第1章 三角形的证明及其应用学业质量自我评价-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

八年级数学BS版下册 学业质量自我评价 第一章 学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线.若从多边形的一个顶 点可以引出九条对角线，则这个多边形是 () A.九边形 B.十边形 C.十一边形 D.十二边形 2.一张小凳子的结构简化图如图所示，AC=BC,∠1=100°，则∠2的度数是() A.40 B.50 C.60° D.80° 第2题图 第3题图 3.如图，直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b交于点D.若 △BCD是等边三角形，∠A=20°，则∠1的度数为 ( A.20 B.40 C.609 D.无法判断 4.(2025阜阳三模)如图，直线m∥m,把一块含45°角的直角三角板ABC按图所示 的方式放置，点A在m上，点B在n上，AC与n相交于点D.以点A,B为圆 心，大于2AB长为半径画弧，两弧相交于点P,Q,作直线PQ交直线m于点 E,连接BE.若∠1=a,则∠CBD= ( 1 A.90°-a B.2a-135 D.2a-30 D B G 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AB边的垂直平分线交AB于点D,交BC于 点E,AC边的垂直平分线交AC于点F,交BC于点G,连接AE,AG,则∠EAG 的度数为 () A.15 B.20° C.25 D.30° 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC 交AC于点E,交AD于点G,过点A作AF⊥BE于点H,交BC于点F.有下列 结论：①∠AGE=∠AEG;②@AE=DF;③GD+DC=AB.其中正确的有() A.①② B.②③ C.①②③ D.①③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.一个正多边形的内角和是1260°，则这个正多边形的一个外角的度数为 8.《周礼》中记载：“半矩谓之宣，一宣有半谓之橱，…”意思是直角的一半的角叫 440444 143 作宣，一宜半的角叫作褐，即1宣=2矩1矩=90)，1褐=12宜.如图，若 ∠A=1矩，∠B=1橘，则∠C的度数为 B H C 图① 图② C 第8题图 第9题图 第10题图 9.某次数学探究活动中，小明将一张斜边长为4的等腰直角三角形硬纸片ABC (∠A=90°)剪切成图①所示的四块（其中D,E,F分别为AB,AC,BC的中点， G,H分别为DE,BF的中点).小明将这四块纸片重新拼成图②所示的四边形 (相互不重叠，不留空隙)，则所拼成的四边形的周长为 10.如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D 处同时施.若∠ABC=150°，BC=1600m,CD=1000m,则B,D两点的距 离是 m. 11.如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角.这个三等分角仪由两根有槽的 棒OA,OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC=CD= DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°，则∠DCE的度数是 E B C D 第11题图 第12题图 12.(2025景德镇一模)如图，△ABC是等腰三角形，∠A=120°，点D在边BC上， BC=8,CD=2,点P为边AC上一动点，连接DP,将△CDP延DP翻折，得 到△CDP.当CD与△ABC的腰垂直时，CP= 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)(2025自贡)如右图，∠ABE=∠BAF,CE=CF 求证：AE=BF. (2)写出命题“如果x2>0,那么x>0”的逆命题，并判断这个逆命题的真假. 14.如下图，CD是等边三角形ABC的中线，DE⊥AC,垂足为E.