第10讲 解题技巧专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形（3知识点+3大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第10讲解题技巧专题：“手拉手”模型 共顶点的等腰三角形 内容导航 预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习月标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠ACM仁∠BFM;④CF平分∠AFD. ☑知识点2：“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型 条件：如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠AFM=∠BCM=6O°；④CF平分∠BFD。 ☑知识点3：“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型 条件：如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD:③∠ANM=∠BCM-90°；④CN平分∠BND。 线 1/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 02 练题型强知识 【题型1“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型】 例1.(24-25八年级上·浙江杭州阶段练习)已知，在△ABC中，AB=AC. 图1 图2 图3 (I)如图1，在△ADE中，若AD=AE,且LDAE=LBAC,求证：CD=BE; (2)如图2，在△ADE中，若LDAE=LBAC=60°，且CD垂直平分AE,垂足为H,AD=6,CD=8,求 BD的长度？ (3)如图3，∠BAC=90°，∠ADB=45°，AD=√2，BD=4,则BC的长度？ 例2.(2425八年级上·云南玉溪·期中)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们 的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形 D 图1 图2 图3 (1)如图1，在“手拉手”图形中，AC=AB,AD=AE,∠BAC=∠DAE,若LAEC=40°，则∠ADB=_。 (2)如图2，ABC和△AED是等边三角形，连接BD,EC交于点O,求∠BOC的度数； (3)如图3，AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系 变式1.(24-25七年级上·重庆开州期中)如图1，等腰ABC和等腰ADE中，AB=AC,AD=AE,连 接BD、CE,利用所学知识解决下列问题： D 图1 图2 图3 (1)若∠BAC=∠DAE=35°，求证：BD=CE; 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)连接BE,当点D在线段BE上时： ①如图2，若∠BAC=∠DAE=60°，则∠BEC的度数为-，线段BD与CE之间的数量关系是-： ②如图3，若LBAC=∠DAE=90°，AM为ADE中DE边上的高，求出∠BEC的度数以及线段AM、BE、 CE之间的数量关系，并说明理由. 【题型2“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型】 例3.(25-26八年级上·四川德阳·月考)如图，△ABD,△AEC都是等边三角形，CD与BE交于点H,连接 AH D (I)求证：DC=BE; (2)求∠AHD的度数； 例4.(25-26八年级上·四川自贡·期末)已知：如图，点B在线段AD上，ABC和BDE都是等边三角形， 且在AD同侧，连接AE交BC于点G,连接CD交BE于点H,交AE于点O,连接GH. A B D (I)求证：AE=CD; (2)求∠A0C的度数. 变式1.(25-26八年级上四川成都期中)己知△ABC是等边三角形，点D为射线BC上一动点，连接AD, 以AD为边在直线AD右侧作等边△ADE, D 图1 图2 图3 (I)如图1，点D在线段BC上，连接CE,若AB=8,且CE=2,求线段AD的长： (2)如图2，点D是BC延长线上一点，过点E作EF⊥AC于点F,求证：CF=AF+CD; (3)如图3，若AB=12,点D在射线BC上运动，取AC中点G,连接EG,求EG的最小值及此时△DCE的 3/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 面积. 【题型3“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型】 例5.(25-26八年级上浙江宁波·月考)如图，等腰直角三角形ABC中，点D在斜边BC上，以AD为直角 边作等腰直角三角形ADE, D (I)求证：△ABD≌△ACE; (2)当AB=1,AD=DF时，求BD 例6.(25-26八年级上湖北襄阳·期中)如图1，在ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点， 连接AD,以AD为一边，A点为直角顶点，且在AD的右侧作等腰RtAADE,连接CE. E D B C D B D 图1 图2 图3 (1)如果AB=AC,∠BAC=90°，解答下面问题： ①如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），线段CE,BD之间的位置关系为-，数量关系为- ②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由. (2)如图3，如果AB≠AC,∠BAC≠90°，当∠BCA=45°，且∠DAC=60°时，若CE=4,求ADE的面积. 变式1.(25-26八年级上·湖北黄冈期中)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把 它们的底角顶点连接起来， D 图1 图2 图3 则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (I)【发现问题】如图1，△ABC和aADE是顶角相等的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD=CE (2)【解决问题】如图2，若△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，LBAC=∠DAE=90°，点B、D、E在同 4/10 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一条直线上，AM为△DAE中DE边上的高，连接BE,求证：BE=CE+2AM, (3)【尝试探究】如图3，在(2)问的条件下，延长AM交BC于点P,BE与AC交于点N,连接PN, ∠APB=∠NPC,AM:PM=3:2,CN=7.5,求BE的长度. 03串知识识框架 知识点1：“手拉手"模型之共顶点双等 腰三角形模型 “手拉手"模型一共顶点 知识点2："手拉手"模型之共顶点双等 的等腰三角形 边三角形模型 知识点3：“手拉手"模型之共顶点双等 腰直角三角形模型 04过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级上浙江杭州期中)如下图，ABC和aDEC均为等腰直角三角形，点B,D,E在同一直 线上，连接AD,BD.若AC=√O,EC=√2，求线段AD的长是() R A.1+1 B.1+√10 C.4 +而 D. 2 2.(25-26八年级上·湖南衡阳·月考)如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB,点D是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接 BE、EC,下列判断正确的有() 5/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D C ①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④SAEc=2S.AB A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26八年级上·河北邯郸·期中)如图，C为线段AE上一动点.