第05讲 线段的垂直平分线与角平分线（2知识点+8大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

第05讲 线段的垂直平分线与角平分线 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 知识点2：角平分线 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 【题型1 线段垂直平分线的性质求解】 例1．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，，边的垂直平分线交于D，交于E，若平分，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．由线段垂直平分线和角平分线的定义可得，在中由三角形内角和定理可求得． 【详解】解：在线段的垂直平分线上，， ， ， 平分， ， 又， ． 故答案为：． 例2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，作的垂直平分线交于点F，交于点E，连接．若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，，则可求出的长，即的长，再证明是等边三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 是的垂直平分线， ，， ， 在中，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长， 故答案为：6． 变式1．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，边的垂直平分线与相交于点D，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等边对等角、含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵边的垂直平分线与相交于点D， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 变式2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理推出．连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出△的面积． 【详解】解：连接，， ，分别是和中垂线， ，， ， ， ， ， ， △的面积． 故答案为：24． 【题型2线段垂直平分线的判定定理】 例3．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）如图，在中，是边上一点，于点交于点F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，熟练掌握是解题关键 （1）根据直角三角形全等的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质得出，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 例4．（25-26八年级上·云南怒江·月考）如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． (1)求证：． (2)是否垂直平分？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，掌握全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定是解题的关键； （1）根据证明即可； （2）分别证明D，A在线段的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明：，， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． （2）解：垂直平分，理由如下： ， ∴点D在线段的垂直平分线上． ， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 变式1．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，于点，交于点． (1)若，，求的周长． (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)的周长为 (2)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用线段垂直平分线的性质得到线段相等是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得，将的周长转化为即可得出； （2）先由得出，再结合利用余角性质得到，利用对顶角相等得，进而得，由等角对等边得，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得证． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长； （2）证明：由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 变式2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为______； (2)判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 【题型3 作垂线（尺规作图）】 例5．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点不写作法，保留作图痕迹； (2)在的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内角和、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 利用基本作图作的垂直平分线即可； 先根据线段垂直平分线的性质得到，由于，所以，再根据等腰三角形的性质得到，所以为等腰直角三角形，从而得到的度数． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）解：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 例6．（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，在中，，，，垂足点． (1)尺规作图：在线段上，求作一个点，使得； (2)连接，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂直平分线的判定与性质定理等知识点，掌握垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等是解题的关键． （1）如图：作的垂直平分线与的交点即为所求的点E； （2）由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，是的角平分线，再求出，即可求出，再利用求解即可． 【详解】（1）解：如图：点E即为所求． （2）解：∵在中，，，， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动． (1)用不带刻度的直尺和圆规完成作图（不写作法，保留作图痕迹）：过点，求作，垂足为； (2)在（1）作图的基础上，若测得，，，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—垂线、勾股定理的运用，作出正确的图形是解决本题的关键． （1）以点D为圆心，以任意长为半径为弧，交于点和点，以F为圆心，以大于为半径作弧，以G为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于一点H，连接射线，交于点E，此时； （2）连接，设，在中，运用勾股定理得，再在中，运用勾股定理得，进而即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示； （2）解：连接，设， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 即点到的距离长为． 变式2．