解题技巧专题 构造三角形中位线的常见方法&作图技巧专题-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

解题技巧专题 构造三角形中位线的常见方法 题型① 连接两点构造三角形中位线 (2)如图②，AB=9,AC=5,求线段EF 1.如下图，在四边形ABDC中，AB=AC,DB 的长 ⊥AB,DC⊥AC,且E,F,G,H分别为AB, AC,CD,BD的中点 (1)求证：EH=FG. (2)若连接AD,BC交于点O,则AD,BC有 何关系？请说明理由. 题型③取第三边中点构造三角形中位线 3.如下图，在四边形ABCD中，AD=BC,E, F分别是边DC,AB的中点，FE的延长线 分别交AD,BC的延长线于点H,G.求证： ∠H=∠BGF. 题型②利用“角平分线十垂直”构造三角形 中位线 2.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC,BE⊥ AE于点E,F是BC的中点，连接EF, 图① 图② (1)如图①，BE的延长线与AC边相交于点 D,求证：EF=2AC-AB), 1104 八年级数学BS版 作图技巧专题 平行四边形中的无刻度直尺作图 题型①作点 4.如图，四边形ABCD是平行四边形.请仅用 1.(2025抚州期未)如图，BD为□ABCD的对 无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹， 角线.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求 不写作法). 画图（保留画图痕迹，不写画法） (1)在图①中作一条线段EF,将口ABCD的 (1)如图①，P为CD上任意一点，在AB上 面积平均分成两份， 找一点E,使AE=CP (2)在图②中过点E作一条线段MN,将 (2)如图②，P为BD上任意一点，在BD上 口ABCD的面积平均分成两份 找一点F,使BP=DF. 图① 图② 图① 图② 题型④作图形 题型② 作直线 5.(2025吉安期末)如图，在□ABCD中，AE 2.如图，已知等边三角形ABC和平行四边形 是∠BAD的平分线.请仅用无刻度的直尺 ACDE,CD=ED,B,C,D三点在同一直线 分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写 上.请仅用无刻度直尺完成下列作图（不写 作法). 作法，保留作图痕迹). (1)在图①中，以AD为腰作一个等腰三 (1)在图①中，作一条AB的平行线： 角形 (2)在图②中，作一条AE的平行线（与直线 (2)在图②中，以AE为边作口AECF. BD不重合). D 图① 图② 图① 图② 题型③作线段 6.如图，在□ABCD中，E是边BC的中点.设 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB= 口ABCD的面积为4，请仅用无刻度的直尺 2CD,E为AB的中点.请仅用无刻度的直尺分 分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写 别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）. 画法) (1)在图①中，画出△ABD的边BD上的中 (1)在图①中，画一个面积为2的平行四 线AF. 边形。 (2)在图②中，若BA=BD,画出△ABD的 (2)在图②中，画一个面积为1的平行四 边AD上的高BH. 边形 图① 图① 图② 图② 下册第六章 105.∠AFB=∠MFB. :BD是△ABC的外角平 分线， .∠ABF=∠MBF. 图① 在△ABF和△MBF中， ∠AFB=∠MFB, BF=BF, ∠ABF=∠MBF, .△ABF≌△MBF(ASA),∴.MB=AB,AF=MF. 同理可得△ACG≌△VCG(ASA), .CN=CA,AG=NG,.FG是△AMN的中位线， ∴FG=号MN=g(MB+iC+CN)=号aB+ic +AC). ()FG-(AB+AC-BC). 理由：如图②，分别延长AG,AF,与 直线BC分别交于H,I. ,同(1)可证△ABF≌△IBF .'IB=AB,AF=IF. BH 同理可得CH=AC,AG=HG, 图② FG=2HIH1=2FG, .BC=BI+CH-HI=AB+AC-2FG, 1 ∴.FG= (AB+AC-BC). 解题技巧专题构造三角形中位线的常见方法 1.解：(1)证明：如图，连接AD :E,H分别为AB,BD的中点， B ∴.EH是△BAD的中位线， D 1 ∴EH=2AD, 同理可得FG是△ACD的中位线， FG=号ADEH=RG (2)AD⊥BC且AD平分BC.理由如下： 如图，连接BC,交AD于点O :DB⊥AB,DC⊥AC,.∠ABD=∠ACD=90°. (AB=AC, 在R△ABD与R△ACD中，AD=AD, ∴.Rt△ABD≌Rt△ACD(HL), .∠BAD=∠CAD,.AD⊥BC且AD平分BC 2.解：(1)证明：AE平分∠BAC, .∠BAE=∠DAE. .BE⊥AE,∠AEB=∠AED=90° |∠BAE=∠DAE, 在△AEB和△AED中，AE=AE, ∠AEB=∠AED, ∴.△AEB≌△AED(ASA),∴.BE=DE,AB=AD. :F是BC的中点，∴BF=FC, EF-CD-(AC-AD)-7(AC-AM). (2)如图，分别延长BE,AC交于点H. 