第1章 三角形的证明及其应用章末对点导练-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

章未对 单元考点整合 考点① 多边形的内角和与外角和 1.图①所示的是一把木工台锯使用的六角尺， 它能提供常用的几种测量角度.在图②的六 角尺示意图中，x的值为 ( 135x (2x-120)° (x+9) 120°1260 图① 图② 第1题图 A.135 B.120 C.112.5D.112 2.如图，小明从点A出发，沿直 459 线前进8m后向左转45°，再 45 沿直线前进8m,又向左转 45°，….照这样走下去，他第 45」 一次回到出发点A时，共走路 第2题图 程为 A.80m B.96m C.64m D.48m 考点② 全等三角形 3.(2025抚州期中)如图，∠MBN是锐角，点 A在BM上，AB=4,点C在射线BN上，点 A到直线BN的距离为2.当AC=m时， △ABC的形状、大小唯一确定，则m的取值 范围是 A.2<m<4 B.m=2或m≥4 C.2≤m≤4 D.m=2或m>4 M 第3題图 第4题图 点导练 4.如图，∠ACB=90°，AC=CB,AE⊥CD于 点E,BD⊥CD于点D.若AE=5cm,BD= 2cm,则DE的长是 cm. 考点③等腰三角形的性质与判定 5.如图所示的是跷跷板示意图，支柱OC与地面 垂直，O是AB的中点，AB绕着点O上下转 动.若A端落地时，∠OAC=25°，则跷跷板上 下可转动的最大角度（∠A'OA)是(） A.45 B.50° C.60° D.75° D A 第5题图 第6题图 6.双空题如图，在四边形ABCD中，∠A= 90°，AB=AD=2√2，BC=CD=4. (1)∠ADC的度数是 (2)连接AC,则AC的长为 考点④直角三角形的性质与全等的判定 7.如图，在平面直角坐标系中，点A(一2,0)，B (2,0),点C从点O出发，在第一象限沿射线 y=√3x运动.当△ABC是直角三角形时， 点C的坐标为 0 B 第7题图 8.(2025赣州南康区期中)如下图，在△ABC 中，AC=BC,∠C=90°，AD是△ABC的角 平分线 (1)求证：AB=AC+CD, 下册第一章 31 (2)已知CD=4cm,求AC 的长 考点⑤线段的垂直平分线与角平分线 9.如图，在△ABC中，∠BAC=70°，O是AB, AC垂直平分线的交点，则∠CBO的度数为 () A.10° B.20°C.30° D.40° B 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，AB=AC=12cm,AC 的垂直平分线交AC于点N,交AB于点 M,连接MC,△BMC的周长是20cm.若 点P在直线MN上，则PA一PB的最大 值为 32 八年级数学BS版 11.一题多解法如下图，在△ABC中，∠B =90°. (1)尺规作图：作AC的垂直平分线交AC 于点E,交BC于点D,连接AD(保留作图 痕迹，不写作法，不用证明). (2)在(1)的条件下，若AD平分∠CAB.求 证：AC=2AB. 12.在△ABC中，AB=5,AC=3,点D在 ∠BAC的平分线所在的直线上. 图① 图② 图③ (1)如图①，当点D在△ABC的外部时，过 点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC交 AC的延长线于点F,且BE=CF. ①求证：AE=AF; ②求证：点D在BC的垂直平分线上； ③BE= (2)如图②，当点D在线段BC上时，若∠C =90°，BE平分∠ABC,交AC于点E,交 AD于点F,过点F作FG⊥BE,交BC于 点G,则∠DFG= (3)如图③，过点A的直线l∥BC.若∠C= 90°，BC=4,点D在△ABC内部，且点D 到△ABC三边的距离相等，则点D到直线 l的距离是 中考真题演练 13.（2025安徽）如图，在 △ABC中，∠A=120°， E AB=AC,边AC的中点为第13题图 D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE =3,则AC的长是 ( A.4√3B.6 C.23 D.3 14.(2025成都)如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=1,BC= 2.以点A为圆心，AB长为半径 作弧；再以点C为圆心，BC长为第14题图 半径作弧，两弧在AC上方交于点D,连接 BD,则BD的长为 15.