若DE的长度为 3cm,求点D到BC的距离. D B 15.如下图，在△ABC中，AB=AC,直线l过点A且与BC平行，E,F是直线1上 的两点，AE=AF,请仅用无刻度的直尺作出BC边上的高AD(保留作图痕 迹，不写作法). E A F 16.如下图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，在点A处有一栋 居民楼，AO=200m.如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪声的影响，那 么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼受噪声影响的时间为5√3s. 求火车行驶的速度（不考虑火车长度）. 17.如下图，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，交BC于点E,DE∥AB交AC 于点D. (1)求证：AD=ED (2)若AC=AB,DE=3,求AC的长. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如右图，把△ABC沿边AB所在直线折叠得到△ABD,点 D是点C的对应点，过点A作AE⊥DB于点E,过点C 作CF⊥DB交DB的延长线于点F. (1)若∠ABC=70°，求∠BCF的度数. (2)若DE=CF=4,EF=2DE,求BE的长. 1441419 144 19.下图是某遮阳伞的截面示意图，其截面示意图为轴对称图形，AC=AD=2m, CD⊥AB于点O,AB⊥BF于点B,EF⊥BF于点F,天晴时打开遮阳，∠CAD =120°. (1)求遮阳宽度CD的长 (2)将拉绳AE固定在树干EF上，若支杆AB与树干EF的横向距离BF= 33 2m,求拉绳AE的长. 20.如下图，在△ABC中，AB<AC<BC,以点A为圆心，线段AB的长为半径画 弧，与BC边交于点D,连接AD,过点D作DE⊥AD,交AC于点E. (1)若∠ABC=50°，∠C=28°，求∠AED的度数. (2)若F是BD的中点，连接AF,求证：∠BAF=∠EDC. 440444日 145 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫作正多 边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形.下图所示的是一组 正多边形， (1)观察上面每个正多边形中的∠a,填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 ∠a的度数 (2)根据规律，计算正八边形中的∠α的度数. (3)是否存在正n边形使得∠α=21°？若存在，请求出n的值；若不存在，请说 明理由， 22.如右图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC= 16,D是AC上的一点，CD=3,点P从点B出发，沿射线 BC方向每秒运动2个单位长度.设点P的运动时间为 ts,连接AP. (1)当t=3时，求AP的长度. (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值. (3)过点D作DE⊥AP于点E,连接PD.在点P的运动过程中，直接写出当t 为何值时，PD平分∠APC. 六、解答题（本大题共12分） 23.有这样一道题：如图①，点D在等边三角形ABC的边BC上，将△ABD绕点 A旋转，使得旋转后点B的对应点为C.小明是这样做的：过点C画BA的平 行线L,在1上截取CE=BD,连接AE,则△ACE即为旋转后的图形. B D 图① 图② (1)请你根据小明的思路，解决下列问题： ①求证：△ACE≌△ABD: ②求∠DAE的度数. (2)如图②，D为等边三角形ABC的边BC下方一点，连接AD,BD,CD.若 ∠ACD+∠ABD=180°，AD=4,求△ABC的面积的最小值. 1441419 146∠1=∠2， 证明：在△BEO和△DFO中，OB=OD, ∠EOB=∠FOD ∴.△BEO≌△DFO(ASA). (2)证明：由(1)，得△BEO≌△DFO,.EO=FO. .AE=CF,..EO+AE=FO+CF,AO=CO. 