同(1)可证明△ABE≌△AHE, 438 八年级数学BS版 ..BE=EH.AH=AB=9. BE=EH,BF=FC, 1 EF-2CH- 2(AH-AC)= 1 ×(9-5)=2. 3.证明：如图，连接BD,取BD的中点 P,连接EP,FP E,F,P分别是DC,AB,BD的 中点， .EP是△BCD的中位线，PF是 △ABD的中位线， EP=2BC,EP∥BC,PF=2AD,PF∥AD, ∴∠H=∠PFE,∠BGF=∠FEP. AD=BC,.PF=PE, .∠PFE=∠PEF, ∴∠H=∠BGF. 作图技巧专题平行四边形中的无刻度直尺作图 1.解：(1)如图①，点E即为所求 (2)如图②，点F即为所求. 图① 图② 2.解：(1)如图①，直线CE即为所求 (2)如图②，直线FG即为所求 图① 图② 3.解：(1)如图①，线段AF即为所求. (2)如图②，线段BH即为所求. 图① 图② 4.解：(1)如图①，线段EF即为所求（答案不唯一）. (2)如图②，线段MN即为所求 0、 图① 图② 5.解：(1)如图①，△ADG即为所求， (2)如图②，□AECF即为所求 图② 6.解：(1)如图①，□CEFD即为所求. (2)如图②，□CEOF即为所求. D B E 图① 图② 解题技巧专题平行四边形的判定方法 1.证明：，∠DEF=∠CFG, ∴.AD∥BC,∴.∠D=∠DCF. ∠B=∠D,∴∠B=∠DCF, ∴.AB∥DC,∴.四边形ABCD是平行四边形. 2.解：四边形DEAF是平行四边形.理由如下： ,△ABE,△BDC都是等边三角形， ∴.BE=BA,BD=BC,∠EBA=∠DBC=60°. ∠DBE=60°-∠DBA,∠CBA=60°-∠DBA, ∴.∠DBE=∠CBA.在△DBE和△CBA中， BE=BA, ∠DBE=∠CBA, BD=BC, .△DBE≌△CBA(SAS),∴.DE=CA. 又：△ACF是等边三角形，.AC=AF,DE=AF. 同理可得EA=DF,∴四边形DEAF为平行四边形. 3.解：(1)证明：，两个直角三角板全等， ..AB=CD,AD=BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形. (2)示例：选择图①.如图，连接AC,与BD交于点O. ∠CBD=30°，∠CDB=90°， A CD=2BC=2X12=6, ∴.BD=√BC-CD=√12-6 63. ,四边形ABCD是平行四边形， 0D=28D=7×6g=35.Ac=20C 在Rt△CDO中，OC=√OD+CD=√W(33)2+6 =3√7，.AC=2OC=2X3√7=6√7. 4.解：(1)证明：D,E分别为AB,AC的中点，DE∥ BC.DE=BC.G,F分别为BH,CH的中点， GF/BC.GF-GF/DE.GF-DE, ·.四边形DEFG为平行四边形. (2):四边形DEFG为平行四边形，∴.DG=EF=2. DG⊥BH,∴.∠DGB=90°. BD=3,∴.BG=√BD-DG=W32-22=√5. 5.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AD=BC,∠B=∠D. .AF=CE,..AD-AF=BC-CE,DF=BE. AB=CD, 在△ABE与△CDF中，{∠B=∠D, BE=DF, .△ABE≌△CDF(SAS). (2)示例：添加AF=BE.理由如下： 如图，连接EF。 ,四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,即AF∥BE B 当AF=BE时，四边形ABEF是平行四边形. 6.解：(1)四边形ABCD是平行四边形 .AB=CD,AD∥BC,∴.∠DAE=∠AEB=60. .BE=CD,..AB=BE, △ABE是等腰三角形， ∴∠BAE=60°， ∴.∠BAD=∠BAE+∠DAE=120° (2)证明：：△ABE是等腰三角形，BF⊥AE, ..AF-EF. ∠DAF=∠CEF, 在△ADF和△ECF中，AF=EF, ∠AFD=∠EFC, ∴.△ADF≌△ECF(ASA),∴.DF=CF, 四边形ACED是平行四边形 7.证明：(1).∠AEO=∠CFO,AD∥BC. ,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形， ∴.AC,BD互相平分，即O是线段AC的中点. (2).ADBC,.∠EAC=∠FCA. 由(1)可知，0是线段AC的中点，∴.AO=C0. 「∠EAO=∠FCO, 在△OAE和△OCF中，AO=CO, ∠AOE=∠COF, .△OAE≌△OCF(ASA),.OE=OF, 四边形AFCE是平行四边形. 应用技巧专题巧构平行四边形解题 1.证明：如图，连接FB,DE .AB=DC,AD=BC, 四边形ABCD是平行四边形， ∴.FD∥BE 又AD=BC,AF=CE, ..AD-AF=BC-CE,FD=BE, .四边形FBED是平行四边形，∴.BO=OD 2.证明：如图①所示，过点E作EH ∥CF交BC于点H, ∴.∠3=∠C. h3. :∠BAC=90°，AD⊥BC, D H ∴.∠ABC+∠C=90°，∠ABD+ 图① ∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD, ∴∠3=∠BAD. BG平分∠ABC,∴.∠2=∠1. 在△ABE和△HBE中， ∠BAE=∠3， ∠2=∠1， BE=BE, ∴.△ABE≌△HBE(AAS),AE=HE. ,EF∥BC,EH∥CF, 四边形EHCF是平行四边形， ∴.HE=CF, ∴.AE=CF. 下册参考答案 39△