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）如图，中，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线分别交于点，求的度数； (3)在（2）的条件下，若与的周长分别为，试用含的代数式表示的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，尺规作垂线，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在左侧交于点，在右侧交于点，作直线交，于点，即可； （2）连接，由三角形内角和定理可得，根据为的垂直平分线得到，即可解答； （3）由是的垂直平分线可得，根据三角形的周长可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：连接， 中，， ， 为的垂直平分线， ， ， ； （3）解：是的垂直平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 即， ． 【题型4 角平分线性质定理】 例7．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，平分，于D，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记相关性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质得出，证明，得出，再在中，由勾股定理得出方程求解即可． 【详解】解：平分，于D，， ， 又， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得，即， 故答案为： 例8．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，，交于，于，若，则 ． 【答案】8 【分析】过点作，角平分线的性质得到，角平分线和平行线的性质，得到， ，再利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：过点作，    ∵， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 变式1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，为内一点，平分，若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，即可推出的长度． 【详解】延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：9． 变式2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，，为的角平分线，在上取一点，使得，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，分为如图，作于，交的延长线于点，则，证明，所以，求出，，通过直角三角形性质可得，由勾股定理得，，然后利用即可求解，当如图，当位置时，同理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作于，交的延长线于点，则， ∵为的角平分线 ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当位置时，同理可得：， 故答案为：或． 【题型5角平分线的判定定理】 例9．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，，． (1)求证：点B在的平分线上； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，等角对等边，全等三角形的判定和性质． （1）根据等角对等边得到，再根据，，可知点B在的平分线上； （2）先证明，得到，即可证明平分． 【详解】（1）证明：在中， ∵， ∴， 又，， ∴ ∴点B在的平分线上； （2）证明：在和中， ∵，， ∴ ∴ ∴平分 例10．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，，是的中点，平分， (1)求证：平分． (2)求证： (3)线段、、之间，有怎样的数量关系？并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，平行线的性质定理． （1）作于，根据角平分线的性质得到，再根据是的中点，可得，由此可得，再根据角平分线的判定定理即可判定平分； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质定理可得，由此可得，即可证明； （3）证明可得，同理可证，由此可证． 【详解】（1）证明：作于， ，，平分， ， 为中点， ， 又， ， 又，， 平分 （2）解：， 理由是：平分，平分， ，， ， ， ， ， 即； （3）解：， 理由是：，， ， 在和中 ， ， 同理， ， ． 变式1．（25-26八年级上·辽宁营口·月考），直线与交于点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理， （1），先说明，再根据“边角边”证明，可得，进而根据角平分线的判定定理得出答案； （2）过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N，由（1）得，可知，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据角平分线的判定定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）解：成立，理由：过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N， 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ∴平分． 变式2．（25-26八年级上·江西南昌·月考）（1）【母题呈现】如图的三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． （2）【知识应用】在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． ①如图1，若，求的面积； ②如图2，求证：平分； ③如图3，过点作于，若，求的长． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；③ 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）①根据折叠得出，，，根据求出结果即可； ②过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可； ③过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）①根据折叠可知：，，， ； ②证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分； ③如图，过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接， 由题可知，，， ， 由（2）可知， ， ， ， ∵，， ∴， 解得：． 【题型6 角平分线性质的实际应用】 例11．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】B 【知识点】角平分线性质的实际应用、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，由此即可求解． 【详解】解：根据角平分线的性质定理可得，要使物流服务中心到三条公路的距离相等的点为角平分线的交点， 故选：B ． 例12．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．内任意一点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【详解】∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择三条角平分线的交点， 故选：D． 变式1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键． 【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 【题型7 作角平分线（尺规作图）】 例13．