思想方法专题 分类讨论思想在等腰三角形中的应用&作图技巧专题-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

思想方法专题 分类讨论 题型① 当底和腰不确定时，必须进行分类 讨论 1.若等腰三角形的三边长分别为x,5,2x 一3，则此等腰三角形的周长可以为 题型② 当顶角和底角不确定时，必须进行 分类讨论 2.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为 A.20° B.120° C.20°或120° D.36 3.已知△ABC是等腰三角形，∠A=80°，则 ∠B的度数为 题型③ 当高的位置不确定时，必须进行分 类讨论 4.在等腰三角形ABC中，已知AD⊥BC于点 D,且AD=2BC,则锐角∠C的度数为 题型④由腰的垂直平分线引起的分类讨论 5.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交 AB于点D,交直线AC于点E.如果∠AEB= 80°，那么∠EBC的度数为 题型⑤由腰上的中线引起的分类讨论 6.已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角 形的周长分为9cm和15cm的两个部分.求 这个等腰三角形底边的长. 思想在等腰三角形中的应用 题型⑥由点的位置不确定引起的分类讨论 7.在4×4的正方形网格中，每个小正方形的 边长为1个单位长度，存在线段AB,端点 A,B均在格点（网格线的交点）上，构建如图 所示的平面直角坐标系。 (1)直接写出点A,B的坐标：A( ),B( (2)网格中存在格点C,使△ABC为等腰直 角三角形.点C的坐标为 (3)网格中（包括网格的边界）存在格点P, 连接PA,PB,得到锐角三角形PAB,且 △PAB为等腰三角形.满足条件的点P有 个 第7题图 第8题图 8.(2025上饶鄱阳期中)如图，在△ABC中， AB=AC,∠B=40°，D为BC的中点，点E 在AB上，∠AED=100°，P是AB或AC上 一点.当△DEP是以EP为底的等腰三角形 时，则∠EDP的度数为 下册第一章 13公 作图技巧专题 三角形中的无刻度直尺作图 题型① 利用网格作三角形的“三线” 题型③ 利用网格作等腰直角三角形 1.下图所示的是由小正方形组成的6×6网 4.如下图，在边长为1个单位长度的小正方形 格，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC 组成的网格中，给出了以格点（网格线的交 的三个顶点都是格点.请仅用无刻度的直尺 点)为端点的线段AB 在给定的网格中作AC边上的高线BD(保 留作图痕迹，不写作法)。 A (1)请仅用无刻度的直尺在图中作等腰直角 三角形ABC,其中∠A=90°. 2.(2025抚州金溪期中)如图，在6×4的网格 (2)计算△ABC的面积 中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的 三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上.请 仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保 留作图痕迹，不写作法) (1)在图①中作出∠BAC的平分线AD. (2)在图②中作出AC边上的高， 图① 图② 题型④ 利用双等边三角形作等腰三角形 题型② 利用网格作等腰三角形 或直角三角形 3.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边 5.如图，△ABC和△DCE是两个全等的等边 长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点，点 三角形，点A,C,D在同一条直线上.请仅用 A,B在格点上.请仅用无刻度的直尺，按下 无刻度的直尺，按要求完成以下作图（保留 列要求作图. 作图痕迹，不写作法). (1)在图①中，以AB为腰作等腰三角形 (1)在图①中，以AD为边作一个直角三 ABC,使得点C在格点上. 角形。 (2)在图②中，以AB为底作等腰三角形 (2)在图②中，以AD为边作一个等腰三 ABD,使得点D在格点上. 角形. 图② 图① 图② 14 八年级数学BS版8.C【解析】：∠ACB=90°，∠A=30°，.∠B=90°- 30°=60°.：CD是AB边上的高，∴.∠CDB=90°， ∴.∠BCD=90°-60°=30°.在Rt△CDB中，∠BCD= 30°，∴.BC=2BD=6.在Rt△ACB中，∠A=30°， .AB=2BC=12. 9.7.2 10.A【解析】：△ABC是等边三角形， .∠B=∠C=60°，BC=AB=10. :DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠DEB=∠DFC=90°， ∠BDE=∠CDF=30,BE=2BD,CF 1 C. .BE+CF-(BD+DC)-BC-X105 1. (2()【解折1I):B即，⊥AP,∠A =30.P,Q=2AP1=1. P1Q1⊥AB,∠A=30°，∠AP,Q1=60°， ∠P,QP2=30.PP,=2 1 13 AP2=2-2=2 1、33 P,Q:=2AP,=2X2=4 9 同理可得，P,Q。一16 (2)如图，令P.-1Q-1=x. 由题意可知，AP。-1=2x,P-P。 n P.PP 3 AP.=AP.-1-P-P.=2 P.Q.