1.4.1 线段垂直平分线的性质与判定-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

.AC=A'C=4,AD=A'D′=3， '.Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL) .∠A'CD'=∠C=n°，.∠A'C'B'=180°-∠A'C'D'= 180°-n°； ③当点B,C在点D的同侧，点B',C'在点D的两侧 时，如图④② 同理可得，Rt△ACD≌Rt△A'C'D',∴.∠C'=∠ACD =180°-∠ACB=180°-n°： ④当点B,C在点D的同侧，点B',C在点D'的同侧 时，如图④③. 同理可得，Rt△ACD≌Rt△A'C'D',.∠A'C'B'= ∠ACB=n°. 综上所述，∠C的度数为n°或180°-n°. 9.证明：I)在R△ABC和R△DEF中.AC=DF, AB=DE, .Rt△ABC2Rt△DEF(HL). (2)如图，过点A作AG⊥BC,交BC的延长线于点G, 过点D作DH⊥EF,交EF的延长线于点H,则∠G =∠H=90. ∠BCA=∠EFD,∴.∠ACG=∠DFH. ∠G=∠H, 在△ACG和△DFH中，∠ACG=∠DFH, AC=DE. .△ACG≌△DFH(AAS),∴.AG=DH. (AB=DE, 在R△ABG和Rt△DEH中，AG=DH, ∴.Rt△ABG≌Rt△DEH(HL),∴.∠B=∠E ∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠DFE AB-DE. .△ABC2△DEF(AAS). B 10.解：(1)证明：①：∠B=90°，AF⊥DE, .∠AFD=∠B=90°. 在R△ADF和R△ACB中，AF=AB, AD=AC, .Rt△ADF≌Rt△ACB(HL),∴∠DAF=∠CAB, .∠DAF+∠FAC=∠CAB+∠FAC, 即∠DAC=∠FAB. ②连接AE,如图. ∠B=90°，AF⊥DE, .∠AFE=∠B=90°. 在Rt△AFE和Rt△ABE中， (AE=AE, AF=AB, ∴.Rt△AFE≌Rt△ABE(HL),.EF=EB 由①可知，Rt△ADF2Rt△ACB, :.DF=CB,..DF=CB=CE+EB=CE+EF. (2)AB=BC,∠B=90°，∴.∠BAC=∠BCA=45 由(1)①可知，∠DAF=∠CAB=45°， 八年级数学BS版 ∴.∠ADF=90°-∠DAF=45°. :∠CDE=20°，∴.∠CDA=20°+45°=65. 又AC=AD,.∠DCA=∠CDA=65°， .∠DAC=180°-∠CDA-∠DCA=50°， .∠CAF=∠DAC-∠DAF=50°-45°=5°. 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.C 2.6【解析】如图，连接AM,AN ,在△ABC中，AB=AC,∠BAC =120°， ·∠B=∠C=180°-∠BAC =30° 2 ,ME是AB的垂直平分线， .BM=AM,.∠B=∠BAM=30°， ∴.∠AMN=∠B+∠BAM=60°. 同理可得，AN=CN,∠CAN=∠C=30°， ∴.∠ANM=∠C+∠CAN=60°， .△AMW为等边三角形， ..MN=AM=AN=BM=CN. BC=BM+MN+CN=18 cm, MN=3 BC=6 cm. 3.B 4.证明：：AB=AC,.点A在线段BC的垂直平分 线上. ,OB=OC,.点O在线段BC的垂直平分线上. ,两点确定一条直线，直线AO是线段BC的垂直 平分线，即直线AO⊥BC,∴AO平分∠BAC. 5.证明：，∠BAC=90°，∴.∠ABC+∠C=90°. AM⊥BC,.∠AMB=90°， ∴∠ABC+∠BAM=90°，∴.∠C=∠BAM. .'AD平分∠MAC,.∠DAM=∠CAD, ∴.∠BAM+∠DAM=∠C+∠CAD, ∠BAD=∠ADB,.AB=BD. ,BE平分∠ABC,.BF⊥AD,AF=FD, 即线段BF垂直平分线段AD. 6.证明：(1)：ED⊥AB,.∠EDB=90 (EB=EB. 