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的外角． (1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的作法、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握等角对等边和平行线的性质是解题的关键． （1）根据作角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）运用角平分线的定义和平行线的性质推导，从而得到，继而得解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求的作角平分线； （2）证明：∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． 例14．（23-24七年级下·广西北海·期末）如图，是的外角，． (1)求作的角平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)请证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图－作已知角的平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的判定．注意：内错角相等，两直线平行． （1）利用基本作图作平分，即可； （2）利用平分得到，再根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形外角性质证明，从而可判断． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1．（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，在中，，点在上，连接，并延长至点，连接，使． (1)作的平分线，交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作出的平分线即可； （2）利用等腰三角形的性质得到，再证明得出，进而即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）证明：连接， ，， ，， 由（1）知：平分， ， 在和中， ， ， ， ． 变式2．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）如图，在中，点在上，． (1)请利用尺规作图作出的平分线，交于点，交于点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的角的关系与三角形内角和的应用是解题的关键． （1）利用尺规作图中角平分线的作法，以点为圆心画弧交、于两点，再分别以这两点为圆心画弧，两弧交点与的连线即为角平分线． （2）先由角平分线得的度数，结合得等腰三角形的底角，再利用三角形内角和求，最后由邻补角关系求． 【详解】（1）解：尺规作图步骤： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点； ③作射线，交于，交于，则即为的平分线． （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型8线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 例15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）连接， ，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得，，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）设，则，依据“”判定和全等得，则，据此即可得出的周长． 【详解】（1）证明：连接， ，如图所示： ∵是的平分线，，, ∴， ∴, ∴,,,都是直角三角形， ∵是边的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴, ∴. （2）解：设， ∵,, ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∴, ∴的周长为：． 例16．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，是平分线上的一点．过点作，，垂足分别为，连接． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握角平线的性质定理是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到点在的垂直平分线上，再证，得到，点在的垂直平分线上由此即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，结合周长的计算即可求解． 【详解】（1）证明：是平分线上的一点，，，垂足分别为， ，， 点在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上． 是的垂直平分线； （2）解：，， ， ，， ， ， ， 的周长是． 变式1．（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知：如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查三角形综合，涉及角平分线性质、垂直平分线性质、角平分线定义、三角形全等的判定与性质等知识，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由垂直平分线的性质得到，从而由两个直角三角形全等的判定定理得到，再由全等性质即可得证； （2）先求出，再由三角形全等的判定得到，进而得到，表示出即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 平分，，， ， 垂直平分， ， ， ； （2）解：由（1）可知 ， ， 平分， ， ，， ， 又， ， ， ． 变式2．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知：如图中，O是的中点，D是的角平分线上一点，且，过D作于E点，于F点． (1)连接，求证：所在直线是的垂直平分线； (2)求证：； (3)判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解题关键， （1）根据证明，进而解答即可； （2）根据证明，进而利用全等三角形的性质与等式的性质解答即可； （3）根据证明，进而利用全等三角形的性质与线段的关系解答即可． 【详解】（1）证明：O是的中点， ， ， ， ， ， ， 所在直线是的垂直平分线； （2）证明：D是的角平分线上一点，，， ， ， ， ， ， ； （3）证明：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·月考）如图，在中，已知，垂直平分，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 由可得，再由垂直平分可得，推出，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（    ） A．12 B．14 C．16 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．作，可得，据此即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积． 故选：A． 3．（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，在中，，，的平分线交于点D，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．点D一定在的垂直平分线上 D．是轴对称图形 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、垂直平分线的判定、轴对称图形等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 求出，故A正确；证明，即可得到，则点D一定在的垂直平分线上，故C正确；证明是等腰三角形，则是轴对称图形，故D正确；无法证明，故B错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴，故A正确； ， ∴， ∴点D一定在的垂直平分线上，故C正确； ∵， ∴是等腰三角形， ∴是轴对称图形，故D正确； 无法证明，故B错误， 故选：B． 4．（25-26八年级上·上海·月考）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等， ∴应建在三条角平分线的交点． 故选：C． 5．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，平分，平分，且交于点，延长至点，使，连接；延长交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等，由“”可证，即可判定①；由全等三角形的性质得，进而可得，即得，即可证，得到，假设，则，连接，可证，得到，即得，可得四边形是正方形，得，与矛盾，即可判定②；利用全等三角形的性质可判定③和⑤；由为的垂直平分线，得，再根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，即可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设，则，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，与矛盾， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ， 即，故⑤正确； ，， 为的垂直平分线， ， ∴， ， ， 又平分，平分， ， ， ∴， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上，①③④⑤正确， 故选：． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为8． 故答案为：8 7．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，是的角平分线，点E在边上，连接，且．若面积为4，，则面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理． 过点 作交于点，可证，，根据面积为4，，求出面积为2，，即，，根据计算即可． 【详解】解：如图；过点 作交于点 ∵，是的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵面积为4，， ∴面积为2， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，是的角平分线，分别在边上．，连结． 若，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解决本题的关键． 过作于，由角平分线的性质推出，判定，得到，判定，推出，得到，求出，得到，由勾股定理求出，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过作于， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在的边上取点，使．过点作于点，若平分，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及角平分线的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键．先证明，可得出，，从而得出即可解答． 【详解】解：平分，， ,， 在和中， ， ，， ，，， ， 故答案为： ． 10．（25-26八年级上·青海西宁·期中）如图所示，点在的内部，点分别是点关于直线的对称点，线段交，于点，．若的周长是，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．根据题意，可得和分别是线段和线段的垂直平分线，然后根据“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，即可得到，，结合“的周长是”，由，即可获得答案. 【详解】解：∵、关于对称，、关于对称， ∴和分别是线段和线段的垂直平分线， ∴，， 又∵的周长是，即， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理和等边对等角进行计算即可． 【详解】（1）解：是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， 的周长为，即， ； （2）解：由题意得，，， ， ， ． 12．（25-26八年级上·河南周口·月考）从常见的风筝中可以抽象出一个几何图形．已知是等边三角形，，过点A作，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：垂直平分线段； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)11 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理及性质，等边三角形的性质，平行线的性质及解含的特殊直角三角形． （1）利用等边三角形的性质得出，根据线段垂直平分线的判定定理可得点C在的垂直平分线上，同理由可得点A在的垂直平分线上，最后根据两点确定一条直线可证得结论； （2）先利用等边三角形的性质和平行线的性质得出是等边三角形，再由已知条件求出的长度，进而利用解含的特殊直角三角形求出的长度，即可求出的长度，由（1）的结论可得，最终可求出的长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴点C在的垂直平分线上， 又∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分线段． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若，写出与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的性质与判定以及垂直平分线： （1）先证明，得到即可证明； （2）根据角平分线得到，在中可得，利用角度转化得到，在中可得，进而得到与之间的数量关系． 【详解】（1）证明：为的角平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， ∴点、都在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）， 证明：为的角平分线，， ， ， 垂直平分, , ，， ， ， ， ． 14．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交于点D，E，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长是19，，求的长； (3)在线段上有一点P，其恰好也在边的垂直平分线上，求证：点P在边的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)9 (3)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的周长公式、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由垂直的定义可得，由线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可解答； （2）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为19，即，进而求得的长； （3）由线段垂直平分线的性质得、，即，从而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴． （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19， ∴，即． ∵， ∴． （3）证明：如图：连接， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）过点作于于，利用角平分线性质得到相等线段，再结合角的关系证明三角形全等，从而得出； （2）过点作于于，利用角平分线性质和角的关系证明三角形全等，进而得到； （3）利用角平分线的性质，通过线段的转化求出的值． 【详解】（1）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ． ， ． 