=Ap.=,即PQ.=pQ 同理可得，P-Q.4=2P-:Q P.Q.=()广pQ=()p04=… ()p,Q. PQ=1P.Q.=() 当n=2025时，有P,eQe=()》=(). 12.证明：(1)连接BD,如图. :BF⊥AC,且F为线段AD的 中点， ..AB=BD. :DE是边BC的垂直平分线， .BD=DC. ,D是AC的中点，.AD=DC, .∴.DC=AD=AB,则AC=2DC=2AB. (2)'BF⊥AC,∴.∠BFC=90°. :∠ACB=30°，.∠GBC=60°. DE是边BC的垂直平分线，∴.GB=GC, ∴△BGC为等边三角形. 13.解：(1)= (2)AE=DB.理由如下： 如图，过点E作EF∥BC,交AC于点F 在等边三角形ABC中，∠ABC= ∠ACB=∠A=60°，AB=BC=AC. :EF∥BC, DB .∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°， ∴∠AEF=∠AFE=∠A, △AEF是等边三角形，∴.AE=AF=EF, ..AB-AE=AC-AF,BE=FC. ED=CE,.∠D=∠ECB. ,∠D+∠BED=∠ABC=60°， ∠ECB+∠FCE=∠ACB=60°， .∠BED=∠FCE,∴.△DBE≌△EFC(SAS), .'DB=EF..'.AE=DB. 思想方法专题分类讨论思想在等腰 三角形中的应用 1.17或11或14【解析】依题意，可分以下三种情况 讨论： ①当2x-3为底边长时，腰长为x,5,∴.x=5, .2x-3=7,即三角形三边长分别为5,5,7. 根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴.此时等腰三角形的周长=5十5十7=17； ②当5为底边长时，腰长为x,2x一3， .x=2x一3，解得x=3,即三角形三边长分别为3,3,5. 根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴.此时等腰三角形的周长=3十3+5=11； ③当x为底边长时，腰长为5,2x一3， ∴.5=2x-3,解得x=4,即三角形三边长分别为5,5,4. 根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴.此时等腰三角形的周长=5+5+4=14. 综上所述，此等腰三角形的周长可以为17或11或14. 2.C 3.80°或20°或50°【解析】依题意，可分三种情况讨论： ①当CA=CB时，∠B=∠A=80°； ②当BA=BC时，∠C=∠A=80°，.∠B=180°- ∠A-∠C=20°； ③当AB=AC时，∠B=∠C=180°，∠A=50 2 综上所述，∠B的度数为80°或20°或50° 4.45°或75°或15或30°【解析】分以下五种情况讨论： ①如图①，当∠C为底角，AB=AC时. AD⊥BC,.BD=CD AD-BC.AD=BD=CD.C=45 图① 图② 下册参考答案 ②如图②，当∠C为底角，AB=BC,高在△ABC内部 AD-7BC.AB-BC.AD-AB, ∴.∠ABD=30°，∠C=75; ③如图③，当∠C为底角，AB=BC,高在△ABC外部 时.：AD=BC,AB=BC,AD=分AB. 1 .∠DBA=30°，.∠C=15°： C 图③ 图④ ④如图④，当∠C为顶角，AC=BC,高在△ABC内 部时 AD⊥BC,∴.∠ADC=90 AD-BC.AC-BC.AD-AC.C-0 1 ⑤如图⑤，当∠ACB为顶角，AC=BC,高在△ABC外 部时 AD⊥BC,∴.∠ADC=90 D C AD-TBC.AC-BC. 图⑤ AD=2AC,∠ACD=30, .∠ACB=150(不符合题意，舍去). 综上所述，锐角∠C的度数为45°或75°或15或30°. 5.15或75°【解析】，DE垂直平分AB, ∴.AE=BE,∴.∠BAE=∠ABE ∠AEB=80°，∠BAE=∠ABE=50°. 分以下两种情况讨论： ①如图①，△ABC是锐角三角形. :AB=AC,∠ABC=180-∠BAE=65. 2 ∴.∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°； ②如图②，△ABC是钝角三角形. ·AB=AC,∠ABC=∠BAE 2 =25°， ∴.∠EBC=∠ABE+∠ABC=75. 综上所述，∠EBC的度数为15°或75° 图① 图② 6.解：如图，在△ABC中，AB=AC,BD为 △ABC的中线，.AD=CD. ①当AB+AD=9cm,BC+CD=15cm时， .AD=CD,AB=AC, .∴.2AD+AD=9cm,∴.AD=CD=3cm, .'.AB=AC=6 cm,BC=12 cm. .AB+AC=12 cm=BC, 不能构成三角形，故舍去； 46 八年级数学BS版 ②当AB+AD=15cm,BC+CD=9cm时， 同理可得，AB=AC=10cm,BC=4cm. .AB-BC<AC<AB+BC, ∴能构成三角形， ∴这个等腰三角形底边的长为4cm. 综上所述，这个等腰三角形底边的长为4cm. 7.(1)011-1 (2)(一1，一2)或（一2,0）或(2,2) (3)4 8.20°或60°或80°【解析】AB=AC,∠B=40°， ∠AED=100°，∴∠EDB=60°，∠C=∠B=40° 分以下三种情况讨论： ①当点P在AB上时，如图①. .DE=DP. .∠DP,E=∠BED=180°-100° =80°， D ∴.∠EDP1=180°-80°-80 图① =20°： ②当点P在AC上，靠近点A时，如图②，过点D作 DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H,连接AD. :AB=AC,D为BC的中点， .∠BAD=∠CAD, ∴.DG=DH. :DE=DP2,DG=DH,∠DGEB D =∠DHP2=90°， 图② ∴GE=√ED2-GD,P,H=√P2D-DH, ..GE=P,H, .△DEG≌△DP2H(SSS), .∠GED=∠HP,D=80°， ∴.∠EDG=∠P2DH=90°-80°=10°. ,∠BGD=∠CHD=90°，∠C=∠B=40°， ∴.∠CDH=∠BDG=50°， .∠EDP2=180°-2×50°-2×10°=60°； ③当点P在AC上，靠近点C时，如图②. 同理证得△DEG≌△DP.H(SSS), ∴.∠EDG=∠PaDH=10°， ∴∠EDP3=∠EDP2十∠PDH+∠P2DH=80° 综上所述，∠EDP的度数为20°或60°或80°. 作图技巧专题三角形中的无刻度直尺作图 1.解：如图，BD即为所求 2.解：(1)如图①，AD即为所求. (2)如图②，BH即为所求. 图① 图② 3.解：(1)如图①，△ABC即为所求（答案不唯一） (2)如图②，△ABD即为所求. 图① 图② 4.解：(1)如图，△ABC即为所求 C (2)Sm=6X4-号×6x2-号×4X2- 2 ×4×2 =10. 5.解：（答案不唯一）(1)如图①，△ABD即为所求. (2)如图②，△ADF即为所求. 图① 图② 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.A2.C3.64.D 5.解：根据题意可得，AB=√22十4=2√5， AC=√2+1下=√5，BC=√/4+3=5， ∴.AB2+AC2=BC2, ∴.△ABC为直角三角形，∠BAC=90°， 六△ABC的面积为2AB·AC=5. 6.B 7.解：(1)证明：，∠1=∠2，.AB∥CD. ,∠3=∠4，∴.EFCD,.EF∥AB,.∠1=∠F (2)应用了“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行 同位角相等”这两个互逆的真命题. 8.C 9.69°【解析】.∠ACB=90°，∠A=24°， ∠B=90°-∠A=66. 由折叠的性质，得∠CED=∠B=66°，∠ECD= ∠ACB=45,·∠EDC=180°-∠ECD-∠CED 1 =69°. 10.解：(1)在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°， ∴.∠ACB=180°-30°-60°=90°. :CE平分∠ACB, 1 ∴∠ACE=∠BCE=2∠ACB=459, (2)证明：，CD⊥AB,∠B=60°， ∴.∠BCD=90°-60°=30°， ∴.∠DCF=∠BCE-∠BCD=15. ∠CDF=75°，∴∠CFD=180°-75°-15°=90°， .△CFD是直角三角形. 11.解：(1)证明：∠ACB=90°， ∴.∠CAE+∠CEF=90°. ,CD是AB边上的高，.CD⊥AB ∴.∠BAE+∠AFD=90°. :AE平分∠BAC,∠CAE=∠BAE, ∴∠CEF=∠AFD. :∠CFE=∠AFD,∴∠CFE=∠CEF. (2)相等.理由如下： AE平分∠BAC,∴.∠CAE=∠BAE. I∠CFE=∠ACD+∠CAE,∠CEF=∠B+ ∠BAE,∠ACD=∠B, ∴.∠CFE=∠CEF (3)∠M+∠CFE=90°.理由如下： :AE,AN分别平分∠BAC,∠BAG,∠BAC+∠BAG =180.∠EAN=2(∠BAC+∠BAG)=90, ∴.∠EAM=90°，.∠M+∠CEF=90. 由(2)，得∠CEF=∠CFE,∴.∠M+∠CFE=90°. 第2课时直角三角形全等的判定 1.A2.D3.A 4.解：)在R△ACD和Rt△AED中，AD=AD .∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴.DC=DE=3. (2)∠B=30°，∴.∠BAC=60°. 由(1)知，Rt△ACD≌Rt△AED, ∠CAD=∠EAD=3∠BAC=30, .∴.AD=2CD=6. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC=√JAD一CD= 3√5，∴.AB=2AC=63, 1 1 S△Am=2AB·DE=2X65X3=95. 5.D6.10 7.解：由画图可知，∠ABC=∠A'B'C'=90°，BC=B'C', AC=A'C',∴.Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). 8.C【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D,过点A' 作A'D'⊥B'C'于点D' ∠B=∠B'=30°，AB=A'B'=6,AD=A'D'=3. 依题意，可分以下四种情况讨论： D' 图① 图② B C'D' 图③ 图④ ①当点B,C在点D的两侧，点B',C‘在点D'的两侧 时，如图①②. ,AC=A'C'=4,AD=A'D'=3, .Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL),.∠C'=∠C=n°： ②当点B,C在点D的两侧，点B',C'在点D'的同侧 时，如图①③. 下册参考答案