在Rt△BCE和R△BDE中，BC=BD, .Rt△BCE≌Rt△BDE(HL),.CE=DE. (2).EC=ED,BC=BD, ∴BE是CD的垂直平分线，∴BE⊥CD. (3),EC=ED,BE⊥CD, ∴∠ECD=∠EDC,∠DFB=90°， .∠FDB+∠DBE=90°. ,∠EDB=90°，.∠EDC+∠FDB=90°， ∴.∠EDC=∠DBE,∴∠ABE=∠ACD. 7.C 变式题58°【解析】，BD,CD的垂直平分线分别交 AB,AC于点E,F,.BE=DE,DF=FC,.∠B= ∠EDB,∠FDC=∠C.∠EDB+∠FDC+∠EDF =180°，∠B+∠C+∠A=180°，∠A=58°，.∠EDF =∠A=58°. 8.11【解析】如图，连接AD,AD与EF交 于点M',连接BM' :△ABC是等腰三角形，D为底边BC 的中点AD1BC.BD=专BC :SAw=BC·AD=号X6AD=24.AD=8 1 ,EF为线段AB的垂直平分线， ..AM'=BM',.'.BM'+DM'=AM'+DM'. 当点M运动到点M处时，BM'十DM最小， ∴·△BDM的周长的最小值为BM'+DM'+BD=AD +BD=AD+BC=11. 9.证明：如图，连接PA. ·PQ是AB的垂直平分线， ..PA=PB, ∠B=∠PAB=22.5°， ∠APD=45. ,AD⊥BC, ∠PDF=∠ADC=90°， .∠DPF+∠PFD=90°，∠PAD=90°-∠APD= 45°=∠APD,.PD=AD. ,PE⊥AC,∴.∠AFE+∠DAC=90 又∠AFE=∠PFD,∴∠DPF=∠DAC. (∠PDF=∠ADC, 在△PDF和△ADC中，PD=AD, ∠DPF=∠DAC, .△PDF≌△ADC(ASA),.DF=DC. 10.解：(1)证明：，ED垂直平分AC, AD=CD,.∠A=∠ACD. .∠ACB=90°， ∴.∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°， ∴.∠B=∠BCD,.BD=CD, ∴.DA=DB=DC. (2)此时FP平分∠HFG.理由如下： 如图，作线段MF的垂直平分线交FP于点O,连 接OM. .PM⊥FH,PN⊥FG ∴.△MPF和△NPF都是直角三 角形. 由(1)中结论可知OF=OP=OM. H 作线段FN的垂直平分线必与FP交于点O,连接 ON,.∴.OM=OP=OF=ON. 又，MN⊥FP,∴.∠OKM=∠OKN=90. OK=OK, ∴.Rt△OKM≌Rt△OKN(HL), ∴.MK=NK. 又FK=FK,∴.△FKM≌△FKN(SAS), .∠MFK=∠NFK,即FP平分∠HFG. 第2课时尺规作图和三角形三边垂直平分线的性质 1.D2.C 3.解：(1)如图①，EF即为所求. (2)如图②，点M即为所求 图① 图② 4.A 5.100°【解析】点P为△ABC三边垂直平分线的交 点，PA=PC=PB, ∴∠PCA=∠PAC=20°，∠PBC=∠PCB=30°， .∠PAB+∠PBA=180°-∠PBC-∠PCB ∠PAC-∠PCA=80°， .∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=100° 6.解：如图，连接AD. ,直线EF,MN分别是边AB, AC的垂直平分线，∴.DA=DB, FA=FB,DA=DC,NA=NC, ∴.DA=DB=DC. .'△AFN的周长=AF+FN+AN=BF+FN+NC =BC=10,△BCD的周长=BD+BC+CD=24, .BD+CD=14,..BD=CD=7. 7.C 8.160°【解析】如图，连接OA. :∠BAC=80°，.∠ABC+ ∠ACB=100°.O是AB,AC垂 直平分线的交点，.OA=OB,OA B =OC,∴.∠OAB=∠OBA, ∠OCA=∠OAC,OB=OC,..∠OBA+∠OCA=80°， ∴.∠OBC+∠OCB=100°-80°=20°，∴.∠BOC=180° -∠OBC-∠OCB=160°. 9.证明：如图，连接OB. ,D是△ABC的边BC的中点， ∴BD=CD. BC∥EF,AE⊥EF, .AD⊥BC,∴.BO=CO. AO=CO,∴.AO=BO=CO, .O是△ABC三边垂直平分线的交点. 10.证明：如图，连接AP,AQ,PB,BQ. 由作图可知，PA=AQ,BP=BQ,. 点A在PQ的垂直平分线上，点B在 PQ的垂直平分线上，∴.直线AB垂 直平分PQ,∴.直线PQ是直线l的 垂线 11.解：(1)60° (2)如图，连接AF,BF,CF」 D ,DF,OF,EF分别垂直平分AB,BC,AC, ..AF=BF=CF,BM=AM,AN=CN. 下册参考答案 、94线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 色课内基础闯关 5.如右图，在△ABC中，∠BAC =90°，BE平分∠ABC,AM 知识点①线段垂直平分线的性质 ⊥BC于点M,交BE于点G, B M D 1.(2025赣州南康区期中)如图，在△ABC中， AD平分∠MAC,交BC于点D,交BE于点 ∠B=60°，DE为AC的垂直平分线.若 F.求证：线段BF垂直平分线段AD, ∠BCE=50°，则∠A= A.25° B.30° C.35 D.40° 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°， BC=18cm,AB的垂直平分线交BC于点 知识点③ 线段垂直平分线的性质与判定的 M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC 综合 于点N,交AC于点F,则MN的长为 6.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是 cm. AB上一点，BD=BC,过点D作AB的垂线 知识点②线段垂直平分线的判定 交AC于点E,连接CD,BE,交于点F. 3.如图，点D在△ABC的边 求证： BC上，且BC=BD+AD, (1)CE=DE. B D 则点D在某一线段的垂直 第3题图 (2)BE⊥CD 平分线上.这条线段是 (3)∠ABE=∠ACD. A.AB B.AC C.BC D.不确定 4.如下图，在△ABC中，AB=AC,O是 △ABC内一点，且OB=OC.求证：AO平 分∠BAC. 下册第一章 19△ 已课外拓展提高 综合能力提升 7.(2025连云港)如图，在△ABC中，BC=7, 10.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D, ED垂直平分AC交AB于点D,连接CD. E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点 求证：DA=DB=DC. F,G,则△AEG的周长为 (2)利用(1)中的结论，继续探究：如图②，P A.5 B.6 C.7 D.8 是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥ FH于点M,PN⊥FG于点N,FP与MN 交于点K.当点P运动到某处时，MN与 FP正好互相垂直.此时FP平分∠HFG E G 吗？请说明理由. 第7题图 变式题图 变式题如图，△ABC中，∠A=58°，D是 BC上一点，BD,CD的垂直平分线分别交 AB,AC于点E,F,则∠EDF的度数为 图① 图② 8.如图，等腰三角形ABC的底边 BC长为6，面积为24，腰AB的 垂直平分线EF分别交AB,AC 于点E,F.若D为底边BC的 B 中点，M为线段EF上一动点， 第8题图 则△BDM的周长的最小值为 9.如下图，在△ABC中，∠B=22.5°，AB的垂 直平分线交AB于点Q,交BC于点P,PE ⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,AD交PE 于点F.求证：DF=DC 知识要点归纳 1.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距高相等 2.线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点 距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 420 八年级数学BS版