专题二 认识概率（7大题型）讲义 2025--2026学年苏科版八年级数学下册（期末复习）

期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题二 认识概率 考点一：确定事件 ①不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． ②必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件． ③必然事件和不可能事件都是确定事件． 考点二：随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件． 特别说明： ①必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”； ②要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 考点三：概率 ①定义：一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率． ②表示：如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率 规定： 必然事件A发生的概率是1 ，记作P(A)=1； 不可能事件A发生的概率是0，记作P(A)=0； 随机事件A发生的概率P(A)是0和1之间的一个数． 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 考点四：频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 考点五：古典概型 满足下列两个特点的概率问题称为古典概型. （1）一次试验中，可能出现的结果是有限的； （2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的. 古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率. 特别说明：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等， 事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=. 题型一：随机事件 【典例精讲】（2026•武昌区一模）有两个事件，事件（1）：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6；事件（2）：太阳从东方升起．下列判断正确的是（　　） A．（1）（2）是随机事件 B．（1）是必然事件，（2）是随机事件 C．（1）是随机事件，（2）是必然事件 D．（1）是不可能事件，（2）是必然事件 【变式训练1】（2026春•无锡期中）下列谚语描述的事件，属于随机事件的是（　　） A．小暑热得透，大暑凉飕飕 B．日出东方 C．水中捞月 D．种瓜得瓜，种豆得豆 【变式训练2】（2026春•青山区校级月考）下列事件是必然事件的是（　　） A．明天下雨 B．学校举办读书演讲比赛，九年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人 题型二：概率公式 【典例精讲】（2026•嵊州市二模）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有羽毛球，乒乓球，花样跳绳，踢毽子这4种体育类活动供学生选择，若小嵊在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026•武昌区一模）已知一个布袋里装有3个红球，4个白球和n个绿球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出一个球是白球的概率为，则n的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练2】（2026•东莞市校级二模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“冬至有两张，“小寒”和“大寒”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“冬至”的概率是（　　） A． B． C． D． 题型三：几何概率 【典例精讲】（2026•呼伦贝尔模拟）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026春•临淄区期中）如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D．1 【变式训练2】（2026•呼伦贝尔模拟）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 题型四：可能性的大小 【典例精讲】（2026春•顺德区期中）一个袋中装有6个红球、4个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，则下列说法正确的是（　　） A．摸到红球、白球的可能性一样 B．一定摸到红球 C．摸到红球的可能性大 D．摸到白球的可能性大 【变式训练1】（2026春•东台市期中）下列成语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A．水涨船高 B．瓜熟蒂落 C．守株待兔 D．旭日东升 【变式训练2】32．（2026春•青浦区校级月考）从一副去除了大王和小王的52张扑克牌中，随意抽出一张牌，比较下列事件发生的可能性：（1）抽出的牌是红桃；（2）抽出的牌是黑桃，且点数为2～9；（3）抽出的牌不是红色．若将这些事件按可能性从小到大的顺序排序，应为　 　 ． 题型五：游戏公平性 【典例精讲】（2026•万山区模拟）甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（　　） A．对甲乙公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定 【变式训练1】21．（2026春•虹口区期中）甲、乙两支足球队比赛，如图，以下可以公平确定谁先开球的方式有（　　）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】53．（2026春•普宁市期中）小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个数字，随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动． （1）转盘转到奇数的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． （3）请你利用这个转盘，设计一个新的对双方都公平的游戏规则． 题型六：频率的稳定性 【典例精讲】（2025秋•夏津县期末）行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和行人遮荫并构成街景的树种．国槐是我市常见的行道树品种．如图是一批国槐树苗移植成活频率的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【变式训练1】（2025秋•广安区期末）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．1.000 【变式训练2】（2026春•西安期中）小军在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验可能是（　　） A．一个不透明的袋中装有除颜色外其他完全相同的2个绿球和1个蓝球．