又.OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形. 11.解：(1)△MNH是直角三角形，且∠MHN=90°.理 由如下： ,HN是△AEB的中位线， .HN∥AE,∴.∠NHB=∠CAB. 同理可得∠MHA=∠CBA. :∠ACB=90°，.∠CBA+∠CAB=90°， .∠MHA+∠NHB=90°， ∴.∠MHN=180°-90°=90°， ∴.△MNH是直角三角形，且∠MHN=9o°. (2)HN是△AEB的中位线，AE=4, IN=子AE=2 同理可得MH=3.由(1)可知，∠MHN=90°， ∴.MN=√HN+MH=√22+3=√I3. 12.解：(1)证明：，AD∥BC,AB∥CD, .四边形ABCD为平行四边形，∴.AB=CD (2)证明：如图①，过点D作DE∥AB交BC于点E. ADBC,.四边形ABED为平行四边形， .'.AB=DE. .AB=CD,.DE=CD,.∠DEC=∠C. .DE∥AB,∴.∠B=∠DEC,.∠B=∠C (3)如图②，过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F. :AD∥BC,∴.四边形ACFD为平行四边形， ..AC=DF=4,AD=CF. .'DF∥AC,∴.∠BDF=∠BEC :AC⊥BD,.∠BDF=∠BEC=9O°.在Rt△BDF 中，由勾股定理，得BF=√BD+DF=5, ..BC+AD=BC+CF=BF=5. 图① 图② 学业质量自我评价 第一章学业质量自我评价 1.D2.B3.B4.C 5.B【解析】，'AB边的垂直平分线交AB于点D,AC 边的垂直平分线交AC于点F, ..AE=BE,AG=CG, ∴.∠B=∠BAE,∠C=∠CAG, ∴.∠BAE+∠CAG=∠B+∠C=180°-∠BAC =100°， ∴.∠EAG=∠BAE+∠CAG-∠BAC=100°-80 =20°. 6.D【解析】，BE平分∠ABC,.∠ABE=∠GBD ∠BAC=90°，AD⊥BC, ∴.∠ABE+∠AEB=90°，∠GBD+∠BGD=90°， .∠AEB=∠BGD. 又：∠AGE=∠BGD, ∴∠AEG=∠AGE,故结论①正确； :在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD⊥BC, ∴.∠BAD=∠CAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD=BD=CD. AF⊥BE,AD⊥BC, ∴.∠FAD+∠AFD=∠BFH+∠HBF=90°， ∴.∠FAD=∠GBD. 又∠ADF=∠BDG=90°，AD=BD, .△ADF≌△BDG(ASA),.DF=DG. 由结论①可知，∠AGE=∠AEG,∴.AG=AE. AG≠GD,.AE≠DF,故结论②不正确： AH⊥GE,∴.∠AHG=∠AHE=90°. 在R△AGH与R△AEH中，AGAE, AH-AH. .Rt△AGH≌Rt△AEH(HL), 六∠GAH=∠EAH=2∠CAD=22.5, ∴∠BAF=∠BAD+∠DAF=67.5 :∠C=180°-90° =45°， 2 .∠BFA=∠FAC+∠C=67.5°， .∠BFA=∠BAF,.BF=BA. .DF=DG,:.DG+DC=DF+BD=BF, .GD十DC=AB,故结论③正确. 综上所述，正确的有①③ 7.40°8.22.5°9.6+2210.(600+8003) 11.50°【解析】设∠O=x°. OC=CD=DE,∠CDO=∠O=x°， ∴.∠DEC=∠DCE=∠O+∠CDO=2x°， ∴∠BDE=∠O+∠DEC=x°+2x°=3.x°=75°， ∴.x=25,.∠DCE=2x°=50°. 122或25或厅【解折：△ABC是等腰三角形. ∠A=120,5∠B=∠C=3180-∠A)=30 分下列三种情况讨论： ①如图①，当DC'⊥AC,点C'在 BC上方时，设DC'交AC于点H, 则∠DHC=90°， B ∴.∠HDC=60°. 