模型构建专题 构造等腰三角形的常见方法-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

模型构建专题 构造等腰三角形的常见方法 题型① 作平行线构造等腰三角形 题型② 作倍角的平分线构造等腰三角形 1.如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,BD 3.如下图，在△ABC中，∠ACB=2∠B,BC= 平分∠ABC,交AC于点D,AE⊥BD,垂足 2AC.求证：∠A=90° 为E.求证：AC=2BE. 题型③延长法构造等腰三角形 4.如下图，在四边形ABCD中，AB∥DC,E是 BC的中点，∠BAE=∠EAF,AF与DC的 延长线相交于点F.探究线段AB与AF,CF 2.如下图，BD平分∠ABC交AC于点D,E 之间的数量关系，并证明你的结论. 为CD上一点，且AD=DE,EF∥BC,EF 交BD于点F.求证：AB=EF. 下册第一章 27 5.如下图，D是BC的中点，点A在线段GD7.如图，在△ABC中，AB=AC,BE平分 上.如果∠1=∠2，求证：AB=GC. ∠ABC交AC于点E. (1)如图①，当∠BAC=108°时，求证：BC= AB+CE. 108oE 图① 题型④利用截长补短法构造等腰三角形 (2)如图②，当∠BAC=100°时，（1)中的结 6.如下图，在△ABC中，∠ABC<60°，CD平 论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成 分∠ACB,交AB于点D,点E在线段CD 立，是否有其他两条线段之和等于BC?若 上（点E不与点C,D重合），且∠EAC= 有，请写出结论并完成证明. 2∠EBC.求证：AE+AC=BC. 100E 图② 28 八年级数学BS版.∠FEM=∠BAC+∠ACE=30°+45°=75°， :AD平分∠BAC.∠BAD=2∠BAC=15, .∠FDN=∠B+∠BAD=60°+15°=75°， ∴.∠FEM=∠FDN. :∠BAC,∠BCA的平分线AD,CE交于点F, 点F在∠B的平分线上. 又FM⊥AB,FN⊥BC,.FM=FN, .△FEM≌△FDN(AAS),∴.FE=FD. 8.解：(1)如图，连接OA,OB,OC,OD 根据角平分线的性质可得点O到四边形 的四条边的距离相等，设这个距离为r. S=SAAOB SABO +SACOD SANOD= 1 1 2r+2r+ 2(a+b+ c十d)r, 2S .r= a+b+c+d' 2S 故点0到四边形四条边的距离均为。+b十c十d 【解析】(2)：AB∥CD,.SAABD:S△n=AB：CD= 21:11. 2S△ABD =AB+BD+AD 2S△ABD 54 27，r2 2SACDH CD+CB+DB 44 27 2221×2214 22 2≥02XS=27X11 27 模型构建专题构造等腰三角形的常见方法 1.证明：如图，过点A作AF∥BC,交 BD的延长线于点F,.∠F= ∠DBC,∠FAD=∠C.:∠ABC =2∠C,BD平分∠ABC, .∠ABD=∠DBC=∠C,.∠F=∠FAD ∠ABD,BD=CD,∴AD=DF,AB=AF.AE⊥ BD,BE-EF-7 BF.AC-AD+CD-DF+ BD=BF,.'.AC=2BE. 2.证明：如图，过点A作AG∥EF,交 1八…G BD的延长线于点G,则∠G= ∠EFD.在△ADG和△EDF中， ∠G=∠EFD, ∠ADG=∠EDF, AD-ED. .△ADG≌△EDF(AAS),∴.AG=EF. :AG∥EF,BC∥EF,∴.AG∥BC,∴∠G=∠CBG. ,BD平分∠ABC,.∠ABG=∠CBG,∴.∠ABG= ∠G,∴.AB=AG,.AB=EF. 3.证明：如图，过点C作∠ACB的平分 线交AB于点D,过点D作DE⊥ BC,垂足为E,则∠ACB=2∠BCD 12 八年级数学BS版 =2∠ACD. :∠ACB=2∠B,∠B=∠BCD, △DBC是等腰三角形. ,DE⊥BC,∴.∠DEC=90°，BC=2EC=2BE. 又BC=2AC,.AC=EC. AC=EC, 在△ACD和△ECD中，∠ACD=∠ECD, DC=DC, .△ACD2△ECD(SAS),.∠A=∠DEC=90°. 4.解：AB=AF+CF, 证明：如图，分别延长DF, AE,交于点G. E :AB∥DC,.∠BAE=∠G. 又∠BAE=∠EAF, ∠G=∠EAF,AF=GF. :E是BC的中点，∴.BE=CE (∠BAE=∠G, 在△ABE和△GCE中，∠AEB=∠GEC, BE=CE, .△ABE2△GCE(AAS),∴.AB=GC .AB=GF+CF=AF+CE. 5.证明：如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接CE. D是BC的中点，.BD=CD G 在△ABD和△ECD中， A AD-ED, 1 ∠ADB=∠EDC, BD=CD. D ∴.△ABD≌△ECD(SAS), E .∠E=∠1，AB=EC. :∠1=∠2，∠2=∠E,.GC=EC,AB=GC. 6.证明：如图，在CB上截取CF,使CF=AC,连接EF. :CD平分∠ACB, ∴∠ACE=∠FCE. 在△ACE和△FCE中， (CA=CF, ∠ACE=∠FCE, CE=CE, ∴.