任意摸出1个球，摸到蓝球的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，偶数点数朝上的概率 C．从一副去掉大、小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到红桃的概率 D．任意买一张高铁二等座票（一排五座），座位靠窗的概率 题型七：用频率估计概率 【典例精讲】（2026•永州一模）一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026•新民市模拟）一个不透明的袋子里装有3个红球、2个白球、1个黄球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，摸到白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026•宽城县一模）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的10个红球和若干个黄球每次从盒子里摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.8．请估计盒子里黄球约有（　　） A．20个 B．40个 C．60个 D．80个 1．（2026春•曾都区月考）下列事件中，必然事件是（　　） A．投掷一枚硬币，反面向上 B．成语守株待兔描述的事件 C．买彩票一定会中奖 D．三角形三条边上的中线交于一点 2．（2026春•江都区期中）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　） A．画饼充饥 B．一箭双雕 C．水涨船高 D．水中捞月 3．（2026春•电白区期中）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为20cm×20cm的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在白色阴影的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A．60cm2 B．120cm2 C．200cm2 D．240cm2 4．（2026春•沈阳期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，分别涂上不同的颜色（如图），并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、10元的购物券．已知甲顾客购物消费150元．甲顾客获得购物券的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（2026•海陵区一模）下列说法正确的是（　　） A．命题“若，则a＞b”是真命题 B．“甲、乙、丙三人围圆桌，甲、乙正好相邻”是随机事件 C．调查“长征十二号”火箭各部分零件是否合格适合采用普查的方式 D．“把一根木棒折成三段，首尾相接可以构成一个三角形”是必然事件 6．（2026春•太谷区校级月考）在一个不透明的盒子里装有9个小球，上面标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，这些小球除所标数字外其余都相同．小明进行重复摸球试验，从不透明的盒子里随机摸出一个小球，记下小球的数字后放回盒子里，如图是小明的试验结果，小明进行的摸球试验可能是（　　） A．摸出的球标记的数字为奇数 B．摸出的球标记的数字为偶数 C．摸出的球标记的数字是2的倍数 D．摸出的球标记的数字是3的倍数 7．（2026•高州市一模）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2026春•沈北新区期中）在一个不透明的口袋里，装有除颜色外都相同的红球、白球共15个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在60%，估计袋中红球个数是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 9．（2025秋•台山市期末）在学习《用频率估计概率》时，某数学兴趣小组的同学们设计了一个电子投掷实验：在电脑上进行一个标靶，通过按键进行投掷飞镖．如图，这是他们在这个实验中投掷后的结果． 可以估计这个电子投掷实验中投中标靶的概率是（　　） A．0.74 B．0.75 C．0.76 D．0.79 10．（2026春•迎泽区校级期中）一个不透明的袋子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回装中，不断重复，统计白球出现的频率如图所示，则白球的个数最可能是（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 11．（2026春•万柏林区校级期中）某农科院在相同的条件下做小麦种子发芽实验，得到如下统计表： 种子粒数n 100 200 300 500 800 1000 2000 种子发芽的粒数m 86 178 273 452 716 905 1804 种子发芽的频率 0.860 0.890 0.910 0.904 0.895 0.905 0.902 根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为（　　） A．0.86 B．0.89 C．0.90 D．0.91 12．（2026•雷州市一模）在投掷一枚硬币的试验中，某小组做了1000次试验，最后出现正面朝上的频率为49.6%，此时出现正面的频数是（　　） A．496 B．500 C．516 D．504 13．（2026春•常州校级期中）从一副标准扑克牌中任意抽取1张（包括大小王，且大王为红色，小王为黑色）．（1）抽到的牌是“A”；（2）抽到的牌是“红心”；（3）抽到的牌是“大王”；（4）抽到的牌是“红色的”．将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列　　 　　 ． 14．（2026•槐荫区二模）如图，小正方形A1B1C1D1的4个顶点落在大正方形ABCD的对角线上，随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为　 　． 15．（2026•武隆区一模）小倩在网购时凑单购买了一份口味随机的万州烤鱼，已知有蒜香、鱼香、酸菜、豆豉、香辣、麻辣、泡椒7种口味，其中香辣、麻辣、泡椒味偏辣，则小倩恰好收到偏辣口味万州烤鱼的概率是　 　． 16．（2026•新昌县二模）一个不透明的袋子里有3个红球和2个白球，除颜色外完全相同，小红从袋子中随机摸一个球，摸到红球的概率是　 　． 17．（2026春•无锡期中）现有五张完全相同的卡片分别印有三角形、圆、菱形、平行四边形、等腰梯形，抽到中心对称图形的概率为　 　． 18．（2026•南宁二模）如图，在月历表中任取1天，恰好这一天是星期二的概率是　 　 ． 19．（2025秋•金台区校级期末）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为 　 　 ． 20．（2026•厦门模拟）某种植区拟定点投放某种保水剂．AI大模型综合该种保水剂的特性、投放点的环境、种植物的根系活动特点等数据，通过模拟随机试验得到：随着模拟投放次数的逐渐增加，保水剂成功发挥作用的频率总在80%附近摆动，显示出一定的稳定性．若该种植区需2万份投放后能发挥作用的该种保水剂，则需投放的份数（单位：万份）约为　 　 ． 21．（2026春•未央区校级月考）一个不透明的盒子中装有3个白球，2个黄球，1个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． （1）在上述盒子中摸出红球是　　 　事件，摸出黑球是　　 　　 事件． （2）若再往盒中放入n个形状和大小完全相同的红球，使得摸到黄球的概率为时，小颖和小英两人轮流摸球，记录结果后放回盒中．