图① 1 由折叠的性质得∠HDP=∠CDP= ∠HDC= 1 30°.CP=DP,HP=2DP. CD=2,HD=7CD=1. .DP:-HP:=DP:=HD:=1, 41 Dp=23 3 下册参考答案 55个 .CP-DP-5 ②如图②，当DC'⊥AC,点C'在 BC下方时，设C'D延长线交CP 于点H, 则∠DHC=∠DHP=90°. 同理得DH=CD=1, 图② .CH=√CD2-DH=3. 由折叠的性质得CD=C'D=2,∠C'=∠C=30°， .c'H-CD+DH-3.PH-zPC, :.PC-PH2=C'H2=3PH2=9, ..PH=3,..CP=CH+PH=23: ③如图③，当DC'⊥AB时，设 AH. DC'交AB于点H, 则∠AHC'=90. B ∠BAC=120°， 图③ .∠C'AH=60, ∴.∠AC'H=30. 由折叠的性质得∠PC'D=∠C=30°，CP=PC', 点A,C',P三点共线， 1 ∴DP=2CD=1∴.CP=√CD=Dp=B. 综上所述，CP-成2咸， 13.解：(1)证明：∠ABE=∠BAF,∴.AC=BC. ,'∠ACE=∠BCF,CE=CF, .△ACE≌△BCF(SAS),∴.AE=BF (2)逆命题：如果x>0,那么x2>0.此命题为真命题. 14.解：如图，过点D作DF⊥BC,垂足 为F. ,CD是等边三角形ABC的中线， .CD平分∠ACB. .'DEAC,DF⊥BC, .DF=DE=3cm,∴.点D到BC的距离为3cm. 15.解：如图，AD即为所求. B 16.解：过点A作AB⊥MN于点B,在MN上取一点D, 使得OA=AD,如图. :∠QON=30°，A0=200m, 六AB= 20A=100m, ∴.OB=√OA-AB2=1003m. AB⊥OD,OA=AD,∴.OB=BD, 7Λ56 八年级数学BS版 .OD=2OB=200W3m. 居民楼受噪声影响的时间为5√3s, :火车行驶的速度为53 200√/3 =40(m/s). 17.解：(1)证明：，AE是∠BAC的平分线， ∠DAE=∠BAE. DE∥AB,∠DEA=∠BAE, .∠DAE=∠DEA,.AD=ED (2),AB=AC,AE是∠BAC的平分线， AE⊥BC, ∴.∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90. ∠CAE=∠DEA,∠C=∠CED,∴.DE=CD, ..AD=DE=CD=3,..AC=AD+CD=6. 18.解：(1)由题意得∠ABD=∠ABC=70°， .∠CBF=180°-∠ABD-∠ABC=180°-70°- 70°=40°. :∠F=90°，.∠BCF=90°-∠CBF=50. (2).'DE=CF=4.EF=2DE, .EF=8,∴.BF=8一BE,BD=4+BE 由折叠得BD=BC=4十BE. 根据勾股定理得CF2+BF2=BC2, 4+(8-BE)=(4+BE),BE= 19.解：(1)AC=AD=2m,∠CAD=120°，OA⊥CD, ÷∠C=∠0DA=180°，120°=30， 2 0C=0D=2CD,A0=2AC=1m, ∴.OC=√22-1产=√3(m), ∴.CD=2OC=2√5m. (2)如图，过点E作EG⊥AB,垂足 为G. GB⊥BF,EF⊥BF,∴∠EGB= ∠GBF=∠EFB=90°， .∠GEF=360°-∠EGB ∠GBF-∠EFB=90°， 四边形BGEF是长方形， ·EG=BF=3 2m. .DO⊥AB,EG⊥AB,.DO∥GE, .∠AD0=∠AEG=30°，AG=2AE, (合AE)+(2)=AB,AE=8m 20.解：(1)由题意，得AB=AD, .∠ADB=∠ABC=50°， .∠BAD=180°-∠ADB-∠ABC=80. ∠C=28°，.∠BAC=180°-∠C-∠ABC=102°， .∠DAE=∠BAC-∠BAD=102°-80°=22. DE⊥AD,.∠ADE=90°， ∴.∠AED=90°-∠DAE=90°-22°=68. (2)证明：AB=AD,F是BD的中点， .AF⊥BD,∠BAF=∠DAF, ∠DAF+∠ADB=90°. ,∠ADE=90°，，∠ADB+∠EDC=90°， ∠DAF=∠EDC,.∠BAF=∠EDC 21.解：(1)填表如下： 正多边 4 5 6 形的边数 ∠a的 60 45° 369 30 180 度数 n (2)正八边形中的∠&的度数为( °=22.5°. (3)不存在.