(2025江西)图①是一种靠墙玻璃淋浴房， 其俯视示意图如图②所示，AE与DE两处 是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板， BC处是门框，测得AB=BC=CD= 60cm,∠ABC=∠BCD=135°，MN处是 一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M,V 分别在BC,CD对应的轨道上滑动.当点 N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合； 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至 最大，此时测得∠CNM=6°. (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①∠CMN的最小值为 ,最大值 为 ②△CMN面积的变化情况是 A.越来越大 B.越来越小 C.先增大后减小 (2)当∠CMN=30°时，求△CMN的面积. E P D N B M C 图① 图② 下册第一章 3△∴.∠CED=180°-72-36°=72°=∠EDC, ∴.CE=CD,∴.BC=BD+CD=AB+CE 1089 100p3 图① 图② (2)(1)中的结论不成立，有其他两条线段之和等于BC. 结论：BC=BE+AE. 证明：如图②，在BC上截取BF,使BF=BE;延长BA 至点H,使BH=BE.连接EF,HE,则易得△EBH≌ △EBF,∴.EF=EH. ∠BAC=100°，AB=AC, ,∴.∠EAH=80°，∠ABC=∠C=40° :BE平分∠ABC,∴.∠EBA=∠EBC=20°， ∠BFE=∠H=80°=∠EAH,∴AE=EH. ,∠BFE=∠C+∠FEC, .∠CEF=40°=∠C, ∴.EF=CF .BE=BF,CF=EF=AE, .∴.BC=BF+CF=BE+AE ☆问题解决策略：反思 1.解：(1)证明：，AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD AD⊥BC,.∠BDA=∠CDA=90°， ∴.∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°， .∠B=∠C,∴.AB=AC. (2)证明：如图①，延长BD交AC于 点E. AD平分∠BAC,AD⊥BD, 由(I)可得∠ABE=∠AEB,AB=AE, 图① ∴.BE=2BD. .AC-AB=2BD...AC-AE=BE. ∴.BE=CE,.∠C=∠EBC. ,∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC=2∠C, ∴.∠ABC=∠ABE+∠EBC=2∠C+∠C=3∠C. (3)如图②，延长MO交AB于点H, 延长NO交AB于点G. 由(1)可知，AM=AH,OM=OH,BN =BG,ON=OG. M '∠MON=∠GOH, CN 图② .∴.△MON≌△HOG(SAS), ,∴.MN=HG. .'AC=60m,BC=80m, .AB=√AC+BC=√60+80=100(m), ∴.△CMN的周长=CM+CN+MN=AC-AM+ BC-BN+GH=60-AH+80-BG+GH=140- AB=140-100=40(m), .需要40m的围栏才能将△CMN围成一圈. 2.解：(1)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半。 (2)OD十OE=OA.理由如下： 如图①，过点A作AG⊥OM于点G,AH⊥ON于 点H. ,OF是∠MON的平分线，∠MON= 12,i∠A0M=∠AON=号∠oN =60°，∴.∠GAO=∠HAO=30°， ..A0=2GO=2OH. :OF是∠MON的平分线，AG⊥ 图① OM,AH⊥ON, .AG=AH,∠GAH=60°=∠BAC, ∴.∠GAD+∠DAH=∠CAH+∠DAH, .∠GAD=∠CAH.又∠AGD=∠AHE=90°， ∴.△AGD≌△AHE(ASA),.GD=HE, ..OE+OD-OH+HE+OD-OH+GD+OD-OH +OG=OA. (3)OE-OD=OA.理由如下： M、 如图②，过点A作AG⊥OM于点 G,AH⊥ON于点H. EN ,OF是∠MON的平分线， 、H ∠MON=120°，∴.∠AOM= 1 ∠AON=2∠MON=60°， 图② ∴.∠GAO=∠HAO=30°， ∴.AO=2G0=2OH. ,OF是∠MON的平分线，AG⊥OM,AH⊥ON, ∴.AG=AH,∠GAH=60°=∠BAC, ∴.∠GAD+∠DAH=∠DAH+∠CAH, .∠GAD=∠CAH.又∠AGD=∠AHE=90°， ∴.△AGD≌△AHE(ASA),∴.GD=HE, ..OE-OD=OH+HE-OD=OH+GD-OD=OH +OG=0A. 或如图③，过点A作AG⊥OM于点G,AH⊥ON于点 H,同理可得，OD-OE=OA. 图③ 章未对点导练 1.C2.C3.B4.35.B 6.(1)105°(2)2√3+2 【解析】1)：∠A=90°，AB=AD=2√2， ∴.BD=√AB+AD=4,∠ADB=∠ABD=45. .BC=CD=4, .BC=CD=BD,即△BDC为等边三角形， ∴.∠CDB=60°， .∴.∠ADC=∠ADB+∠CDB=45°+60°=105°. (2)如图，连接AC,交BD于点E. :AB=AD=2√2，BC=CD=4,AC= AC,∴.△ADC≌△ABC(SSS), ∴.∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA, .AE⊥BD,CE⊥BD,BE=DE=2, .AE=√AD-DE=2,CE=DC2-DE=2√5， ∴.AC=CE+AE=23+2. 下册参考答案 13Λ 7.(1,W3)或(2,2√3)【解析】①当∠ACB=90°时，如图 ①，过点C作CD⊥OB于点D.设点C的坐标为(x, 3x),则OD=x,CD=3x.A(-2,0),B(2,0), ..OA=OB=2,..AD=2+x,BD=2-..AD*+ CD=AC2,BD*CD2=BC2,AC2 BC2=AB2, :.AD2+CD+BD*+CD2=AB2,(+) (5x)2+(2-x)+(3x)2=4,解得x=1(负值已 舍去)，.点C的坐标为(1，√)： 图① 图② ②当∠ABC=90时，如图②.把x=2代人y=√3x,得 y=2√5，∴BC=23,点C的坐标为(2,2√3) 综上所述，点C的坐标为(1，√3)或(2,2√3). 8.解：(1)证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E,则 ∠AED=∠C=∠BED=90°. .AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DC⊥AC. .DE=DC. 在Rt△EAD和Rt△CAD中， (AD=AD, DE=DC. ∴.Rt△EAD≌Rt△CAD(HL), ..AE=AC. ,AC=BC,∠C=90°，∠B=∠CAB=45 .∠EDB=∠B=45°，.EB=ED=CD, ∴.AB=AE+EB=AC+CD (2)'∠BED=90°，EB=ED=CD=4cm, ∴.BD=√EB2+ED=√4+4=4√2(cm), ..AC=BC=CD+BD=(4+42)cm, .AC的长为(4+4√2)cm. 9.B【解析】：O是AB,AC垂直平分线的交点， ∴.OB=OA=OC,..∠OAB=∠OBA,∠OAC ∠OCA,∠OBC=∠OCB. :∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA+∠OBC+ ∠OCB=180°， ∴.∠OAB+∠OAC+∠OBC=90° 又.∠OAB+∠OAC=∠BAC=70°， ∴.∠OBC=20°，即∠CB0的度数为20° 10.8cm【解析】在MN上取点P,连 接PA,PB,PC,如图.，MN垂直平 分AC,.MA=MC.又：C△Mc= BM+MC BC 20 cm,BM+ MC=BM+MA =AB =12 cm, .BC=20-12=8(cm). :MN垂直平分AC,点P在直线MN上， ..PA=PC..'.PA-PB=PC-PB. 在△PBC中，PC-PB<BC 当点P,B,C共线，即点P运动到与点P重合时，PC -PB有最大值，最大值为P'C-P'B=BC=8cm. 14 八年级数学BS版 11.解：(1)AC的垂直平分线DE如图所示. (2)证明：.DE为AC的垂直平分线， .DE⊥AC,AE=CE. ∠B=90°，.AB⊥BC. AD平分∠CAB,.DE=DB. 在R△ABD与R△AED中，AD=AD, .Rt△ABD≌Rt△AED(HL),.AB=AE, ∴.AC=2AE=2AB. 》一题多解法《 (2)证明：在△ABC中，∠B=90°， ∴.∠C+∠CAB=90. DE垂直平分AC, .DC=DA,∠C=∠CAD. AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD. :∠C+∠CAD+∠BAD=90°， ∴.3∠C=90°，∴.∠C=30°，.AC=2AB 12.解：(1)①证明：，点D在∠BAC的平分线所在的直 线上，DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF,∠AED=∠AFD=90°. 在Rt△ADE和Rt△ADF中， (AD=AD, DE=DF. ∴.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴.AE=AF. ②证明：连接BD,CD,如图①. 在△BDE和△CDF中， BE=CF, ∠BED=∠CFD, DE=DF. .△BDE≌△CDF(SAS), ① BD=CD,·点D在BC的垂直平分线上 ③1 (2)459 (3)2 【解析】(2)，BE平分∠ABC,AD平分∠BAC,∠C =90.7∠ABC+号∠BAC=专×90=45，即 1 ∠ABF+∠BAF=45°，∴.∠DFB=∠ABF+∠BAF =45°.FG⊥BE,∴.∠BFG=90°，∴.∠DFG=90° ∠DFB=45°. (3)当点D在△ABC内部时，如图②. 设点D到三边的距离为h. :SAAx=2AC·BC=2AB·h 号ACh+号BCh 1 .3×4=(3+4+5)·h,解得h=1, 图② 点D到直线I的距离是AC-h=3-1=2. 13.B【解析】在△ABC中，AB=AC,∠A=120°， ∠C=180°-120 =30°. 2 :D是AC中点，∴AC=2CD.:ED⊥AC, .△EDC是直角三角形，且∠C=30°，.EC=2DE. :DE=√3，∴EC=23.在Rt△EDC中，EC2=DE +CD2,..CD=/EC-DET=3,..AC=2CD=6. 1446 【解析】连接AD,CD,AC与 BD相交于O,如图. 根据作图过程，得AD=AB,CD =CB, .AC垂直平分BD,则AC⊥BD,OB=OD. :在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1,BC=2, .AC=VWAB+BC=√1+2=√5. 由Se=7AB·BC=号AC·0B得 0=AB·BC1×2一25，BD=2OB=4v AC 5 5 15.解：(1)①0°39°②C (2)如图，过点N作VG⊥BC的 延长线于点G. 当∠CMN=30时，NG=2MN D =30cm,.MG=√MN-NG =30√5cm.:∠NCG=180° B M ∠BCD=45°，∴.∠CNG=∠NCG=45°， .'.CG=NG=30 cm, ..MC=MG-CG=(303-30)cm, 1 SAcN=。CM·NG三，(303=30)X3 (450√3-450)cm2. 第二章不等式与不等式组 1不等式及其基本性质 第1课时不等关系 1.A2.C3.C4.A 5.(1)x-2<10(2)a-3>b+46.B 7.解：(1)16x+18(6-x)≥100 (2)800.x+850(6-x)≤5000 第2课时不等式的解集 1.C2.A3.4(答案不唯一)4.D 5.(1)x<-1(2)x≥-2(3)x≤66.C 7.解：(1)正确. 理由：当x=2时，x一2=0，不等式x一2>0不成 立，.x=2不是它的解. (2)错误. 理由：，该不等式的解集为x<5, .x=2是它的一个解，但不是全部解. 8.解：(1)如图所示. (2)如图所示. -2-012一 第3课时不等式的基本性质 1.D2.D3.不正确当a<0时，a>2a4.C 5.1(答案不唯一) 变式题a<-2【解析】，不等式(a十2)x<1两边同 时除以(a十2)，得x> a十2心a+2<0,…a的取值范 围为a<-2. 6.D 7.A【解析】由图可知，a<b.A.一3a<一3b,原不等式 左右两边同乘一3，不等号的方向应该发生改变，∴不 等式不成立，故A选项符合题意；B.a十3<b十3，原不 等式左右两边同加3，不等号的方向不发生变化，.不 等式成立，故B选项不符合题意：C号<名，原不等式 左右两边同乘？，不等号的方向不发生变化，“不等式 成立，故C选项不符合题意；D.a一d<b一d,原不等 式左右两边同时减去同一个代数式，不等号的方向不 发生变化，.不等式成立，故D选项不符合题意 8.解：(1)x十3<一1，两边都减3，得x<一4. 将不等式的解集在数轴上表示如图所示 -6-5-4-3-2-10 (2)3x>27,两边都除以3，得x>9. 将不等式的解集在数轴上表示如图所示 03691215一 （3)一专>2，两边都乘-3，得x<-6. 将不等式的解集在数轴上表示如图所示. -7-6-5-4-3-2-10 2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 1.A2.-13.B 1 4.C【解析】：点P在第二象限，2m-1<0,即m< 5.解：号<x+1, 去分母，得x一1<2(x+1), 去括号，得x-1<2x十2， 移项、合并同类项，得一x<3, 系数化为1，得x>-3. 将不等式的解集在数轴上表示如图所示. -30 6.C 变式题C【解析】：3是关于x的不等式号+2m< 一3的一个解，∴.1十2m<-3,解得m<一2，.m可 取的最大整数是一3. 7.C【解析】由2x一5≤2a+1,得x≤a十3. 下册参考答案 15个