在和中： ， ； （2）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ， ， ． 在和中， ， ， ； （3）解：如图，过点作于，过点作于， 是的角平分线，， ， 又平分， ， ， 平分， 在和中， ， 同理可证，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 16．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）小聪同学在学习了《角平分线的性质》后，对教材中呈现的知识进行了拓展探究． (1)如图1，若点P是平分线上一点，，，则点P到的距离为______． (2)已知 ，平分，平分． ①如图2，若点E到与的距离之和为4，则点E到的距离为______． ②如图3，过点E作直线交射线于点C，交射线于点D，试探究线段的数量关系，并说明理由． ③如图4，过点E的直线交直线于点C，交射线于点D，若，，则______．（用含m、n的式子表示） 【答案】(1)3 (2)①②，理由见详解③当点在直线的点A的右边时，；当点在直线的点A的左边时，． 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合角平分线的性质进行作答即可； （2）①根据，平分，平分．则， 故，即，解得； ②结合平行线的性质以及角平分线的性质，证明，，，得，则，故，即可作答． ③充分理解题意，再进行分类讨论，当点在直线的点A的右边时或当点在直线的点A的左边时，分别作图，运用全等三角形的性质以及数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： ∵点P是平分线上一点，，， ∴， 即点P到的距离为； 故答案为：3． （2）解：①过点作，分别交于点，过点作交于点，如图所示： ∵，， ∴， 即线段的长度就是点E到与的距离之和， ∵点E到与的距离之和为4， ∴， ∵平分，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； 故答案为：2． ②，理由如下： 过点作，分别交于点，过点作交于点，如图所示： ∵，， ∴， 即线段的长度就是点E到与的距离之和， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 则 ∴ 即， ③依题意，当点在直线的点A的右边时，如图所示： 与②同理，过点作，分别交于点，过点作交于点，如图所示： 此时，，， ∴ ∴，， 则，， ∴ ∴ 即 故； 当点在直线的点A的左边时，延长交于点，如图所示： ∵， ∴ ∵平分，平分． ∴ ∴ 即 ∴ 即， ∵平分． ∴ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 综上：当点在直线的点A的右边时，；当点在直线的点A的左边时，． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第05讲线段的垂直平分线与角平分线 从内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ☑知识点2：角平分线 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等， 角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 02 练题型强知识 【题型1线段垂直平分线的性质求解】 例1.(25-26八年级上江苏无锡月考)如图，在ABC中，∠B=40°，BC边的垂直平分线交BC于D,交 AB于E,若CE平分∠ACB,则∠A=° 例2.(25-26八年级上江苏南京期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，作BC的垂直平分 线EF交BC于点F,交AB于点E,连接CE.若EF=I,则△ACE的周长为_ 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1.(25-26八年级上江苏泰州月考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分 线DE与BC相交于点D,CD=3,则BC的长为一· B D 变式2.(2025八年级上·全国.专题练习)如图，PE,EQ分别是AB和AC中垂线，EP,EQ分别交BC于 点F,D.若BF=5,DF=3,CD=4,则△ABC的面积为 【题型2线段垂直平分线的判定定理】 例3.(25-26八年级上福建龙岩月考)如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，D是AB边上一点， BD=BC,ED⊥AB于点D,CD交BE于点F. B D (I)求证：Rt△BDE≌Rt△BCE; (2)求证：BE垂直平分CD. 例4.(25-26八年级上云南怒江·月考)如图，在ABC中，D是BC上一点，过点D作DE1AB于点E, DF⊥AC于点F,DE=DF,连接AD,EF. D (I)求证：ADE≌ADF. (②)AD是否垂直平分EF？请说明理由 变式1.(25-26八年级上·河南洛阳·月考)如图，在ABC中，BC的垂直平分线分别交AB,BC于点M, N,AD⊥BC于点D,MC交AD于点E. 2/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B (I)若AB=7,AC=5,求aAMC的周长. (②)求证：点M在线段AE的垂直平分线上. 变式2.(25-26八年级上江苏无锡·月考)如图，在ABC中，AB边的垂直平分线I交BC于点D,AC边 的垂直平分线Z交BC于点E,(与Z相交于点O,连接OA,OB,OC. (1)若ADE的周长为10cm,线段BC的长为 ； (2)判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； (3)若∠BAC=130°，求∠DAE的度数. 【题型3作垂线（尺规作图）】 例5.(25-26八年级上山东德州月考)如图，在ABC中，AB=AC. (I)尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D(不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1的条件下，若AD=CD,求∠BAD的度数 例6.(25-26八年级上福建厦门月考)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，AD⊥BC,垂足点 D (I)尺规作图：在线段AD上，求作一个点E,使得AE=CE; (2)连接BE,求∠EBD度数. 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1.(25-26八年级上·江苏连云港期中)如图是一台手机支架的示意图，AB,CD可分别绕点A,B转 动. D (1)用不带刻度的直尺和圆规完成作图（不写作法，保留作图痕迹）：过点D,求作DE⊥PA,垂足为E: (2)在(1)作图的基础上，若测得BD=7cm,AB=I5cm,AB⊥BD,DE=AE,求点D到PA的距离. 变式2.(25-26八年级上河南驻马店·月考)如图，ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=45°. B C ()请用无刻度的直尺和圆规作AB边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若(1)中所作的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,求∠CAE的度数： (3)在(2)的条件下，若ABC与△AEC的周长分别为m,n,试用含m,n的代数式表示AD的长. 【题型4角平分线性质定理】 例7.(25-26八年级上江苏盐城期中)如图，在RIAABC中，∠B=90°，AB=8,BC=6,CE平分 ∠ACB,ED⊥AC于D,则AE=— B A D 例8.(25-26八年级上山东日照期中)如图，∠BAP=∠CAP=15°，PM‖AC交AB于M,PD⊥AC于D, 若PD=4,则AM= B M D C 变式1.(25-26八年级上江苏常州·期中)如图，D为ABC内一点，CD平分 ∠ACB,BD⊥CD,∠A=LABD,若BD=2,BC=5,则AC的长为 4/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 变式2.(25-26八年级上·浙江湖州·期中)在ABC中，∠B=120°，BC=6,CD=2BD,AD为ABC的 角平分线，在AC上取一点E,使得BD=DE,则CE的长为 【题型5角平分线的判定定理】 例9.