 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 23 42 102 206 小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数n 77 158 398 794 0.299 0.266 0.256 0.259 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很多时，则的值越来越接近 （结果精确到0.01）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）； (3)请你利用（2）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留π） 【答案】(1) (2) (3) 【易错思路点拨】（1）根据提供的m和n的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率公式求出封闭图形的面积． 【规范解答】（1）解：； ； ； ； ； ∴当投掷的次数很多时，则的值越来越接近； 故答案为：； （2）解：； ∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在附近， 故答案为：； （3）解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：， ∴． 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 【考点点拨】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 易错题型六 关于频率与概率关系说法的正误 21．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【易错思路点拨】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可． 【规范解答】解：由于频率不等于概率，故当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，“正面向上”的概率不一定是，故①错误； 大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，故随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，故②正确； 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．故③正确； 故选：A． 22．下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 【答案】A 【易错思路点拨】根据事件的分类，频率和概率分别判断即可． 【规范解答】解：A. 小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件,故正确，符合题意； B. 确定事件发生的概率是1或0，故错误，不合题意； C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率不一定相同，故错误，不合题意； D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，但抽取的人数太少，不能说明该校的男生引体向上成绩不及格，故错误，不合题意； 故选：A． 【考点点拨】此题主要考查了事件的分类，概率的意义，频率，解答此题要明确事件类型和概率的关系． 23．生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下： 总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率 246 187 59 3658 2738 920 7679 5781 1898 31213 23436 7777 根据上述培育结果，下列说法正确的是（    ） A．只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于 B．随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于 C．培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为 D．培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为 【答案】B 【易错思路点拨】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值即可判断C、D；根据随着试验次数的增加，频率都会稳定在一个值附近即可判断A、B． 【规范解答】解：A、增加试验的次数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率不一定就更加接近于，原说法错误，不符合题意； B、随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于，原说法正确，符合题意； C、培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为，原说法错误，不符合题意； D、培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【考点点拨】本题主要考查了用频率估计概率，频率的意义，正确理解题意是解题的关键． 24．（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 【答案】（1）23；（2）不正确，理由见解析；（3）60个 【易错思路点拨】（1）直接加减运算即可； （2）根据概率的定义，判断即可； （3）根据频率估计概率，直接列方程求解即可． 【规范解答】（1）由题意得：， 故答案为：23； （2）数学学习小组的结论不正确，因为5点朝上的频率为，不能说明5点朝上这一事件发生的概率就是，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率； （3）设盒子中大约有白球x个，根据题意得：， 解得：，经检验是原方程的解， 答：估计盒子中大约有白球60个． 【考点点拨】此题考查频率与概率，解题关键是理解用频率估计概率，前提是需要实验的次数足够多才行． 易错题型七 由频率估计概率 25．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击的次数 20 40 100 200 400 1000 2000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 322 801 1596 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为 （结果保留一位小数）． 【答案】 【易错思路点拨】本题考查了利用频率估计概率，理解题意是解决本题的关键． 根据表格进行求解即可． 【规范解答】解：从表格数据可以看出，随着射击次数的增加，“射中9环以上”的频率逐渐稳定在附近， ∴估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为． 故答案为：． 26．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）匹克球作为一项新兴运动，吸引了大量参与者．2025年5月24日丹东市举办了首届匹克球公开赛，标志着我市在新型体育赛事上迈出了重要一步．小明同学来到运动场练习发球，在统计后，他发现发球1000次，有效951次，请估计他有效发球的概率大约为（   ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.05 【答案】A 【易错思路点拨】本题考查用频率估计概率，频率稳定值可估计为概率． 利用频率估计概率求解即可． 【规范解答】解：∵发球1000次，有效951次， ∴频率为， ∴估计概率为0.95． 故选：A． 27．（25-26九年级上·广西·期末）从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为 ．（精确到） 【答案】 【易错思路点拨】根据频率估计概率的原理，通过分析发芽频率数据的稳定趋势，估计概率值． 本题考查了频率估计概率，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【规范解答】解：从试验数据可知，随着每批粒数的增加，发芽频率逐渐稳定在附近，当每批粒数为4000时，频率为，精确到即为， 因此该油菜籽种子发芽的概率估计为． 故答案为：． 28．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）某地林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 534 902 6293 13576 成活的频率 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 （精确到）． 【答案】 【易错思路点拨】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题的关键． 利用表格中数据估算银杏树苗移植成活率的概率即可解答． 【规范解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，银杏树苗移植成活的频率稳定在，可估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为． 故答案为：． 易错题型八 用频率估计概率的综合应用 29．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)，1802 (2) (3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗 【易错思路点拨】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率. （1）根据成活率成活数移植棵树，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式计算即可. 【规范解答】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9. 故答案为：0.9. （3）解：（棵） 答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗. 30．（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】(1)0.5 (2)290 【易错思路点拨】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【规范解答】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； （2）解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． 31．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 5000 优等品的频数m 9 96 951 1900 2856 4750 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.95 0.952 b (1) ______； ______． (2)从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是______．（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了10000只公仔，请问这批公仔中优等品大约是多少只？ 【答案】(1)0.951，0.95 (2)0.95 (3)9500只 【易错思路点拨】（1）用优等品的频数除以抽取的总公仔数即可得出a与b的值； （2）由表中数据可判断频率在0.95左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率； （3）用总生产的公仔数乘以优等品的概率，即可完成． 【规范解答】（1）解：由表得：，； 故答案为：0.951，0.95； （2）解：从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.95； 故答案为：0.95； （3）解：由题意得：（只）， 答：这批公仔中优等品大约是9500只． 【考点点拨】本题考查了用频率估计概率，当试验的次数越多，频率趋于稳定，这个稳定值即为概率，理解这一事实是解题的关键． 32．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转费的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的频数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 0．68 0．74 0．68 0．69 0．705 (1)填写表中的空格． (2)指针落在“铅笔”区域的频率稳定在 （精确到0.1）；顾客获得铅笔的概率估计值为 （精确到0.1）． (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】(1) (2)， (3) 【易错思路点拨】（1）利用频数÷次数进行计算即可； （2）根据表格数据，进行作答即可； （3）用指针落在“可乐”区域的概率进行计算即可． 【规范解答】（1）解：； 故答案为：； （2）根据大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，可知：指针落在“铅笔”区域的频率稳定在，顾客获得铅笔的概率估计值为； 故答案为：，； （3）解：表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是：． 【考点点拨】本题考查利用频率估计概率．熟练掌握大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就是事件概率的估计值，是解题的关键． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 认识概率（高频易错题题型训练） 【苏科版八下●新教材】 易错题型一 判断事件发生的可能性的大小 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）转动如图的转盘一周以上，指针指向 区域的可能性最小．（填“红”、“黄”“蓝”或“黑”） 2．（24-25八年级下·上海普陀·期末）下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．一次函数的图像经过原点 B．关于的方程有解 C．直线与坐标轴有2个交点 D．投掷一枚骰子，恰好数字6朝上 3．（24-25六年级下·上海·期末）盒子里有10个红球，12个白球，15个黑球（它们除颜色外均相同），每次从中任意摸出一个球，第一次摸出一个黑球后不放回，那么第二次摸出 球的可能性更大．（填“红”或“白”或“黑”） 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列事件中，发生可能性最大的是（   ） A．掷骰子，掷到6点 B．随意翻到一本书的某页，页码是奇数 C．画一个四边形，其内角和是 D．射击运动员射击一次，命中靶心 易错题型二 判断实验所得结果是否是等可能的 5．下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 6．彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 7．在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 8．下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 易错题型三 概率的意义理解 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币99次，都是正面朝上，那么第100次抛掷时正面朝上的概率是 （    ） A．0 B． C． D．1 10．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）连续抛掷一枚质地均匀的一元硬币9次，出现了8次正面朝上，则第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是 ． 11．（2025·贵州·模拟预测）小星从一定高度随机抛掷一枚质地均匀的硬币，前次抛掷的结果均为“正面朝上”，那么小星第次抛掷该硬币时，下列说法正确的是（   ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同 D．一定是“正面朝上” 12．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如果事件A发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是（    ） A．做200次这种试验，事件A必发生1次 B．做200次这种试验，事件A发生的频率是 C．做200次这种试验，事件A可能发生1次 D．做200次这种试验，前199次事件A没发生，最后1次事件A才发生 易错题型四 判断几个事件概率的大小关系 13．有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 14．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝） P（红）．（填“”“”或“”）    15．一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 16．袋子里有5只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，摸到 球的可能性大． 易错题型五 求某事件的频率 17．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0．74 0．69 (1)填空：______，______，______，______； (2)当n很大时，频率会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是多少？ 18．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表： 摸球次数 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数 63 123 247 365 484 603 摸到白球的频率 (1)表中的________； (2)请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到） (3)试估算摸到红球的概率是________（精确到） (4)试估算这个不透明的口袋中红球的个数． 19．某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 b 604 落在“可乐”区域的频率” 0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.604    (1)______，______； (2)请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率是______；（结果精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角是多少度？ 20．如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内擦小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数（含外沿） 100 200 500 1000 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 23 42 102 206 小石子落在圆外的阴影部分（含外沿）的次数n 77 158 398 794 0.299 0.266 0.256 0.259 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很多时，则的值越来越接近 （结果精确到0.01）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）； (3)请你利用（2）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留π） 易错题型六 关于频率与概率关系说法的正误 21．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 22．下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 23．生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下： 总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率 246 187 59 3658 2738 920 7679 5781 1898 31213 23436 7777 根据上述培育结果，下列说法正确的是（    ） A．只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于 B．随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于 C．培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为 D．培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为 24．（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 易错题型七 由频率估计概率 25．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击的次数 20 40 100 200 400 1000 2000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 322 801 1596 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为 （结果保留一位小数）． 26．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）匹克球作为一项新兴运动，吸引了大量参与者．2025年5月24日丹东市举办了首届匹克球公开赛，标志着我市在新型体育赛事上迈出了重要一步．小明同学来到运动场练习发球，在统计后，他发现发球1000次，有效951次，请估计他有效发球的概率大约为（   ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.05 27．（25-26九年级上·广西·期末）从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为 ．（精确到） 28．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）某地林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 534 902 6293 13576 成活的频率 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 （精确到）． 易错题型八 用频率估计概率的综合应用 29．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 30．（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 31．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 5000 优等品的频数m 9 96 951 1900 2856 4750 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.95 0.952 b (1) ______； ______． (2)从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是______．（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了10000只公仔，请问这批公仔中优等品大约是多少只？ 32．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转费的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的频数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 0．68 0．74 0．68 0．69 0．705 (1)填写表中的空格． (2)指针落在“铅笔”区域的频率稳定在 （精确到0.1）；顾客获得铅笔的概率估计值为 （精确到0.1）． (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $