6.3 三角形的中位线-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

3 三角形 课内基础闯关 知识点①三角形中位线定理 1.（2025西安模拟)如图，在△ABC中，D为 AB的中点，H为AC上一点，连接BH, DH,E,F分别为BH,DH的中点，连接 EF.若EF=4,则AB的长为 ( A.5 B.8 C.16 D.2 B E D 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，D,E分别是直角边 AC,BC的中点，连接DE.若∠A=30°，则 ∠CED的度数是 ( ) A.70° B.60° C.30° D.20 3.如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O,E是边CD的中点，连接OE.若 ∠BCA=50°，则∠1的度数为 ( ) A.60 B.50° C.40° D.25° 第3题图 第4題图 4.如图，在△ABC中，M,N分别是AB和AC 的中点，连接MN,E是CN的中点，连接 ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC =4,则CD的长为 知识点②三角形中位线定理的应用 5.如图，A,B两点被池塘隔开， A,B,C三点不共线.设AC, BC的中点分别为M,N.若 N MN=3m,则AB=() 第5题图 A.4m B.6m C.8m D.10m 102 八年级数学BS版 的中位线 知识点③ 中点四边形 6.如下图，四边形ABCD的对角线AC和BD的 长分别为4和6，E,F,G,H分别是AB,BC, CD,AD的中点.求四边形EFGH的周长 H B 7.(教材变式)(1)如图①，在四边形ABCD中， E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中 点.求证：四边形EFGH是平行四边形 (2)如图②，在四边形ABCD中，M,N,E,F 分别为AD,BC,BD,AC的中点.求证：MN 与EF互相平分 图① 图② 已课外拓展提高 8.(教材变式)如图，在△ABC中，D,E,F分 别是BC,AC,AB的中点.若AB=6,BC= 8,则四边形BDEF的周长是 ( A.10 B.12 C.14 D.16 图① 图② 第8题图 第9题图 9.（2025白银)如图①，在等腰直角三角形 ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点. 动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀 速运动，运动到点B时停止.设点P的运动 路程为x,△APD的面积为y,y与x的函 数图象如图②所示.当点P运动到CB的中 点时，PD的长为 ) A.2 B.2.5 C.22D.4 10.（2025邵阳模拟)如下图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，D是边AC上一点，CD= 2AD,连接BD,E,F分别是BC,BD的中 点，连接AF,EF,DE (1)求证：四边形ADEF是平行四边形， (2)若BD=2AF,∠CED=∠BEF,AB= 3√10，求EF的长. 综合能力提升 --0 11.(1)如图①，BD,CE分别是△ABC的外角 平分线，过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂 足分别是F,G,连接FG.求证：FG= (AB+C+AC) (2)如图②，若BD,CE分别是△ABC的内 角平分线，过点A作AF⊥BD,AG⊥CE, 垂足分别是F,G,连接FG.猜想线段FG 与△ABC的三边的数量关系，并说明理由. 图② 知识要点归纳 1.连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于 第三边，且等于第三边的一半 下册第六章 103△②点F在点C的右侧时，AE=CF,则2(1+1)=2 一6，解得1=3 16 综上所述，当：的值为品攻时AE=CR, (2)AG∥BC,.AG与BC之间的距离处处相等， 当BF+AE<BC时，SAAr+S△AE<SaAc,则2' 8 +2(1+1)<6,解得i, 8 当0<1<时，SaAr十SaaE<S△Ac 10.解：(1)证明：：O是BD的中点， .SAAOB=S△AOD,S△=S△0C, 1 .SAB十S△e=S△A0D十S△C=2Sm边形AD, 1 ∴.S回边形A0=之S四边形AD, ∴.折线A-O-C能平分四边形ABCD的面积. 如图①，设AE交OC于点F. ·OE∥AC,.SAAOE=S△coE,.S△AoF=ScEF, 1 ∴.S国边形A0=S四边形AE，S因边形ABE=之S四边形ABCD' 直线AE平分四边形ABCD的面积，即直线AE是 “等积线”. 图① 图② (2)如图②，连接EF,过点A作EF的平行线交CD 于点G,作直线FG,则直线FG为一条“等积线”.理 由如下： AG∥EF,∴S△AGE=S△APG· 设AE与FG的交点是O,则SAAOF=S△cE, ∴.S网边形ABCE=S五边形FABCG, 由题意可知，S国边形AE=S△AED, ∴.S△AED=S五边形FAG,∴FG为一条“等积线”. 3三角形的中位线 1.C2.B3.B 4.2【解析】：M,N分别是AB和AC的中点，∴MN是 △AC的中位线∴MN=号BC=2.MN/BC.