(25-26八年级上湖南张家界.期末)如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2. D (I)求证：点B在∠ADC的平分线上； (2)求证：BD平分∠ABC. 例10.(25-26八年级上湖北随州·期中)如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC, M A B (I)求证：AM平分∠DAB. (2)求证：DM⊥AM (3)线段CD、AB、AD之间，有怎样的数量关系？并证明. 变式1.(25-26八年级上·辽宁营口·月考)∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC,EC=DC,直线AD与BE交于点 F. 5/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，若∠CEB=90°，求证：FC平分∠BFD; (2)如图2，若∠CEB≠90°，(1)中的结论是否成立？说明理由. 变式2.(25-26八年级上江西南昌·月考)(1)【母题呈现】如图的三角形纸片中， AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm.沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为 BD,求△AED的周长. B (2)【知识应用】在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点 E处，折痕为BD,过点E作∠BED的平分线交BD于点P连接AP. D A 图1 图2 图3 ①如图1，若CD=4cm,AB+BC=18cm,求ABC的面积； ②如图2，求证：AP平分∠CAB; ③如图3，过点P作PH⊥AB于H,若AB=15cm,BC=12cm,AC=9cm,求PH的长. 【题型6角平分线性质的实际应用】 例11.(24-25八年级上·湖北宜昌·期中)在三条公路AB,AC,BC围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如 图)，若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在() B 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.三条高线的交点处 B.三条角平分线的交点处 C.三条中线的交点处 D.三边垂直平分线的交点处 例12.(2425八年级上广西防城港阶段练习)如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休 息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在() A x A.ABC三条中线的交点 B.ABC内任意一点 C.ABC三条高所在直线的交点 D.ABC三条角平分线的交点 变式1.(2324八年级上·安微安庆·期末)如图，三条公路4、、4两两相交，计划建一座加油站，满足到 三条公路的距离相等，则可供选址的地方有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型7作角平分线（尺规作图）】 例13.(25-26八年级上·福建厦门期中)如图，∠ACD是ABC的外角. D (1)尺规作图：作∠ACD的平分线CE;(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若CE∥AB,求证：ABC是等腰三角形， 例14.（23-24七年级下·广西北海·期末)如图，∠EAC是ABC的外角，∠B=∠C. B (I)求作∠EAC的角平分线AD(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： (2)请证明AD∥BC. 变式1.(25-26七年级上山东威海期中)如图，在ABC中，AB=AC,点D在AC上，连接BD,并延 7/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 长至点E,连接AE,使AE=AB E D B (1)作∠EAC的平分线AF,AF交DE于点F(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： (②)在(1)的条件下，连接CF,求证：∠ABE=∠ACF. 变式2.(25-26八年级上·贵州毕节月考)如图，在ABC中，点E在AC上，∠ACB=56°. A (I)请利用尺规作图作出∠ACB的平分线，交AB于点D,交BE于点F; (2)若BF=CF,求∠DFB的度数。 【题型8线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 例15.(25-26八年级上江苏苏州·期中)如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F. G E B (I)求证：BE=CF; (2)若AF=6,BC=10,求ABC的周长 例16.(24-25八年级下陕西宝鸡期末)如图，P是∠A0B平分线上的一点.过点P作PC10A,PD⊥0B ,垂足分别为C,D,连接CD 8/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (I)求证：OP是CD的垂直平分线： (2)若∠A0B=60°，0P=6,求aC0P的周长. 变式1.(25-26八年级上·江西宜春.期中)己知：如图，ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交 于点D,DF⊥AC于点F,DE⊥AB交AB的延长线于点E. D (1)求证：BE=CF; (2)若AC=16,BE=4,求AB的长. 变式2.(25-26八年级上·广东广州期中)已知：如图ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC的角平分线 上一点，且DB=DC,过D作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点. E (1)连接OD,求证：OD所在直线是BC的垂直平分线； (2)求证：LBDC=LEDF; (3)判断AB,AC,CF之间的数量关系，并说明理由. 03 串知识识框架 线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线 上的点到这条线段两个端点的距离相等。 知识点1：线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个 端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段的垂直平分 线与角平分线 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等 知识点2：角平分线 角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相 等的点在这个角的平分线上， 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 04过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级上·全国·月考)如图，在ABC中，已知AB=AC,DE垂直平分AC,∠A=50°，则 ∠DCB=() D A.10° B.15° C.20° D.30° 2.(25-26八年级上·江苏盐城期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若 CD=3,AB=8,则△ABD的面积是() B D C A.12 B.14 C.16 D.10 3.(25-26八年级上山西晋城月考)如图，在ABC中，AB=AC,LBAC=36°，∠ACB的平分线交AB 于点D,则下列结论不正确的是() D A.∠CDB=72° B.AC=2AD C.点D一定在AC的垂直平分线上 D.△CDB是轴对称图形 4.(25-26八年级上·上海·月考)上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，ABC是一个正在修建的口袋 公园，要在公园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路AB、AC、BC的距离都相等，则凉亭H是ABC的 () H B 10/14