（不与A,E重合），在AE同侧分别作 等边ABC和等边△ECD,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PO,则有以 下五个结论：①AD=BE;②PQ∥AE;③AB=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.其中正确的有() B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.(25-26八年级上·天津西青期中)如图，分别以ABC的边AB,AC为边，在ABC的外侧作等边 △ABD和等边△ACE,连接BE,CD相交于点O,CD与AB相交于点M,BE与AC相交于点N,连接 MN,A0有下列结论：①BE=CD;②MN∥BC;③OA平分∠D0E;④LBOC=120°其中，正确结论 的个数是() E A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 5.(25-26八年级上·浙江温州期中)如图，AC=BC=4,DC=EC=2,LACB=∠ECD=90°，且ED平分 ∠BDC,则AE=一· B 6.(25-26八年级上浙江温州期中)如图，在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE, 6/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ABC=∠ADE=72°，∠ECD=45°，则∠BEC的度数为 B 7.(25-26八年级上山东淄博·月考)如图，在ABC中，AC=2,AB=4,分别以AC，BC为边向外作 正△ACD和正△BCE,连接AE,在ABC的边BC变化过程中，当AE取最长时，则BC的长为· 8.(25-26八年级上山东日照期中)如图，ABC和ADE均为等腰直角三角形，且点C,D,E在同一 条直线上，连接BD,BE,则以下四个结论： ①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=60°；③BD⊥CE;④LBAE+∠DAC=180°，其中正确的个数是 三、解答题 9.(25-26八年级上江西赣州期中)如图，ABC为任意三角形，以边AB,AC为边分别向外作等腰三角 形ABD和等腰三角形ACE,AB=AD,AC=AE,且∠DAB=∠CAE,连接CD,BE并且相交于点P. E (I)求证：CD=BE; (②)若∠DAB=∠CAE=65°，求∠DPB的度数， 10.(2025八年级上四川成都.专题练习)如图，ABC和△DCE都是等腰直角三角形， LACB=∠DCE=90°，CA=CB,CD=CE,连接AE,BD. 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (I)证明：△ACE≌aBCD; (2)若CA=CB=6,AD=22,且∠CAD=45°，求CE的长. 11.(25-26八年级上云南昭通·月考)如图，ABC是等边三角形，AB=10,AD是边BC上的高，点E在 边AD上，连接BE,在其下方作BF,使BE=BF,LBEF=6O°，连接DF,CF,EF. D (I)当BDE是等腰三角形时，求出∠ABF的度数： (2)求证：△ABE≌△CBF; (3)当CDF是等腰三角形时，求出∠BDF的度数 12.(25-26八年级上甘肃平凉期中)如图①，CA=CB,CD=CE,LACB=∠DCE=a,AD,BE交于点 M,AD,BC交于点O,连接CM. B 图① 图② (I)求证：BE=AD; (2)用含a的式子表示∠AMB的度数； (3)当a=60°时，分别取AD,BE的中点P,Q,连接CP,CQ,PQ,如图②所示，判断△CPQ的形状，并加以 证明. 13.(25-26八年级上天津·期中)(1)如图1，△ABD,△AEC都是等边三角形，连接BE,CD相交于点 O,求证：△DAC≌△BAE; (2)如图2，△ABD,△AEC都是等边三角形，点C在BD边上，过E作EF垂直AB于F,求证： AF=BC+BF; (3)如图3，△ABD是等边三角形，在ABC中，AB=AC,∠BAC<60°，连接CD,AE平分∠DAC交 CB延长线于点E,交CD于点F,则∠AEC的度数为，（直接写出答案） 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 】 4 图1 图2 图3 14.(25-26八年级上·安徽滁州月考)如图，在ABC和ABC中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,连 接BE,CF, 图1 图2 图3 【发现问题】(1)如图1，若∠BAC=30°，延长BE,交CF于点D,则BE与CF的数量关系是 ∠BDC的度数为 【类比探究】(2)如图2，若∠BAC=I20°，延长BE,FC,相交于点D,请猜想BE与CF的数量关系及 ∠BDC的度数，并说明理由. 【拓展延伸】(3)如图3，若LBAC=90°，BE,CF相交于点D,连接BF,CE,若CF=8,求四边形 FBCE的面积 15.(25-26八年级上广东惠州月考)如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、 BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE、BD交于点P. C B 图1 图2 图3 (1)观察猜想 AE与BD的数量关系，请直接写出结论 (2)数学思考 如图2，当点C在线段AB外时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正 确结论再给予证明； (3)拓展应用 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED=∠BEC=90°，AE=DE,BE=CE,对角线AC、 BD交于点P,AC=10 ①求证AC⊥BD; ②求四边形ABCD的面积. 10/10 第10讲 解题技巧专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。 知识点2：“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型 条件：如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 知识点3：“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型 条件：如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 【题型1 “手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型】 例1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在中，． (1)如图，在中，若，且，求证：； (2)如图，在中，若，且垂直平分，垂足为，，，求的长度？ (3)如图，，，，，则的长度？ 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】由，得出，由证得，即可得出结论； 连接，先证是等边三角形，再由垂直平分，得出，由，得出，，得出，，由勾股定理即可得出结果； 将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于，则，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 是等边三角形， 垂直平分， ， 由可知：， ，， ， ， ； （3）解：将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于， 则， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， ． 例2．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，在“手拉手”图形中，，若，则 (2)如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，求的度数； (3)如图3，，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)40 (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，再根据全等三角形的性质和三角形内角和求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式1．（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图1，等腰和等腰中，，，连接、，利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点D在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的高，求出的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、等腰三角形的判定与性质． （1）由等角减同角，于是利用证明即可得到证明； （2）①由题意易得和均是等边三角形，同（1）证明，得到，，由平角的定义得，则； ②由题意易得为等腰直角三角形，同（1）证明，得到，，由平角的定义得，则，由等腰直角三角形的性质可得，于是可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①∵，，， ∴和均是等边三角形，， 同（1）可证明， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； ②，，理由如下： 同（1）可证明， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，为中边上的高， ∴， ∴． 【题型2 “手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型】 例3．（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，都是等边三角形，与交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得，进而可得，利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）过点作于，于，根据全等三角形的性质可得，结合三角形外角的定义和性质证明，  得到，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，根据“在角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上”即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）设交于，过点作于，于， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 又， ． 例4．（25-26八年级上·四川自贡·期末）已知：如图，点在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点，连接交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等边三角形的性质可证得，可求得； （2）由（1）中得，结合，和三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：，均为等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ； （2）解：由（1）知：. ， ，， ． 变式1．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． (1)如图1，点在线段上，连接，若，且，求线段的长； (2)如图2，点是延长线上一点，过点作于点，求证：； (3)如图3，若，点在射线上运动，取中点，连接，求的最小值及此时的面积． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 (3) 【分析】(1)根据等边三角形的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可知，过点作于点，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出的长度； (2)在上截取，连接，可证，根据全等三角形的性质可得，从而可证，根据全等三角形的性质可得，根据，可证结论成立； (3)连接，延长至点，由(1)可得：，根据全等三角形的性质可得，从而可知点在的外角的角平分线上运动，由垂线段最短可知，当时，最短，由勾股定理可以求出的值，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：和是等边三角形， ，，， ， 即， ， ， 如图1，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， 即的长为； （2）证明：如图2，在上截取，连接， 和是等边三角形， ，，， ， 即， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：如图3，连接，延长至点， 是等边三角形， ，， ， 由(1)可得：， ， ， 点在的外角的角平分线上运动， 由垂线段最短可知，当时，最短， 点是的中点， ， ，， ， ， ， 即的最小值为， 过作于H， ， ，， ， ， ， ， 的面积． 【题型3 “手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型】 例5．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，等腰直角三角形中，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形． (1)求证：； (2)当时，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理等知识． （1）通过等腰直角三角形的性质找出对应边和对应角的关系，利用全等三角形的判定定理(SAS)来证明两个三角形全等； （2）先根据等腰直角三角形的边长求出斜边长度，再通过角度关系推出边的关系，进而求出的长度． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，BC、DE为斜边， ， ， 在和中， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 例6．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边， A点为直角顶点，且在的右侧作等腰，连接． (1)如果，，解答下面问题： ①如图1，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． (2)如图3，如果，，当，且时，若，求的面积． 【答案】(1)①；；②结论仍然成立，理由见解析 (2)16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“手拉手模型”，并会通过辅助线构造模型是解题的关键． （1）①先证，再证，则可得，，进而可得；②结论仍然成立，方法同①即可证明； （2）过点作，交于点，构造等腰直角三角形，再同（1）中方法证明得到，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，过点A作于G，则都是等腰直角三角形，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：；； ②结论仍然成立，理由如下： ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴结论仍然成立； （2）解：∵，且， ∴； 如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点A作于G，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级上·湖北黄冈·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来， 则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【发现问题】如图1，和是顶角相等的等腰三角形，分别是底边，求证：； (2)【解决问题】如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，求证：． (3)【尝试探究】如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，求的长度． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解顶角相等的等腰三角形，掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意证明，即可求证； （2）根据题意证明，有等腰直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等量代换即可求解； （3）过点作于点，延长线于点，可证，得，结合题意得到，再，得，从而证明，得，设，则，，根据，，列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，为中边上的高， ∴，即， ∵， ∴； （3）解：如图所示，过点作于点，的延长线于点， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 在中，由是等腰直角三角形得，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，则， ∵由（2），，且， ∴， ∴， ∴，，，即， ∴，， ∵， 设， ∴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得，， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如下图，和均为等腰直角三角形，点在同一直线上，连接．若，求线段的长是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．过C作交于F，先根据已知条件和等腰直角三角形的性质证明，从而证明，可得，再求出，最后根据求解即可． 【详解】证明：如图， 过C作交于F， ． 和均为等腰直角三角形， ，，． ， 即． 在和中， ， ， ． ，， ，． ∴． ， ． ． ． ， ． ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）如图，在直角三角形中，，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接，下列判断正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由是锐角为的直角三角板、等腰三角形的性质及角的和差，即可得出，从而得到，由全等的性质判断其它三个选项是否正确即可． 本题考查的是全等三角形的性质和判定，等边对等角；熟练运用全等三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：，点D是的中点， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中，， ， 故①正确； （全等三角形的对应边相等）， 故②正确； （全等三角形的对应角相等）， ， ， 故③正确； ， ， ，， ， ， 故④正确． 综上分析，正确的有4个． 故选：D． 3．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③错误；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ， ∴，故③错误； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确． 故选：B． 4．（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，分别以的边，为边，在的外侧作等边和等边，连接，相交于点O，与相交于点M，与相交于点N，连接，有下列结论：①；②；③平分；④其中，正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题综合考查了等边三角形的性质，角的和差，全等三角形的判定与性质，重点掌握全等三角形的判定方法．由和是等边三角形得，，，再由角的和差得，可证明，根据全等三角形的性质得，，进而利用角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 如图，过A作于H，于I， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故③正确； ∵无法得出，不能得出，故②错误； 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，，，，且平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得到，则，根据勾股定理求出，证明，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在和中，，，，，则的度数为 ． 【答案】/9度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，利用全等三角形的对应角相等是解题的关键．如图，延长交于点，先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得：，证明△△，则，由8字形可得，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， ， 同理得：， ， ， 即， ，， △△， ， ， ， △中，， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东淄博·月考）如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连接，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理．根据等边三角形的性质证明，可得，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，并作，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴当点A，B，D共线时，最大，即最大． 过点C作于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理得． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和均为等腰直角三角形，且点，，在同一条直线上，连接，则以下四个结论： ①；②；③；④．其中正确的个数是 ． 【答案】3个 【分析】本题主要考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是关键． 根据题意可证，结合三角形内角和定理，周角的计算即可判定． 【详解】解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，，，， ，即． 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ，故②不正确； ， ，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 故答案为：3个． 三、解答题 9．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，为任意三角形，以边为边分别向外作等腰三角形和等腰三角形，，，且，连接并且相交于点P． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据得到得到，证明即可得证； （2）根据三角形的全等判定和性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等式的性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等式的性质，熟练掌握等腰的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（2025八年级上·四川成都·专题练习）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接，． (1)证明：； (2)若，，且，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定，勾股定理；掌握全等三角形的判定方法，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）用即可得证； （2）过点作交于，由等腰三角形的判定得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， （）； （2）解：过点作交于， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．（25-26八年级上·云南昭通·月考）如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． (1)当是等腰三角形时，求出的度数； (2)求证：； (3)当是等腰三角形时，求出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的大小为或或 【分析】本题主要考查了等边三角形和全等三角形． （1）根据等边三角形性质得到，根据，是等腰三角形，得，得． （2）根据等边三角形性质得，，，得． （3）根据是等腰三角形，其中，若，则，得；若，则，得；若，则，得． 【详解】（1）解：由题意可知，， 为等边三角形， 又是等边三角形， ． 是边上的高， ， ． 是等腰三角形， ． ． ． （2）证明：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ，，，， ． 在和中， ； （3）解：的大小为或或； 理由如下： 当是等腰三角形时， 分三种情况讨论： 时， ， ， ， 时， 则， ， 时， 则． ． 综上，的大小为或或． 12．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图①，，，，交于点M，交于点O，连接． (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数； (3)当时，分别取的中点P，Q，连接，如图②所示，判断的形状，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)等边三角形，见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键 （1）利用证明，即可得； （2）根据得出，再利用三角形内角和定理，进一步即可得出的度数； （3）先证明，再根据全等三角形的性质，得出，然后得，进而得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2）解：∵， ， 在中，， = ， 在中， ； （3）解：为等边三角形． 证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等边三角形． 13．（25-26八年级上·天津·期中）（1）如图，，都是等边三角形，连接，相交于点，求证：； （2）如图，，都是等边三角形，点在边上，过作垂直于，求证：； （3）如图，是等边三角形，在中，，，连接，平分交延长线于点，交于点，则的度数为______．（直接写出答案） 【答案】（）见解析；（）见解析；（）． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线定义，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理等知识，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键． （）由，都是等边三角形，，，，则有，然后通过“”即可证明； （）连接，在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，得出，结合三线合一即可证明； （）设，则，根据角平分线定义得出 ，，根据等腰三角形的性质得出，最后利用求出结果即可． 【详解】（）证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （）证明：如图，连接，在上截取，连接， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴； （）解：∵是等边三角形， ∴，， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在和中，，连接BE，CF． 【发现问题】（1）如图1，若，延长，交于点，则与的数量关系是_________，的度数为_________． 【类比探究】（2）如图2，若，延长，，相交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，若，，相交于点，连接，．若，求四边形的面积． 【答案】（1）；；（2），见解析；（3） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识． 发现问题（1）：设与交于点O，证明，则，由三角形外角的性质即可得到的度数； 类比探究（2）：证明，则，由，得到，再根据三角形外角的性质得到的度数； 拓展延伸（3）：证明，则，进而证明根据 即可求解． 【详解】解：发现问题（1）：， 如下图，设与交于点O， ， ， 即， ， ， ， ， ； 类比探究（2）：，理由如下： 如下图，      ， ， 即， ， ， ， ； 拓展延伸（3）： ， 即， ， ， ， ∴ ． ∵． ∴四边形的面积． 15．（25-26八年级上·广东惠州·月考）如图1，点在线段上，（点不与、重合），分别以、为边在同侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点． (1)观察猜想 与的数量关系，请直接写出结论 (2)数学思考 如图2，当点在线段外时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明； (3)拓展应用 如图3，点为四边形内一点，且满足，，，对角线、交于点， ①求证； ②求四边形的面积． 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3)①见解析，②50 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）①先根据等边三角形的性质可得，则可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； ②先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，，再设交于点，根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可得； （3）①设交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再求出；②然后根据四边形的面积等于求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：结论仍然成立，证明如下： ∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴ （3）解：①如图3，设交于点， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴②四边形的面积为 ， 所以四边形的面积为50． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $