1.5.1 角平分线的性质与判定-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

5 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 已课内基础闯关 4.(2025吉安月考)如下图，已知AE平分 知识点①角平分线的性质 ∠FAC,EF⊥AF,∠AGE=90°，DE是BC 的垂直平分线.求证：BF=CG 1.(教材变式)如图，OP平分∠AOB,PA⊥ OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论 不一定成立的是 ) A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP 第1题图 第2题图 2.(2025合肥瑶海区月考)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半 径画弧，分别交AB,AC于点D,E,再分别 知识点② 角平分线的判定 以点D,E为圆心，大于DE长为半径画 5.如图，点O在一块直角三 弧，两弧交于点F,作射线AF交边BC于点 角板ABC上，其中∠ABC G.若AC=3,AB=5,则CG:BG=( =30°，OM⊥AB于点M, ON⊥BC于点N,连接 第5题图 A.3:4 B.4:5 OB.若OM=ON,则∠ABO的度数是 C.3:5 D.无法确定 ( 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥ A.10° B.15° C.20° D.30° AB.若AC=2,DE=1,则S△ACD的值为 6.如下图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. 若BD=CD,BE=CF,求证：AD平 分∠BAC. 第3题图 变式题图 变式题如图，D,E,F分别是△ABC三边 上的点，AD平分∠BAC,CE=BF.若 △DCE的面积为4，则△DBF的面积为 下册第一章 23 巴课外拓展提高 巴综合能力提升 7.一题多解法如图，∠B=∠C=90°，M是 10.类比思想如图，在△ABC中，AD是△ABC BC的中点，DM平分∠ADC,且∠ADC= 的角平分线，DE⊥AB于点E,点F在边AC 120°，BC=20cm,则AM的长为 ( 上，且BD=DF A.20 cm B.10 cm C.5 cm D.15 cm (1)如图①，若∠C=90°，求证：△FCD ≌△BED. (2)如图②，若∠C<90°，试探究线段AB, AF,BE之间的数量关系，并给出证明. 第7题图 第8题图 8.如图，在锐角三角形ABC中，AB= 2, ∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点 图① 图② D,M,N分别是AD和AB上的动点，则 BM+MN的最小值是 9.如下图，在△ABC中，点D在边BC延长线 上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线BE交 AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为 H,且∠CEH=53°. (1)求∠ACE的度数. (2)求证：AE平分∠CAF (3)若AC十CD=16,AB=10,且SAACD= 24,则△ABE的面积. 知识要点归纳 1.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。 2.角平分线的判定：在一个角的内部，到角的两 边距离相等的点在这个角的平分线上 424 八年级数学BS版△AMN的周长为12，.AM+AN+MN=12, .BM+MN+CN=12,BC=12. 在四边形ADFE中，∠ADF+∠DAE+∠AEF十 ∠DFE=360°. :∠ADF=∠AEF=90°，∠DAE=120°，∴.∠DFE= 360°-90°-90°-120°=60°，即∠AFD+∠AFE=60°. :AF=BF,FD⊥AB, ∠BFD=∠AFD. 同理，∠CFE=∠AFE, ,∴.∠BFC=∠BFD+∠AFD+∠AFE+∠CFE= 2(∠AFD+∠AFE)=120° :OF垂直平分BC, OB=号BC=6,∠OFB=∠OPC=?∠BFC =60°， .∠OBF=90°-∠OFB=30°， ∴.BF=2OF. .OB2+OF2=BF2, .62+OF2=4OF2,解得OF=23, ..AF=BF=20F=43. ,OA≥AF-OF=25, 且当点A在FO的延长线上时，上式等号成立， .OA的最小值为23 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 1.D 2.C【解析】如图，过点G作GH ⊥AB于点H. 由尺规作图可知，AG是△ABC 的角平分线. ∠C=90°，GH⊥AB, ∴.GH=CG, SAANG 2AB·GH= 2AB·CG=2BG·AC, GG35. 3.1 变式题4【解析】如图，过点D分别作DG⊥AC,DH ⊥AB,垂足分别为G,H. ,点D在∠BAC的平分线上， ∴.DG=DH. 1 :S△E=2CE·DG=4,Saw= ·DH,CE=BF, .S△DBr=SACE=4. 4.证明：如图，连接BE,CE. :AE平分∠FAC,EF⊥AF, ∠AGE=90°， ∴.EF=EG :DE是BC的垂直平分线， ..BE=EC. 在Rt△BEF和Rt△CEG中， 10 八年级数学BS版 (EF=EG, BE=CE, .Rt△BEF≌Rt△CEG(HL), ∴.BF=CG 5.B【解析】：ON⊥BC,OM⊥AB,OM=ON, .BO是∠ABC的平分线 ∠ABC=30,∠AB0=2∠ABC=15, 6.证明：：DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠E=∠DFC=90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=CF, (BD=CD, ..Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),.DE=DF ,DE⊥AB,DF⊥AC,AD平分∠BAC. 7.A【解析】如图①，过点M作ME⊥AD于点E.M 是BC的中点，BC=20cm,∴.CM=BM=10cm. DM平分∠ADC,∠C=90°，ME⊥AD,∴.ME= CM=BM=10cm.又.'∠B=90°，ME⊥AD,.AM 平分∠DAB.:∠B=∠C=90°，.∠B+∠C=180, .DC∥AB.:∠ADC=120°，.∠DAB=60°， .∠EAM=30°，.AM=2ME=20cm. 图① 图② 》一题多解法《 如图②，延长DM交AB的延长线于点G. ,DM平分∠ADC,.∠ADM=∠CDM. ,∠ABC=∠C=90°，∴.∠C=∠MBG=90°. 又，MC=MB,∠CMD=∠BMG, .△DMC≌△GMB(ASA), .DM=GM,∠G=∠CDM=∠ADM= 2∠ADC=60, △ADG是等边三角形，.AM平分∠DAB, ∴.∠BAM=30°，.AM=2MB=BC=20cm. :【解析】如图，过点B作BH⊥AC于点H,交 AD于点M,过点M'作M'N'⊥AB于点N'. :AD是∠BAC的平分线，.M'H= M'N', .BM'+M'N'=BM'+M'H=BH 3 ”在Rt△AHB中，AB=2,∠BAC =5,BH-3赦BM+MN的最小值是BM+ M'N'-BM'+M'H-BH-3 4 9.解：(1)：∠ACB=106°，.∠ACD=180°-106°=74. ,EH⊥BD,.∠CHE=90°. .∠CEH=53°，.∴./ECH=90°-53°=37°， ∴.∠ACE=∠ACD-∠ECH=74°-37°=37° (2)证明：如图，过点E分别作EM⊥BF于点M,EN ⊥AC于点N. :BE平分∠ABC,.EM=EH. :∠ACE=∠ECH=37°， CE平分∠ACD,∴.EN=EH, .EM=EN,.AE平分∠CAF. (3).AC+CD=16,SAACD=24,EM=EN=EH, Sam=Saas+Sacm=2AC·EN+zCD·EH -(AC+CD)·EM=号X16EM=24,解得EM 1 =3. :AB=10,.S△BE=2AB·EM=15. 10.解：(1)证明：，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB ∠C=90°，.CD=DE.在Rt△FCD和Rt△BED (DF=DB, 中，CD=ED: .∴.Rt△FCD≌Rt△BED(HL). (2)AB-AF=2BE.证明如下： 如图，过点D作DG⊥AC于点G. AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DG⊥AC, ∴.DG=DE. DF=DB 在Rt△FGD和Rt△BED中， DG=DE ∴.Rt△FGD≌Rt△BED(HL), ∴.FG=BE.在Rt△AGD与Rt△AED DG=DE, 中，AD=AD, .Rt△AGD≌Rt△AED(HL), .∴.AG=AE,∴.AB-AF=AB-(AG FG)=AB-(AE-BE)=AB-AE+BE=BE+ BE=2BE. 第2课时三角形三条角平分线的性质 1.C2.A 3.2【解析】：∠ACB=90°，AC=5,BC=12, ∴.AB=V√AC+BC=13. ,O是△ABC三条角平分线的交点， .点O到三边的距离相等，设这个距离为h. 由SAABC=S△A0e+S△AOB十S△B0c,得 AC·BC=2AC·A+了ABA+号BCA 即AC·BC=h(AC+AB+BC), AC·BC 5×12 ·h=AC+AB+BC5十13十12=2.故点0到AB 的距离是2. 变式题解：如图，过点O分别作OD⊥AB,OE⊥BC, OF⊥AC,垂足分别为D,E,F. :△ABC的三条角平分线交于点O, ..OD=OE=OF. ,AB=10,BC=15,AC=20, .S△Ao:S△o:S△ca0 -AB.OD :C OE :AC OF-AB C AC=10:15:20=2:3:4. 4.解：(1)130 (2)如图，过点O分别作OD⊥AB 于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥BC 于点F,连接AO. D ∠ABC=60°，BO平分∠ABC, ÷∠0BD=302,∴0D=20B=2. ∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, ..OD=OF=OE=2. ,△ABC的周长为32，∴.AB+AC+BC=32, ∴.S△ABC=S△AB+S△Ax+S△Kx =号AB·0D+号AC.0E+号BC:0F 1 1 =号AB.2+日AC2+28c.2 =AB+AC+BC =32. 【解析】(1)，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, ∠ABC=60°，∠ACB=40°， .∠OBC=30°，∠OCB=20°， ∴.∠B0C=180°-(30°+20°)=130. 5.解：如图，连接AO,B0,CO. 根据勾股定理，得AB=√82+6 10(m).设点O到三边的距离为h, 则SaA=2×8X6=2X(8+6+ 10)h,解得h=2. 故输油中心O到三条支路的管道总长为3×2=6 (m). 6.3 7.解：(1)FE=FD (2)成立.理由如下： 如图①，过点F作FM⊥AB于点M, FN⊥BC于点N,则∠FME=∠FVD =90°.易得FM=FN. A :∠FDN=∠B+∠BAD=60°+ 图① 1 ∠BAC,∠FEM=∠BAC+∠ACE =∠BAC+2(180°-∠B-∠BAC)=60°+ 3∠BAC. ∴.∠FEM=∠FDN, .△FEM≌△FDN(AAS),∴.FE=FD. 【解析】(I)如图②，过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥ BC于点N,则∠FME=∠FND=90°. :CE是∠BCA的平分线， ∠ACB=90°，∠B=60°， ∴.∠BAC=90°-∠B=30°， ∠ACE=2∠ACB=45, 图② 下册参老答案 11公