1.5.2 三角形三条角平分线的性质-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

∴.∠ACE=∠ACD-∠ECH=74°-37°=37°. (2)证明：如图，过点E分别作EM⊥BF于点M,EN ⊥AC于点N. :BE平分∠ABC,.EM=EH. :∠ACE=∠ECH=37°， CE平分∠ACD,∴.EN=EH, .EM=EN,.AE平分∠CAF. (3).AC+CD=16,SAACD=24,EM=EN=EH, Saam=Sae+Ssam=2AC·EN+2CD·EH -号(AC+CD)·EM=号×16EM=24,解得EN 1 =3. AB=10,.S△ABE=2AB·EM=15. 10.解：(1)证明：，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB, ∠C=90°，.CD=DE.在Rt△FCD和Rt△BED (DF=DB, 中，CD=ED: .Rt△FCD≌Rt△BED(HL). (2)AB-AF=2BE.证明如下： 如图，过点D作DG⊥AC于点G. AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DG⊥AC, ∴.DG=DE. (DF=DB, 在Rt△FGD和Rt△BED中，DG=DE, ∴.Rt△FGD≌Rt△BED(HL), ∴.FG=BE.在Rt△AGD与Rt△AED DG=DE, 中，AD=AD, .Rt△AGD≌Rt△AED(HL), .∴.AG=AE,∴.AB-AF=AB-(AG FG)=AB-(AE-BE)=AB-AE+BE=BE+ BE=2BE. 第2课时三角形三条角平分线的性质 1.C2.A 3.2【解析】：∠ACB=90°，AC=5,BC=12, ∴.AB=V√AC+BC=13. ,O是△ABC三条角平分线的交点， .点O到三边的距离相等，设这个距离为h. 由SAABC=S△A0e+S△AOB十S△B0C,得 AC·BC=2AC·A+了ABA+号BCA 即AC·BC=h(AC+AB+BC), AC·BC 5×12 ·h=AC+AB+BC5十13十12=2.故点0到AB 的距离是2. 变式题解：如图，过点O分别作OD⊥AB,OE⊥BC, OF⊥AC,垂足分别为D,E,F. :△ABC的三条角平分线交于点O, ..OD=OE=OF. AB=10,BC=15,AC=20, ,∴.S△ABo:S△o:S△ca0 -AB.OD C OE :AC OF-AB C AC=10:15:20=2:3:4. 4.解：(1)130 (2)如图，过点O分别作OD⊥AB 于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥BC 于点F,连接AO. ∠ABC=60°，BO平分∠ABC, 1 ∠0BD=30°，.0D=20B=2. ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, ∴.OD=OF=OE=2. ,△ABC的周长为32，∴.AB+AC+BC=32, ∴.S△ABC=S△AB+S△Ax+S△Kx =号AB·0D+号AC·0E+号BC·0F 1 1 =号AB2+日AC2+28C.2 =AB+AC+BC =32. 【解析】(1)，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, ∠ABC=60°，∠ACB=40°， .∠OBC=30°，∠OCB=20°， ∴.∠B0C=180°-(30°+20°)=130°. 5.解：如图，连接AO,B0,C0. 根据勾股定理，得AB=√8十6= 10(m).设点O到三边的距离为h, 则S△A=2×8X6=2X(8+6+ 10)h,解得h=2. 故输油中心O到三条支路的管道总长为3×2=6 (m). 6.3 7.解：(1)FE=FD (2)成立.理由如下： 如图①，过点F作FM⊥AB于点M, FN⊥BC于点N,则∠FME=∠FND =90°.易得FM=FN. A :∠FDN=∠B+∠BAD=60°+ 图① 1 ∠BAC,∠FEM=∠BAC+∠ACE =∠BAC+2(180°-∠B-∠BAC)=60°+ 号∠BAC, ∴.