理由：设存在正n边形使得∠a=21°， 则(-2年得-8号 4 “是正整数∴m=8号不符合题意，舍去。 故不存在正n边形使得∠a=21°. 22.解：(1)根据题意，得BP=2t,.PC=16-2t. 当t=3时，PC=10. 在Rt△APC中，AC=8,由勾股定理，得AP= √AC2+PC=√64+100=2√41. (2)在Rt△ABC中，AC=8,BC=16 由勾股定理，得AB=√AC+BC=8√5. 当BP=BA时，2t=8√5，解得t=4V5; 当AP=AB时，BP=2BC=2×16=32,2t=32,解 得t=16; 当PB=PA时，(2t)2=(16-2t)2+82,解得t=5. 故当△ABP为等腰三角形时，1的值为4√5或16或5. (3)t的值为5或11.【解析】(3)分以下两种情况讨 论：①当点P在线段BC上时，如图①所示， 则∠AED=∠PED=90°，.∠PED=∠ACB=90°」 .PD平分∠APC,.∠EPD=∠CPD 又，PD=PD,∴.△PDE≌△PDC(AAS), ..ED=CD=3,PE=PC=16-2t, ∴.AD=AC-CD=8-3=5, ∴.AE=/AD-DE2=25-9=4, .∴.AP=AE+PE=4+16-2t=20-2t. 在Rt△APC中，由勾股定理，得82+(16一2t)2=(20 -21)2,解得t=5; 图① 图② ②当点P在线段BC的延长线上时，如图②所示 同①，得△PDE≌△PDC(AAS), ..ED=CD=3,PE=PC=2t-16, '.AD=AC-CD=8-3=5, .∴.AE=√AD-DE=25-9=4, ∴.AP=AE+PE=4+2t-16=21-12, 在Rt△APC中，由勾股定理，得8+(2t-16)2=(2t 一12)，解得t=11. 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11 时，PD平分∠APC 23.解：(1)①证明：，△ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=∠B=60°. :AB∥I,∴.∠ACE=∠BAC=60°， ∠ACE=∠B. :CE=BD,.△ACE≌△ABD(SAS). ②由①，得△ACE≌△ABD,∴.∠BAD=∠CAE, ∴·∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD= ∠BAC=60°. (2)如图，延长DB到点D',使 BD'=CD. ,△ABC是等边三角形， ∠BAC=60°，AB=AC. ∠ACD+∠ABD=180°，D方 ∠DBA+∠ABD'=180°，.∠ACD=∠ABD', ∴.△ABD'≌△ACD(SAS), .AD'=AD=4,∠DAC=∠BAD'. :∠DAC+∠BAD=60°， ∴.∠DAD'=∠BAD+∠BAD'=60°， △DAD是等边三角形. 要使△ABC的面积最小，等边三角形ABC的边长应 最短，即AB应为等边三角形DAD'的高线. 由题意可知，等边三角形DAD'的高线AB最短为 √4-2=23， △ABC的高=√(23)2-(W3)=3, :△ABC的面积的最小值是25×3×2=35， 第二章学业质量自我评价 1.C2.A3.D4.A 3 x≥ -a十3 5.C【解析)解不等式组4≤x-4'得 3 2x+2<x+6,x<4. ,不等式组有且只有5个整数解，得x=一1,0,1,2,3， .-2<a十3 3 ≤-1，.6≤a<9. 6.C【解析】当这列火车挂50节货厢时，设安排x节A 型货厢，则安排(50一x)节B型货厢. 依题金0动年得 x为正整数，∴x可以取28,29,30， ∴运输方案有3种. 7.3x+g>08.m<39.x<110.20<N<45 11.37.5<x<40【解析】依题意，得0,8x-一30≥30×10%， 0.9x-30<30×20%, 解得37.5≤x<40. 12.2或-1【解析】由①，得x>a-1:由②，得x≤5， ∴.不等式组的解集为a一1x≤5， ,所有整数解的和为14，分以下两种情况讨论： ①整数解为2,3,4,5， 此时1≤a一1<2，解得2≤a<3 a为整数，a=2; ②整数解为1,0,1,2,3,4,5， 下册参考答案 57Λ