若摸到白球，小颖获胜；摸到红球，则小英获胜．请问这个游戏对双方公平吗？说明理由． 22．（2026春•无锡期中）小南发现操场上有一个不规则的封闭图形ABC，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在投掷点处向封闭图形ABC内掷石子，（若石子落在图形ABC以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内（含圆周上）的次数m 14 43 96 153 … 石子落在阴影内（含外边界）的次数n 23 91 186 300 … m：n 0.61 0.47 0.52 0.51 … 请根据以上信息，解答以下问题： （1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近　 　 （结果精确到0.1）； （2）若以小石子落在有效区域内的次数为总数（m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在　 　附近（结果用分数表示）； （3）根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留π）． 23．（2026春•普宁市期中）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下4匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到“闪电”的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到“闪电”的频率 a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161 （1）表中的a＝　 　 ，b＝　 　． （2）抽到“闪电”的概率的估计值是　 　 （精确到0.01）； （3）俱乐部准备的2000个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？ 24．（2026春•德惠市月考）在某校七年级（1）班组织的“六•一儿童节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． （1）小丽获胜的概率是　 　 ． （2）你认为这个游戏公平吗？若不公平，通过改变转盘的某个数字使这个游戏变得公平，请写出你的方案，并简单说明理由． 25．（2026春•顺德区期中）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）若从口袋里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为　 　 （精确到0.01）； （2）估算口袋里黑球的个数； （3）若向口袋里再放入n个除颜色以外其他完全相同的球，这n个球中白球有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意取出一个球，记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%附近，估算n的值． 26．（2026春•信宜市期中）某市林业局要考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图，请你根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在 　 　 附近，估计成活概率为 　 　 ；（精确到0.1） （2）该林业局已经移植这种花卉20000棵，根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 27．（2026春•佛山校级期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m a 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 b （1）填空a＝　 　，b＝　 　 ； （2）请估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　（精确到0.1）； （3）假如摸一次，摸到白球的概率P（白球）＝　 　； （4）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题二 认识概率 考点一：确定事件 ①不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． ②必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件． ③必然事件和不可能事件都是确定事件． 考点二：随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件． 特别说明： ①必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”； ②要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 考点三：概率 ①定义：一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率． ②表示：如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率 规定： 必然事件A发生的概率是1 ，记作P(A)=1； 不可能事件A发生的概率是0，记作P(A)=0； 随机事件A发生的概率P(A)是0和1之间的一个数． 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 考点四：频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 考点五：古典概型 满足下列两个特点的概率问题称为古典概型. （1）一次试验中，可能出现的结果是有限的； （2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的. 古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率. 特别说明：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等， 事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=. 题型一：随机事件 【典例精讲】（2026•武昌区一模）有两个事件，事件（1）：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6；事件（2）：太阳从东方升起．下列判断正确的是（　　） A．（1）（2）是随机事件 B．（1）是必然事件，（2）是随机事件 C．（1）是随机事件，（2）是必然事件 D．（1）是不可能事件，（2）是必然事件 【答案】C 【分析】根据确定事件、不确定事件的定义进行解题即可． 【解答】解：（1）：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6是随机事件； （2）：太阳从东方升起是必然事件． 故选：C． 【变式训练1】（2026春•无锡期中）下列谚语描述的事件，属于随机事件的是（　　） A．小暑热得透，大暑凉飕飕 B．日出东方 C．水中捞月 D．种瓜得瓜，种豆得豆 【答案】A 【分析】根据随机事件的定义解答即可． 【解答】解：A、小暑热得透，大暑凉飕飕，是随机事件，符合题意； B、日出东方是必然发生的自然现象，属于必然事件，不符合题意； C、水中捞月不可能实现，属于不可能事件，不符合题意； D、种瓜得瓜，种豆得豆是必然发生的结果，属于必然事件，不符合题意． 