△ACE≌△FCE(SAS), ∠EAC=∠EFC,AE=FE. ,∠EAC=2∠EBC,∴∠EFC=2∠EBC. :∠EFC=∠EBC+∠FEB, ∠EBC=∠FEB,∴FB=FE. AE=FE,..AE=FB, ..AE+AC=FB+FC=BC. 7.解：(1)证明：如图①，在BC上截取BD,使BD=BA, 连接DE. :BE平分∠ABC,∠ABE=∠CBE. BA=BD. 在△BEA和△BED中，∠ABE=∠DBE, BE=BE, .△BEA≌△BED(SAS),.∠BDE=∠A=108°， .∠EDC=180°-108°=72°. .AB=AC,.∠C=∠ABC=36°， .∠CED=180°-72°-36°=72°=∠EDC, ..CE=CD,.BC=BD+CD=AB+CE. 1089 100° 图① 图② (2)(1)中的结论不成立，有其他两条线段之和等于BC. 结论：BC=BE+AE. 证明：如图②，在BC上截取BF,使BF=BE;延长BA 至点H,使BH=BE.连接EF,HE,则易得△EBH≌ △EBF,∴EF=EH. ∠BAC=100°，AB=AC, ∴∠EAH=80°，∠ABC=∠C=40. :BE平分∠ABC,∴∠EBA=∠EBC=20°， ∠BFE=∠H=80°=∠EAH,AE=EH. ,∠BFE=∠C+∠FEC, ∴.∠CEF=40°=∠C, ∴.EF=CF. BE=BF,CF=EF=AE, .BC=BF+CF=BE+AE. ☆问题解决策略：反思 1.解：(1)证明：，AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD. .AD⊥BC,..∠BDA=∠CDA=90°， ∴.∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90, .∠B=∠C,∴.AB=AC. (2)证明：如图①，延长BD交AC于 点E. ,AD平分∠BAC,AD⊥BD, 由(1)可得∠ABE=∠AEB,AB=AE 图① ∴.BE=2BD. .AC-AB=2BD,..AC-AE=BE, BE=CE,∴∠C=∠EBC. ∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC=2∠C, ∴.∠ABC=∠ABE+∠EBC=2∠C+∠C=3∠C. (3)如图②，延长MO交AB于点H,A 延长NO交AB于点G. 由(1)可知，AM=AH,OM=OH,BN =BG,ON=OG. :∠MON=∠GOH, CN 图② .△MON≌△HOG(SAS), ∴.MN=HG. .AC=60 m,BC=80 m, ∴.AB=√AC+BC=√602+80=100(m), .△CMN的周长=CM+CN+MN=AC-AM+ BC-BN+GH=60-AH+80-BG+GH=140- AB=140-100=40(m), .需要40m的围栏才能将△CMN围成一圈. 2.解：(1)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半， (2)OD十OE=OA.理由如下： 如图①，过点A作AG⊥OM于点G,AH⊥ON于 点H. ,OF是∠MON的平分线，∠MON= 12mi∠A0M=∠AON=:∠0N E N =60°，.∠GAO=∠HAO=30, O H ∴.A0=2G0=20H. :OF是∠MON的平分线，AG⊥ 图① OM,AH⊥ON, ∴AG=AH,∠GAH=60°=∠BAC, ∴∠GAD+∠DAH=∠CAH+∠DAH, ∴.∠GAD=∠CAH.又：∠AGD=∠AHE=90°， ∴.△AGD≌△AHE(ASA),.GD=HE, ..OE+OD=OH+HE+OD=OH+GD+OD-OH +OG=OA. (3)OE一OD=OA.理由如下： M 如图②，过点A作AG⊥OM于点 G,AH⊥ON于点H. :OF是∠MON的平分线， ∠MON=120°，∴.∠AOM= 1 ∠AON=2∠M0N=60°， 图② ∴.∠GAO=∠HAO=30°， ∴.AO=2GO=2OH. .OF是∠MON的平分线，AG⊥OM,AH⊥ON, ∴.AG=AH,∠GAH=60°=∠BAC, ∴.∠GAD+∠DAH=∠DAH+∠CAH, .∠GAD=∠CAH.又：∠AGD=∠AHE=90°， .△AGD≌△AHE(ASA),.GD=HE, ..OE-OD=OH+HE-OD=OH+GD-OD=OH +OG=OA. 或如图③，过点A作AG⊥OM于点G,AH⊥ON于点 H,同理可得，OD-OE=OA. B -N 图③ 章末对点导练 1.C2.C3.B4.35.B 6.(1)105°(2)23+2 【解析】(1)∠A=90°，AB=AD=2√2， .BD=√AB+AD=4,∠ADB=∠ABD=45. .BC=CD=4, .BC=CD=BD,即△BDC为等边三角形， ∴.∠CDB=60°， ∴.∠ADC=∠ADB+∠CDB=45°+60°=105°. (2)如图，连接AC,交BD于点E. .'AB=AD=2√2，BC=CD=4,AC= AC,..△ADC≌△ABC(SSS), ∴.∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA, ∴AE⊥BD,CE⊥BD,BE=DE=2, ∴AE=√AD-DE=2,CE=√DC-DE=2√3， .AC=CE+AE=2√3+2. 下册参老答案 13