∠FEM=∠FDN, .△FEM≌△FDN(AAS),.FE=FD. 【解析】(I)如图②，过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥ BC于点N,则∠FME=∠FND=90°. :CE是∠BCA的平分线， ∠ACB=90°，∠B=60°， ∴.∠BAC=90°-∠B=30°， ∠ACE=2∠ACB=45, 图② 下册参考答案 11个 .∠FEM=∠BAC+∠ACE=30°+45°=75°， :AD平分∠BAC.∠BAD=2∠BAC=15, .∠FDN=∠B+∠BAD=60°+15°=75°， ∴.∠FEM=∠FDN. :∠BAC,∠BCA的平分线AD,CE交于点F, ∴点F在∠B的平分线上. 又FM⊥AB,FN⊥BC,.FM=FN, .△FEM≌△FDN(AAS),.FE=FD. 8.解：(1)如图，连接OA,OB,OC,OD 根据角平分线的性质可得点O到四边形 的四条边的距离相等，设这个距离为r. S=SAAOB SABO +SACOD SANOD= 1 1 2r+2r+ 2d 2(a+b+ c十d)r, 2S .r= a+b+c+d" 2S 故点0到四边形四条边的距离均为。十b十c十d @片 【解析】(2)：AB∥CD,.SAABD:S△n=AB：CD= 21:11. 2S△ABD =AB+BD+AD 2S△ABD SABD 54 27，r2= 2SACDH 2S△e22,=SAAD CD+CB+DB 44 27 2221×2214 22 e=7XSAD=27X11号 27 模型构建专题构造等腰三角形的常见方法 1.证明：如图，过点A作AF∥BC,交 BD的延长线于点F,∠F= ∠DBC,∠FAD=∠C.:∠ABC =2∠C,BD平分∠ABC, .∠ABD=∠DBC=∠C,.∠F=∠FAD ∠ABD,BD=CD,∴AD=DF,AB=AF.AE⊥ BD,BE=EF=BF.AC=AD+CD=DF+ BD=BF,.'.AC=2BE. 2.证明：如图，过点A作AG∥EF,交 1…G BD的延长线于点G,则∠G= ∠EFD.在△ADG和△EDF中， ∠G=∠EFD, ∠ADG=∠EDF, AD-ED. .△ADG≌△EDF(AAS),∴.AG=EF. :AG∥EF,BC∥EF,∴.AG∥BC,∴.∠G=∠CBG. ,BD平分∠ABC,.∠ABG=∠CBG,∴.∠ABG= ∠G,∴.AB=AG,.AB=EF. 3.证明：如图，过点C作∠ACB的平分 线交AB于点D,过点D作DE⊥ BC,垂足为E,则∠ACB=2∠BCD 12 八年级数学BS版 =2∠ACD. ,∠ACB=2∠B,∠B=∠BCD, ∴△DBC是等腰三角形. ,DE⊥BC,∴.∠DEC=90°，BC=2EC=2BE. 又BC=2AC,AC=EC. AC=EC, 在△ACD和△ECD中，∠ACD=∠ECD, DC=DC, .△ACD≌△ECD(SAS),.∠A=∠DEC=90. 4.解：AB=AF+CF, 证明：如图，分别延长DF, AE,交于点G. E :AB∥DC,.∠BAE=∠G. 又∠BAE=∠EAF, ∠G=∠EAF,.AF=GF. :E是BC的中点，.BE=CE (∠BAE=∠G, 在△ABE和△GCE中，∠AEB=∠GEC, BE=CE, .△ABE2△GCE(AAS),,∴.AB=GC .AB=GF+CF=AF+CE. 5.证明：如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接CE. D是BC的中点，.BD=CD G 在△ABD和△ECD中， (AD=ED, A 1 ∠ADB=∠EDC, BD=CD. D ∴.△ABD≌△ECD(SAS), E .∠E=∠1，AB=EC ∠1=∠2，∠2=∠E,.GC=EC,AB=GC. 6.证明：如图，在CB上截取CF,使CF=AC,连接EF ,CD平分∠ACB, ∠ACE=∠FCE. 在△ACE和△FCE中， (CA=CF, ∠ACE=∠FCE, CE=CE, ∴.△ACE≌△FCE(SAS), ∠EAC=∠EFC,AE=FE. ,∠EAC=2∠EBC,∠EFC=2∠EBC. ,∠EFC=∠EBC+∠FEB, ∠EBC=∠FEB,∴FB=FE. .AE=FE,..AE=FB, ..AE+AC=FB+FC=BC. 7.解：(1)证明：如图①，在BC上截取BD,使BD=BA, 连接DE. :BE平分∠ABC,∠ABE=∠CBE. BA=BD. 在△BEA和△BED中，∠ABE=∠DBE, BE=BE, .△BEA≌△BED(SAS),.∠BDE=∠A=108°， .∠EDC=180-108°=72°. .AB=AC,.∠C=∠ABC=36°，第2课时三角形 课内基础闯关 知识点①三角形三条角平分线的性质 1.已知P是△ABC中∠A与∠B的平分线的 交点，则下列说法正确的是 A.点P到三个顶点的距离相等 B.点P到三边中点的距离相等 C.点P到三边的距离相等 D.以上说法都不正确 2.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平 分线交于点O,AB=12cm,BC=9cm.若 △ABO的面积为18cm2,则△BOC的面积 为 A.13.5cm B.18 cm2 C.24 cm2 D.27 cm2 第2题图 第3题图 3.原创题如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O 是△ABC三条角平分线的交点，AC=5,BC= 12,则点O到AB的距离是 变式题如下图，已知△ABC的三边AB, BC,AC长分别是10,15,20，其三条角平 分线交于点O.求S△AB0:S△BCO：S△CA0 的比例 三条角平分线的性质 4.如下图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的 平分线相交于点O,且∠ABC=60°. (1)若∠ACB=40°，则∠BOC的度数为 (2)若OB=4,且△ABC的周长为32，求 △ABC的面积. 知识点②三角形角平分线性质的应用 5.下图所示的是某油路管道的一部分，延伸外 围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角 边AC,BC的长分别为6m和8m.已知输 油中心O到三条支路的距离相等，求输油中 心O到三条支路的管道总长（计算时视管道 为线段). 下册第一章 (25△ 已课外拓展提高 6.(教材变式)如图，O是△ABC的 两外角平分线的交点.有下列结 论：①OB=OC;②点O到AB, AC的距离相等；③点O到△ABC 第6题图 的三边所在直线的距离相等；④点O在∠A 的平分线上.其中正确的个数是 7.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B =60°，AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平 分线，相交于点F. (1)FE与FD之间的数量关系为 (2)如图②，如果∠ACB不是直角，其他条 件不变，(1)中所得结论是否仍然成立？请 说明理由. 综合能力提升 8.角平分线上的点到这个角的两边的距离相 等.这一性质在解决图形面积问题时有妙 用.如图①，在面积为S的△ABC中，BC= a,AC=b,AB=c,三条角平分线的交点O 到三边的距离为r.连接OA,OB,OC,将 △ABC划分为三个小三角形. 26 八年级数学BS版 'S=SAOBC+SAOAC +SAOAB = 2BC·r+ 1 2AC·r+2AB·r=2(a+b+c)·r,r 2s a+b+c 【类比推理】(1)若面积为S的四边形ABCD 的四条角平分线交于点O,如图②，且AB= a,BC=b,CD=c,AD=d.求点O到四边 形四条边的距离。 【理解应用】(2)如图③，在四边形ABCD中， AB//DC,AB=21,CD=11,AD=BC=13, 对角线BD=20,点O1,O2分别为△ABD 与△BCD的三条角平分线的交点.设它们 到各自三角形三边的距离为r1和r2,则 2 的值为 b 图① 图② 图③ 知识要点归纳 三角形三条角平分线的性质：三角形的三条角平 分线交于一点，并且这一，点到三条边的距离 相等