故选：A． 【变式训练2】（2026春•青山区校级月考）下列事件是必然事件的是（　　） A．明天下雨 B．学校举办读书演讲比赛，九年级3班获得一等奖 C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人 【答案】D 【分析】根据随机事件的定义解答即可． 【解答】解：A、明天下雨，是随机事件，不符合题意； B、学校举办读书演讲比赛，九年级3班获得一等奖，是随机事件，不符合题意； C、从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6，卡片中无数字6，是不可能事件，不符合题意； D、五个人分成四组， ∵5＝4×1+1， ∴必然存在一组有两人，是必然事件，符合题意． 故选：D． 题型二：概率公式 【典例精讲】（2026•嵊州市二模）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有羽毛球，乒乓球，花样跳绳，踢毽子这4种体育类活动供学生选择，若小嵊在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到小嵊在这4种体育活动中随机选择，选中“乒乓球”的概率． 【解答】解：∵共4种体育项目， ∴小嵊在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是， 故选：B． 【变式训练1】（2026•武昌区一模）已知一个布袋里装有3个红球，4个白球和n个绿球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出一个球是白球的概率为，则n的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据从该布袋里任意摸出一个球是白球的概率为，列出方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：n＝5， 经检验，n＝5是原方程的解，且符合题意， 即n的值是5， 故选：D． 【变式训练2】（2026•东莞市校级二模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“冬至有两张，“小寒”和“大寒”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“冬至”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用概率公式解答即可． 【解答】解：∵冬至有两张，“小寒”和“大寒”各一张， ∴从中随机抽取一张恰好抽到“冬至”的概率． 故选：A． 题型三：几何概率 【典例精讲】（2026•呼伦贝尔模拟）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，计算即可． 【解答】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率是． 故选：C． 【变式训练1】（2026春•临淄区期中）如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【解答】解：∵共有16小正方形，其中阴影部分为4个小正方形， ∴任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是， 故选：B． 【变式训练2】（2026•呼伦贝尔模拟）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，计算即可． 【解答】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率是． 故选：C． 题型四：可能性的大小 【典例精讲】（2026春•顺德区期中）一个袋中装有6个红球、4个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，则下列说法正确的是（　　） A．摸到红球、白球的可能性一样 B．一定摸到红球 C．摸到红球的可能性大 D．摸到白球的可能性大 【答案】C 【分析】利用概率公式计算摸到红球、白球的概率即可． 【解答】解：∵一个袋中装有6个红球、4个白球， ∴袋中总球数为6+4＝10（个）， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， ∵， ∴摸到红球的可能性大． 故选：C． 【变式训练1】（2026春•东台市期中）下列成语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A．水涨船高 B．瓜熟蒂落 C．守株待兔 D．旭日东升 【答案】C 【分析】根据成语描述的事件是否为必然事件或随机事件，判断可能性大小，必然事件的可能性大于随机事件的可能性，得出答案即可． 【解答】解：A、水涨船高：水位上升，船随之升高，属于必然事件，可能性为100%； B、瓜熟蒂落：瓜成熟后瓜蒂自然脱落，属于必然事件，可能性为100%； C、守株待兔：偶然捡到撞树的兔子，属于极小概率的随机事件，可能性为50%； D、旭日东升：太阳每天从东方升起，属于必然事件，可能性为100%， ∵50%＜100%， ∴C符合题意． 故选：C． 【变式训练2】32．（2026春•青浦区校级月考）从一副去除了大王和小王的52张扑克牌中，随意抽出一张牌，比较下列事件发生的可能性：（1）抽出的牌是红桃；（2）抽出的牌是黑桃，且点数为2～9；（3）抽出的牌不是红色．若将这些事件按可能性从小到大的顺序排序，应为　（2）（1）（3）　 ． 【答案】（2）（1）（3）． 【分析】根据扑克牌的组成，不同事件下对应牌数多的事件发生的可能性大，据此将事件的可能性进行排序即可． 【解答】解：一副去除了大王和小王的52张扑克牌中，其中红桃有13张，黑桃且点数为2～9的牌有8张，不是红色的牌有26张， 所以将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列为（2）（1）（3）． 故答案为：（2）（1）（3）． 题型五：游戏公平性 【典例精讲】（2026•万山区模拟）甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（　　） A．对甲乙公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定 【答案】A 【分析】由概率公式分别求出甲获胜的概率和乙获胜的概率，得出甲获胜的概率＝乙获胜的概率，即可得出结论． 【解答】解：骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，奇数为1、3、5，偶数为2、4、6， ∴甲获胜的概率，乙获胜的概率， ∴甲获胜的概率＝乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙公平， 故选：A． 【变式训练1】21．（2026春•虹口区期中）甲、乙两支足球队比赛，如图，以下可以公平确定谁先开球的方式有（　　）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】（1）盒子里哪种颜色球的数量越多，摸到该种颜色球的可能性越大，盒子里哪种颜色球的数量越少，摸到该种颜色球的可能性越小，盒子里各种颜色球的数量相同时，摸到每种颜色球的可能性相同； （2）骰子有六个面，分别标有1～6六个数字，分别求出奇数的个数和偶数的个数，两种数的个数相同时，掷到奇数和偶数的可能性相同； （3）转盘中，哪种区域的面积越大，指针停在该区域的可能性越大，哪种区域的面积越小，指针停在该区域的可能性越小； （4）硬币有正反两面，掷硬币时，两种面朝上的可能性是相同的，据此解答． 【解答】解：（1）从盒子里任意摸出一个球，摸到黑球甲队先开球，摸到白球乙队先开球，盒子里有4个黑球和4个白球，两种颜色球的数量相同，摸到黑球和白球的可能性相同，这种规则公平； （2）1～6中，奇数有1、3、5，一共三个，偶数有2、4、6，一共三个，奇数和偶数的个数相同，则掷到奇数和偶数的可能性相同，这种规则公平； （3）由图可知，转盘中阴影部分的面积大于空白部分的面积，则指针停在阴影部分的可能性比停在空白部分的可能性大，这种规则不公平； （4）掷硬币时，正面朝上或者反面朝上的可能性相同，这种规则公平． 由上可知，可以公平确定谁先开球的方式有（1）（2）（4），一共三种． 故选：C． 【变式训练2】53．（2026春•普宁市期中）小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个数字，随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动． （1）转盘转到奇数的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． （3）请你利用这个转盘，设计一个新的对双方都公平的游戏规则． 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）利用概率公式计算出小明和小强去参加活动的概率，再比较判断即可； （3）新的对双方都公平的游戏规则满足：小明去参加活动的概率＝小强去参加活动的概率即可． 【解答】解：（1）由题意可知，共有9种等可能的结果，其中转到奇数的结果有5种，即1，3，5，7，9， ∴转盘转到奇数的概率是； （2）这个游戏不公平，理由如下： 由题意可知，共有9种等可能的结果，其中转到偶数的结果有4种，即2，4，6，8， ∴转盘转到偶数的概率是， 由（1）可知，转盘转到奇数的概率是， ∵， ∴这个游戏不公平； （3）新的对双方都公平的游戏规则为：若转到的数大于5，小明去参加活动；若转到的数小于5，小强去参加活动（若转到的数是5时重转）；理由如下： ∵转到的数大于5的结果有4种，转到的数小于5的结果有4种， ∴小明去参加活动的概率，小强去参加活动的概率， ∴小明去参加活动的概率＝小强去参加活动的概率， ∴这个新的游戏规则对双方都公平． 题型六：频率的稳定性 【典例精讲】（2025秋•夏津县期末）行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和行人遮荫并构成街景的树种．国槐是我市常见的行道树品种．如图是一批国槐树苗移植成活频率的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【分析】由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等，用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率，部分的具体数目＝总体数目×相应频率； 【解答】解：由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9； 这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90． 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•广安区期末）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．1.000 【答案】B 【分析】结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【解答】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618． 故选：B． 【变式训练2】（2026春•西安期中）小军在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验可能是（　　） A．一个不透明的袋中装有除颜色外其他完全相同的2个绿球和1个蓝球．任意摸出1个球，摸到蓝球的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，偶数点数朝上的概率 C．从一副去掉大、小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到红桃的概率 D．任意买一张高铁二等座票（一排五座），座位靠窗的概率 【答案】A 【分析】根据统计图由频率估计概率，再计算四个选项的概率，即可得解． 【解答】解：根据统计图可知，随着实验次数的增加，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33， A、一个不透明的袋中装有除颜色外其他完全相同的2个绿球和1个蓝球．任意摸出1个球，摸到蓝球的概率为，与图形相符，符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，偶数点数朝上的概率为，与图形不符，不符合题意； C、从一副去掉大、小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到红桃的概率为，与图形不符，不符合题意； D、任意买一张高铁二等座票（一排五座），座位靠窗的概率为，与图形不符，不符合题意． 故选：A． 题型七：用频率估计概率 【典例精讲】（2026•永州一模）一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球，从中随机摸出一个球，是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从中随机摸出一个球有5种等可能结果，其中是红球的有3种结果，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：从中随机摸出一个球有5种等可能结果，其中是红球的有3种结果， 所以从中随机摸出一个球，是红球的概率为， 故选：A． 【变式训练1】（2026•新民市模拟）一个不透明的袋子里装有3个红球、2个白球、1个黄球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，摸到白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的计算公式计算求解即可． 【解答】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中摸到白球的结果有2种， ∴从中随机摸出1个球，摸到白球的概率是． 故选：B． 【变式训练2】（2026•宽城县一模）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的10个红球和若干个黄球每次从盒子里摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.8．请估计盒子里黄球约有（　　） A．20个 B．40个 C．60个 D．80个 【答案】B 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【解答】解：设盒子里黄球约有x个，根据题意得： 0.8， 解得：x＝40， 答：盒子里黄球约有40个； 故选：B． 1．（2026春•曾都区月考）下列事件中，必然事件是（　　） A．投掷一枚硬币，反面向上 B．成语守株待兔描述的事件 C．买彩票一定会中奖 D．三角形三条边上的中线交于一点 【答案】D 【分析】根据必然事件是一定条件下一定发生的事件的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 【解答】解：A、投掷一枚硬币反面向上是随机事件，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意； B、守株待兔描述的事件是随机事件，不一定发生，不符合题意； C、买彩票中奖是随机事件，不一定发生，不符合题意； D、三角形三条边上的中线交于一点，是必然事件，符合题意． 