∠NME =∠D,∠MNE=∠DCE.,E是CN的中点，.NE=CE, ∴.△MNE≌△DCE(AAS),.CD=NM=2. 5.B 6.解：E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点， ∴HE=GF=7BD=号×6=8，HG=ER=号AC=司 ×4=2,∴.四边形EFGH的周长是2×3+2×2=10. 7.证明：(1)如图①，连接AC. E,F分别为AB,BC的中点， ∴.EF为△ABC的中位线， .EF/AC.EF-AC. 同理可得GH为△ADC的中位线， 六GH∥AC,GH=2AC,GH∥ 图① EF,且GH=EF, ∴.四边形EFGH是平行四边形 (2)如图②，连接ME,EN,NF,MF. M,N,E,F分别为AD,BC, BD,AC的中点，.ME∥AB, 且ME=2AB,NF∥AB,且 NF-TAB. 图2 .∴.ME∥NF,且ME=NF, .四边形MENF是平行四边形， ,MN,EF为□MENF的两条对角线， ∴.MN与EF互相平分. 8.C 9.A【解析】根据题意可得动点P从点A出发，沿边 AC→CB方向匀速运动过程中，△APD的面积先增 大，再减小.当点P运动到点C时，△APD的面积最 大，如图① 根据函数图象可得此时△APD的面积为4. :△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D为边 1 AB的中点S△c=2S△Ap=8=2AC,AC=4. C(P) B 图① 图② 当点P运动到CB的中点时，如图②. :D为边AB的中点，DP=AC=2. 10.解：(1)证明：，E,F分别是BC,BD的中点， .EF是△BCD的中位线， BF/CD,EF=CD,即CD=2EF .CD=2AD...AD=EF. 又ADEF,.四边形ADEF是平行四边形 (2).'四边形ADEF是平行四边形，CD=2AD, .DE=AF,AD=EF. AC∥EF,.∠C=∠BEF. ∠CED=∠BEF,∴.∠C=∠CED, ∴.CD=DE,∴.BD=2AF=2DE=2CD=4AD. 在Rt△ABD中，AD+AB=BD2, AB=3√10，∴.AD2+90=16AD2, ∴AD=√（负值已舍去），∴.EF=AD=√6. 11解：(1)证明：如图①，分别延长AF,AG,与直线BC 分别交于点M,N. AF⊥BD, 下册参考答案 37N .∠AFB=∠MFB. :BD是△ABC的外角平 分线， ∴∠ABF=∠MBF. 公 图① 在△ABF和△MBF中， ∠AFB=∠MFB, BF=BF. ∠ABF=∠MBF, ∴.△ABF≌△MBF(ASA),∴.MB=AB,AF=MF. 同理可得△ACG≌△NCG(ASA), .CN=CA,AG=NG,.FG是△AMN的中位线， FG=号MN-(NMB+iC+CN)-号AB+BC +AC). (2)FG-(AB+AC-BC). 理由：如图②，分别延长AG,AF,与 直线BC分别交于H,I, ,同(1)可证△ABF≌△IBF .'IB=AB,AF=IF. 同理可得CH=AC,AG=HG, BH 图② ∴FG=2HI∴HI=2FG, .BC=BI+CH-HI=AB+AC-2FG, G-(AB+AC-BC). 解题技巧专题构造三角形中位线的常见方法 1.解：(1)证明：如图，连接AD, :E,H分别为AB,BD的中点 ∴.EH是△BAD的中位线， D 1 :.EH-2AD. 同理可得FG是△ACD的中位线， FG=2AD∴EH=PG. (2)AD⊥BC且AD平分BC.理由如下： 如图，连接BC,交AD于点O. DB⊥AB,DC⊥AC,∴∠ABD=∠ACD=90°. 在R△ABD与R△ACD中，AD=AD, (AB=AC. ∴.Rt△ABD≌Rt△ACD(HL), .∠BAD=∠CAD,.AD⊥BC且AD平分BC 2.解：(1)证明：，AE平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠DAE :BE⊥AE,∴.∠AEB=∠AED=90 ∠BAE=∠DAE, 在△AEB和△AED中，AE=AE, ∠AEB=∠AED, .△AEB≌△AED(ASA),∴.BE=DE,AB=AD. ,F是BC的中点，∴BF=FC, -CD-2(AC-AD)-2(AC-AB). ·EF (2)如图，分别延长BE,AC交于点H. 同(1)可证明△ABE≌△AHE, 438 八年级数学BS版 .BE=EH.AH=AB=9. .BE=EH,BF=FC. 1 EF-2CH- 2(AH-AC)= ×(9-5)=2. 3.证明：如图，连接BD,取BD的中点 P,连接EP,FP :E,F,P分别是DC,AB,BD的 中点， .EP是△BCD的中位线，PF是 △ABD的中位线， ∴EP=2BC,EP∥BC,PF=2AD,PF∥AD, ∴∠H=∠PFE,∠BGF=∠FEP. AD=BC...PF=PE, ∴∠PFE=∠PEF, ∴∠H=∠BGF. 作图技巧专题平行四边形中的无刻度直尺作图 1.解：(1)如图①，点E即为所求 (2)如图②，点F即为所求 A 图① 32 2.解：(1)如图①，直线CE即为所求 (2)如图②，直线FG即为所求. 图① 图② 3.解：(1)如图①，线段AF即为所求. (2)如图②，线段BH即为所求. 图① 图② 4.解：(1)如图①，线段EF即为所求（答案不唯一） (2)如图②，线段MN即为所求. B E 图① 图② 5.解：(1)如图①，△ADG即为所求 (2)如图②，□AECF即为所求. 图②