故选：D． 2．（2026春•江都区期中）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　） A．画饼充饥 B．一箭双雕 C．水涨船高 D．水中捞月 【答案】B 【分析】根据随机事件的定义对各选项判断即可． 【解答】解：A、画饼充饥一定不会发生，不是随机事件，该选项不符合题意； B、一箭双雕可能发生也可能不发生，属于随机事件，该选项符合题意； C、水涨船高一定发生，不是随机事件，该选项不符合题意； D、水中捞月一定不会发生，不是随机事件，该选项不符合题意． 故选：B． 3．（2026春•电白区期中）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为20cm×20cm的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在白色阴影的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A．60cm2 B．120cm2 C．200cm2 D．240cm2 【答案】D 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，得到点落在白色阴影的概率为0.4，即黑色阴影的面积占整个面积的0.6，据此求解即可． 【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在白色阴影的频率稳定在0.4左右， ∴点落在白色阴影的概率为0.4， ∴黑色阴影的面积占整个面积的0.6， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为202×0.6＝240（cm2）． 故选：D． 4．（2026春•沈阳期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，分别涂上不同的颜色（如图），并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、10元的购物券．已知甲顾客购物消费150元．甲顾客获得购物券的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用概率公式求出答案． 【解答】解：∵红色、黄色、绿色区域一共有7个， ∴甲顾客获得购物券的概率是． 故选：A． 5．（2026•海陵区一模）下列说法正确的是（　　） A．命题“若，则a＞b”是真命题 B．“甲、乙、丙三人围圆桌，甲、乙正好相邻”是随机事件 C．调查“长征十二号”火箭各部分零件是否合格适合采用普查的方式 D．“把一根木棒折成三段，首尾相接可以构成一个三角形”是必然事件 【答案】C 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件，全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、命题“若，则a＞b”是假命题，故A不符合题意； B、“甲、乙、丙三人围圆桌，甲、乙正好相邻”是必然事件，故B不符合题意； C、调查“长征十二号”火箭各部分零件是否合格适合采用普查的方式，故C符合题意； D、“把一根木棒折成三段，首尾相接可以构成一个三角形”是随机事件，故D不符合题意； 故选：C． 6．（2026春•太谷区校级月考）在一个不透明的盒子里装有9个小球，上面标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，这些小球除所标数字外其余都相同．小明进行重复摸球试验，从不透明的盒子里随机摸出一个小球，记下小球的数字后放回盒子里，如图是小明的试验结果，小明进行的摸球试验可能是（　　） A．摸出的球标记的数字为奇数 B．摸出的球标记的数字为偶数 C．摸出的球标记的数字是2的倍数 D．摸出的球标记的数字是3的倍数 【答案】D 【分析】随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于0.33附近，所以估计此事件发生的概率为，再分别求出四个选项的概率即可得出答案； 【解答】解：盒中标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，若事件是“摸出的球的数字是3的倍数”， 则该数字只能是3、6、9，共3个，概率为， 图中所示频率在反复多次试验后稳定在0.33附近，与 符合；故D符合题意，其他选项不符合题意， 故选：D． 7．（2026•高州市一模）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先根据摸到黄球的频率求得摸到其它球的频率，然后根据另外两个球的个数求出球的总个数，继而得出答案． 【解答】解：根据题意知，袋中球的总个数约为（3+5）÷（1﹣0.2）＝10， 所以估计盒子中大约有红球10﹣8＝2（个）， 故选：A． 8．（2026春•沈北新区期中）在一个不透明的口袋里，装有除颜色外都相同的红球、白球共15个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在60%，估计袋中红球个数是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用频率估计概率，摸到红球的频率稳定在60%，即概率为0.6，总球数为15，因此红球数量为15×0.6＝9个． 【解答】解：∵多次摸球试验后，摸到红球的频率稳定在60%， ∴摸到红球的概率为0.6， 又∵球的总数为15个， ∴红球个数＝15×0.6＝9． 故选：D． 9．（2025秋•台山市期末）在学习《用频率估计概率》时，某数学兴趣小组的同学们设计了一个电子投掷实验：在电脑上进行一个标靶，通过按键进行投掷飞镖．如图，这是他们在这个实验中投掷后的结果． 可以估计这个电子投掷实验中投中标靶的概率是（　　） A．0.74 B．0.75 C．0.76 D．0.79 【答案】B 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此找到频率的稳定值即可得到答案． 【解答】解：由题意得，随着试验次数的增加，投中标靶的频率逐渐稳定在0.75附近， 故估计这个电子投掷实验中投中标靶的概率是0.75， 故选：B． 10．（2026春•迎泽区校级期中）一个不透明的袋子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回装中，不断重复，统计白球出现的频率如图所示，则白球的个数最可能是（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】由频率分布图可知，随着试验次数增加，白球出现的频率稳定在0.6附近，可得白球出现的概率为0.6，进而即可求解． 【解答】解：由频率分布图可知，随着试验次数增加，白球出现的频率稳定在0.6附近， ∴白球出现的概率为0.6， ∵总球数为20个， ∴白球的个数为20×0.6＝12， 故选：C． 11．（2026春•万柏林区校级期中）某农科院在相同的条件下做小麦种子发芽实验，得到如下统计表： 种子粒数n 100 200 300 500 800 1000 2000 种子发芽的粒数m 86 178 273 452 716 905 1804 种子发芽的频率 0.860 0.890 0.910 0.904 0.895 0.905 0.902 根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为（　　） A．0.86 B．0.89 C．0.90 D．0.91 【答案】C 【分析】利用频率估计概率：在相同条件下，多次重复试验，某一事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率，由表中数据即可得到答案． 【解答】解：由频率估计概率，根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为0.90． 故选：C． 12．（2026•雷州市一模）在投掷一枚硬币的试验中，某小组做了1000次试验，最后出现正面朝上的频率为49.6%，此时出现正面的频数是（　　） A．496 B．500 C．516 D．504 【答案】A 【分析】根据频数＝数据总数×频率进行计算即可． 【解答】解：∵出现正面的频率为49.6%， ∴出现正面的频数为1000×49.6%＝496次． 故选：A． 13．（2026春•常州校级期中）从一副标准扑克牌中任意抽取1张（包括大小王，且大王为红色，小王为黑色）．（1）抽到的牌是“A”；（2）抽到的牌是“红心”；（3）抽到的牌是“大王”；（4）抽到的牌是“红色的”．将这些事件的序号按发生的概率从小到大的顺序排列　（3）＜（1）＜（2）＜（4）　 ． 【答案】（3）＜（1）＜（2）＜（4）． 【分析】根据概率等于所求情况数与总情况数之比，分别计算每个事件发生的概率，再比较概率大小即可完成排序． 【解答】解：一副标准扑克牌中任意抽取1张（包括大小王，且大王为红色，小王为黑色）共有54张， （1）牌中“A”共有4张，因此抽到“A”的概率为； （2）牌中“红心”共有13张，因此抽到“红心”的概率为； （3）牌中“大王”共有1张，因此抽到“大王”的概率为； （4）牌中“红色的”牌共有27张，因此抽到“红色的”牌的概率为； 比较概率大小可得， 即（3）＜（1）＜（2）＜（4）． 故答案为：（3）＜（1）＜（2）＜（4）． 14．（2026•槐荫区二模）如图，小正方形A1B1C1D1的4个顶点落在大正方形ABCD的对角线上，随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为　　 ． 【答案】． 【分析】根据面积法：恰好落在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比即可解答． 【解答】解：观察这个图可知：阴影区域占，故其概率为． 故答案为：． 15．（2026•武隆区一模）小倩在网购时凑单购买了一份口味随机的万州烤鱼，已知有蒜香、鱼香、酸菜、豆豉、香辣、麻辣、泡椒7种口味，其中香辣、麻辣、泡椒味偏辣，则小倩恰好收到偏辣口味万州烤鱼的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】确定所有等可能的结果总数，再确定事件“收到偏辣口味”包含的结果数，代入概率公式计算即可． 【解答】解：∵有蒜香、鱼香、酸菜、豆豉、香辣、麻辣、泡椒7种口味，其中香辣、麻辣、泡椒味偏辣， ∴所有等可能出现的结果共有7种，其中恰好收到偏辣口味的结果有3种． ∴小倩恰好收到偏辣口味万州烤鱼的概率是． 故答案为：． 16．（2026•新昌县二模）一个不透明的袋子里有3个红球和2个白球，除颜色外完全相同，小红从袋子中随机摸一个球，摸到红球的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：∵一个不透明的袋子里有3个红球和2个白球，除颜色外完全相同， ∴小红从袋子中随机摸一个球，摸到红球的概率是， 故答案为：． 17．（2026春•无锡期中）现有五张完全相同的卡片分别印有三角形、圆、菱形、平行四边形、等腰梯形，抽到中心对称图形的概率为　　 ． 【答案】． 【分析】先确定所有等可能结果的总数，再找出其中抽到中心对称图形的结果数，根据概率公式计算即可得到答案． 【解答】解：∵现有五张完全相同的卡片分别印有三角形、圆、菱形、平行四边形、等腰梯形，中心对称图形为圆，菱形，平行四边形，共3个， ∴所有等可能结果总数为5，抽到中心对称图形的结果数为3， ∴抽到中心对称图形的概率为． 故答案为：． 18．（2026•南宁二模）如图，在月历表中任取1天，恰好这一天是星期二的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：由题意可知，在月历表中任取1天，恰好这一天是星期二的概率是， 故答案为：． 19．（2025秋•金台区校级期末）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为 　0.960　 ． 【答案】0.960． 【分析】利用频率估计概率即可． 【解答】解：∵头盔的合格频率稳定在0.960附近， ∴抽查一个头盔，合格的概率约为0.960． 故答案为：0.960． 20．（2026•厦门模拟）某种植区拟定点投放某种保水剂．AI大模型综合该种保水剂的特性、投放点的环境、种植物的根系活动特点等数据，通过模拟随机试验得到：随着模拟投放次数的逐渐增加，保水剂成功发挥作用的频率总在80%附近摆动，显示出一定的稳定性．若该种植区需2万份投放后能发挥作用的该种保水剂，则需投放的份数（单位：万份）约为　2.5　 ． 【答案】2.5． 【分析】根据随着模拟投放次数的逐渐增加，保水剂成功发挥作用的频率总在80%附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计保水剂成功发挥作用的概率是80%，再根据概率公式计算即可． 【解答】解：根据题意，可以估计保水剂成功发挥作用的概率是80%， 所以需投放的份数约为2÷80%＝2.5（万份）．故答案为：2.5． 21．（2026春•未央区校级月考）一个不透明的盒子中装有3个白球，2个黄球，1个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． （1）在上述盒子中摸出红球是　随机　 事件，摸出黑球是　不可能　 事件． （2）若再往盒中放入n个形状和大小完全相同的红球，使得摸到黄球的概率为时，小颖和小英两人轮流摸球，记录结果后放回盒中．若摸到白球，小颖获胜；摸到红球，则小英获胜．请问这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的定义即可得出结论； （2）先根据概率公式求出n＝2，再根据概率公式求出小颖获胜的概率＝小英获胜的概率，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵一个不透明的盒子中装有3个白球，2个黄球，1个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样， ∴在盒子中摸出红球是随机事件，摸出黑球是不可能事件， 故答案为：随机，不可能； （2）这个游戏对双方公平，理由如下： 由题意得：， 解得：n＝2， 经检验，n＝2是原方程的解，且符合题意， ∴n+1＝3， 即现在盒子中装有3个白球，2个黄球，3个红球， ∴摸到白球的概率为， 摸到红球的概率为， ∴小颖获胜的概率＝小英获胜的概率， ∴这个游戏对双方公平． 22．（2026春•无锡期中）小南发现操场上有一个不规则的封闭图形ABC，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在投掷点处向封闭图形ABC内掷石子，（若石子落在图形ABC以外，则为无效结果，不计次数），投掷结果记录如表： 石子落在圆内（含圆周上）的次数m 14 43 96 153 … 石子落在阴影内（含外边界）的次数n 23 91 186 300 … m：n 0.61 0.47 0.52 0.51 … 请根据以上信息，解答以下问题： （1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近　0.5　 （结果精确到0.1）； （2）若以小石子落在有效区域内的次数为总数（m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆周上）的频率稳定在　　 附近（结果用分数表示）； （3）根据（2）所得的频率值，求出阴影部分的面积（结果保留π）． 【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积． 【解答】解：（1）根据表格数据得，当投掷的次数很大时，的值越来越接近0.5； 故答案为：0.5； （2）观察表格得：； 随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3左右，即小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右； 故答案为：； （3）设封闭图形的面积为a， 根据题意得， 解得a＝3π， 则3π﹣π×12＝2π（平方米） 答：阴影部分的面积为2π平方米． 23．（2026春•普宁市期中）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下4匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到“闪电”的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到“闪电”的频率 a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161 （1）表中的a＝　0.11　 ，b＝　33　 ． （2）抽到“闪电”的概率的估计值是　0.16　 （精确到0.01）； （3）俱乐部准备的2000个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？ 【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出a、b的值；（2）根据表格中的数据，可以写出抽到“闪电”的概率的估计值； （3）根据题意和表格中的数据，可以计算出抽到“凌云”的次数． 【解答】解：（1）由表格可得， a＝11÷100＝0.11，b＝200×0.165＝33， 故答案为：0.11，33； （2）由表格可得， 抽到“闪电”的概率的估计值是0.16， 故答案为：0.16； （3）2000×（1﹣0.16）÷3 ＝2000×0.84÷3 ＝1680÷3 ＝560（次）， 即抽到“凌云”56次． 24．（2026春•德惠市月考）在某校七年级（1）班组织的“六•一儿童节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． （1）小丽获胜的概率是　　 ． （2）你认为这个游戏公平吗？若不公平，通过改变转盘的某个数字使这个游戏变得公平，请写出你的方案，并简单说明理由． 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）比较两人获胜概率可知不公平，即可作答． 【解答】解：（1）∵指针指向偶数，则小丽去， 依题意，P（偶数）， 即小丽获胜的概率是； 故答案为：； （2）不公平，理由如下： ∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去，且由（1）得小丽获胜的概率是； ∴小芳获胜的概率是1， ∵， ∴这个游戏不公平； 方案：把两个数字3中的其中一个3改为数字2，这个游戏变得公平， 理由：∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去，且由（1）得小丽获胜的概率是； ∴小芳获胜的概率是1， ∵， ∴这个游戏公平． 25．（2026春•顺德区期中）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共40只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）若从口袋里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为　0.60　 （精确到0.01）； （2）估算口袋里黑球的个数； （3）若向口袋里再放入n个除颜色以外其他完全相同的球，这n个球中白球有2个，然后每次将球搅拌均匀后，任意取出一个球，记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%附近，估算n的值． 【分析】（1）观察表格中频率的稳定趋势，取近似值即可得到摸到白球的概率； （2）先估算出白球数量，再用总球数减去白球数量得到黑球个数； （3）根据加入球后的频率稳定值得到概率，结合白球数量与总球数列出方程，求解即可得到n的值． 【解答】解：（1）解：由表格数据可知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.60附近， ∴摸到白球的概率约为0.60， 故答案为：0.60； （2）∵口袋中共有40个球，摸到白球的概率约为0.60， ∴口袋里约有白球40×0.60＝24（个）， ∴黑球个数约为40﹣24＝16（个）； （3）∵向口袋里再放入n个除颜色以外其他完全相同的球，这n个球中白球有2个，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%附近， ∴24+2＝（40+n）×50%， 解得：n＝12， 答：估算n的值为12． 26．（2026春•信宜市期中）某市林业局要考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图，请你根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在 　0.9　 附近，估计成活概率为 　0.9　 ；（精确到0.1） （2）该林业局已经移植这种花卉20000棵，根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【分析】（1）根据统计图，以及频率和概率之间的关系，进行作答即可； （2）利用需要成活的数量除以概率再减去已经移植的数量计算即可． 【解答】解：（1）依据所示的统计图可知：这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）90000÷0.9＝100000（棵）， 100000﹣20000＝80000（棵）， 答：估计还需要移植80000棵． 27．（2026春•佛山校级期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m a 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 b （1）填空a＝　65　 ，b＝　0.601　 ； （2）请估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　0.6　 （精确到0.1）； （3）假如摸一次，摸到白球的概率P（白球）＝　0.6　 ； （4）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？ 【分析】（1）根据表格中给出的数据进行计算即可； （2）由表格中的数据可知，随着实验次数的增加摸到白球的频率稳定在0.6附近即可得出结论； （3）格局（2）中的数据即可得出结论； （4）求出摸到黑球的概率，进而可得出结论． 【解答】解：（1）a＝100×0.65＝65，b0.601， 故答案为：65，0.601； （2）由表格中的数据可知，随着实验次数的增加摸到白球的频率稳定在0.6附近， ∴估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （3）假如摸一次，摸到白球的概率P（白球）＝0.6， 故答案为：0.6； （4）由（3）知，摸到白球的概率是0.6， ∴摸到黑球的概率是1﹣0.6＝0.4， ∴50×0.4＝20（只）， 答：估算盒子里黑颜色的球有20只． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $