1.2.3 等边三角形的判定与含30 °角的直角三角形-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

第3课时 等边三角形的美 已课内基础闯关 知识点①等边三角形的判定 1.若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角 为60°，则这个三角形一定是 () A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 2.(教材变式)如图，△ABC是等边三角形，D, E,F为各边中点，则图中等边三角形共有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第2题图 第3题图 知识点②等边三角形的性质与判定的综合 3.如图，△ABC是等边三角形，点E,F分别 在边AB,AC上，且EF∥BC.若AB=6,BE =2,则EF的长是 () A.6 B.4 C.3 D.2 4.如图，在△ABC中，点D,E在BC上，且 BD=DE=AD=AE=EC,则∠BAC的度 数是 A.90° B.145 C.120° D.115 3,245 B D 第4题图 第5题图 5.将含30°角的直角三角尺和直尺按图所示的方 式放置.已知∠α=60°，点B,C对应的刻度分 别为1,3，则线段AB的长为 cm. 利定与含30°角的直角三角形 6.如右图，在四边形ABCD中， 已知AB=AD=8,∠A= 60°，BC=10,CD=6. (1)连接BD,试判断△ABD 的形状。 (2)求∠ADC的度数. 知识点③含30°角的直角三角形的性质 7.如图，小宇家（图中点O处）门前有一条东西 走向的公路.现测得有一水塔（图中点A处） 在他家北偏东60°方向的400m处，那么水 塔所在的位置到公路的距离AB是() A.800mB.400mC.200mD.100m 北 第7题图 第8题图 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB 边上的高，∠A=30°，BD=3,则AB的长为 A.6 B.9 C.12 D.15 9.(教材变式)如图所示的是 屋架设计图的一部分，点 E D是斜梁AB的中点，立 第9题图 柱DE垂直于横梁AC.若DE=1.8m,∠A =30°，则AB的长为 m. 下册第一章 11△ 已课外拓展提高 10.如图，△ABC是等边三角形，AB=10,D是 BC边上任意一点，DE⊥AB于点E,DF⊥1 AC于点F,则BE+CF的长是 ( A.5B.6 C.8 D.10 0 P P3 P2 第10题图 第11题图 11.(2025宿州灵璧月考)如图，在△AP1B中， BP1⊥AP1,AP1=2,∠A=30°，且P1Q1 ⊥AB,Q1P2⊥AP1,P2Q2⊥AB,Q2P3⊥ AP1,…,PnQn⊥AB,QnPm+1⊥AP. (1)P3Q3的长为 (2)P2025Q2o25的长为 12.（2025合肥瑶海区月考)如 右图，在△ABC中，DE是 边BC的垂直平分线，分别 交边AC,BC于点D,E, BF⊥AC,且F为线段AD的中点，延长 BF与ED交于点G,连接CG. (1)若D是AC的中点，求证：AC=2AB. (2)若∠ACB=30°，求证：△BGC为等边三 角形 金2 八年级数学BS版 综合能力提升 13.如图，在等边三角形ABC中，点E在AB 上，点D在CB的延长线上，且ED=CE. 图① 图② (1)如图①，当E为AB的中点时，AE DB(填“>“<”或“=”). (2)如图②，当E为AB边上任意一点时， 试确定线段AE与DB的大小关系，并说明 理由. 知识要点归纳 1.等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角 形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是 等边三角形；(3)有一个角等于60°的等腰三角形 是等边三角形 2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半.BC(h hhh .∴.h,+h2+hg=h. 11.解：(1)证明：，△ABC是等边三角形， .∠ABQ=∠CAP,AB=CA. 又：点P,Q的运动速度相同，∴AP=BQ. (AB=CA, 在△ABQ和△CAP中，∠ABQ=∠CAP, BQ=AP, ,∴.△ABQ≌△CAP(SAS). (2)∠QMC的大小不变.理由如下： ,△ABQ≌△CAP,∴.∠BAQ=∠ACP. :∠QMC=∠ACP+∠MAC, ∴.∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60. (3)∠QMC的大小不变.理由如下： 同理可得△ABQ≌△CAP,.∠BAQ=∠ACP. :∠QMC=∠BAQ+∠APM, ,.∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180 -60°=120°. 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.证明：，AE=AF,∴.∠E=∠AFE. ,EP⊥BC,∴.∠EPC=∠FPB=90, ∴.∠B=90°-∠BFP=90°-∠AFE,∠C=90° ∠E,∴∠B=∠C,∴.AB=AC, 即△ABC是等腰三角形. 变式题证明：如图，过点D作DG∥ AC交BC于点G. .DG∥AC, ∴.∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB. 又：DF=EF,∠GFD=∠CFE, B .△GDF≌△CEF(ASA), ..GD=CE. BD=CE,∴BD=GD, .∠B=∠DGB=∠ACB,AB=AC, 即△ABC是等腰三角形. 2.③④①②3.C 4.10【解析】.∠BAC=80°，∠ACB=20°， ∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=80°， ∴.∠BAC=∠ABC,∴.BC=AC=7m, ∴.AB+BC=3+7=10(m). 5.证明：，'∠BCD=50°，∠BDC=65°， .∠CBD=180°-50°-65°=65°， ∠BDC=∠CBD,∴.BC=CD. :∠ACF=50°，∠AEC=65, .∠A=180°-50°-65°=65°， .∠A=∠AEC,∴.AC=CE, .AC-BC=CE-CD,即AB=DE ,.DE的长就是A,B两点之间的距离 6.A 7.10【解析】如图，延长AD,交BC的延长线于点E. ,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD. .BD⊥AD,∴.∠ADB=∠BDE=90° 在△ADB和△EDB中， 44 八年级数学BS版 |∠ADB=∠EDB, BD=BD. ∠ABD=∠EBD, .△ADB≌△EDB(ASA), ∴.∠BAD=∠BED,AD=ED, :AD-吉AE. :∠ACB与∠BAD互补，即∠ACB+∠BAD=180°， ∠ACB+∠ACE=180°， ∴.∠BAD=∠ACE,∴∠BED=∠ACE, 1 AE=AC=20,.AD=2AE=10. 8.解：(1)证明：：BD是△ABC的角平分线，.∠CBD =∠EBD.IDE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD =∠EDB. (2)CD=ED.理由如下： :AB=AC,∠C=∠ABC.DE∥BC,∴∠ADE =∠C,∠AED=∠ABC,∴∠ADE=∠AED,AD =AE,∴CD=BE.:∠EBD=∠EDB,∴BE=ED, ∴.CD=ED 9.解：(1)图①中有5个等腰三角形，分别是△AEF, △OEB,△OFC,△OBC,△ABC. EF与BE,CF的数量关系是EF=BE+CF, (2)(I)中EF与BE,CF之间的数量关系仍然成立.理 由如下： .BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, .∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB. :EF∥BC,∴.∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC= ∠OCB=∠FCO,∴.OE=BE,OF=CF, ∴.EF=OE+OF=BE+CF (3)EF=BE-CF.理由如下： :BO平分∠ABC,CO平分∠ACG, ∴.∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCG. :OE∥BC,.∠FOC=∠OCG=∠FCO,∠EOB= ∠OBC=∠EBO, ∴.OF=CF,BE=OE,∴.EF=OE-OF=BE-CF. 第3课时等边三角形的判定 与含30°角的直角三角形 1.C2.D3.B4.C 5.2【解析】：直尺的两对边相互平行， ∴∠ACB=∠a=60°. :∠A=60°，∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180 -60°-60°=60°，∴.∠A=∠ABC=∠ACB,∴△ABC 是等边三角形，.AB=BC=3一1=2(cm). 6.解：(1).AB=AD=8, ∴△ABD是等腰三角形. :∠A=60°，∴△ABD是等边三角形. (2),△ABD是等边三角形， .∠ADB=60°，AB=AD=BD=8. .BC=10,CD=6,..CD2+BD2=BC2 △BCD为直角三角形，且∠BDC=90°， ∴.∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°. 7.C 8.C【解析】：∠ACB=90°，∠A=30°，.∠B=90°- 30°=60°.：CD是AB边上的高，∴.∠CDB=90°， ∴.∠BCD=90°-60°=30°.在Rt△CDB中，∠BCD= 30°，∴.BC=2BD=6.在Rt△ACB中，∠A=30°， .AB=2BC=12. 9.7.2 10.A【解析】：△ABC是等边三角形， .∠B=∠C=60°，BC=AB=10. :DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠DEB=∠DFC=90°， ∠BDE=∠CDF=30,BE=2BD,CF 1 C. .BE+CF-(BD+DC)-BC-X105 1. (2()【解折1I):B即，⊥AP,∠A =30.P,Q=2AP1=1. P1Q1⊥AB,∠A=30°，∠AP,Q1=60°， ∠P,QP2=30.PP,=2 1 13 AP2=2-2=2 1、33 P,Q:=2AP,=2X2=4 9 同理可得，P,Q。一16 (2)如图，令P.-1Q-1=x. 由题意可知，AP。-1=2x,P-P。 n P.PP 3 AP.=AP.-1-P-P.=2 P.Q.=Ap.=,即PQ.=pQ 同理可得，P-Q.4=2P-:Q P.Q.=()广pQ=()p04=… ()p,Q. PQ=1P.Q.=() 当n=2025时，有P,eQe=()》=(). 12.证明：(1)连接BD,如图. :BF⊥AC,且F为线段AD的 中点， ..AB=BD. :DE是边BC的垂直平分线， .BD=DC. ,D是AC的中点，.AD=DC, .∴.DC=AD=AB,则AC=2DC=2AB. (2)'BF⊥AC,∴.∠BFC=90°. :∠ACB=30°，.∠GBC=60°. DE是边BC的垂直平分线，∴.GB=GC, ∴△BGC为等边三角形. 13.解：(1)= (2)AE=DB.理由如下： 如图，过点E作EF∥BC,交AC于点F 在等边三角形ABC中，∠ABC= ∠ACB=∠A=60°，AB=BC=AC. :EF∥BC, DB .∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°， ∴∠AEF=∠AFE=∠A, △AEF是等边三角形，∴.AE=AF=EF, ..AB-AE=AC-AF,BE=FC. ED=CE,.∠D=∠ECB. ,∠D+∠BED=∠ABC=60°， ∠ECB+∠FCE=∠ACB=60°， .∠BED=∠FCE,∴.△DBE≌△EFC(SAS), .'DB=EF..'.AE=DB. 思想方法专题分类讨论思想在等腰 三角形中的应用 1.17或11或14【解析】依题意，可分以下三种情况 讨论： ①当2x-3为底边长时，腰长为x,5,∴.x=5, .2x-3=7,即三角形三边长分别为5,5,7. 根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴.此时等腰三角形的周长=5十5十7=17； ②当5为底边长时，腰长为x,2x一3， .x=2x一3，解得x=3,即三角形三边长分别为3,3,5. 根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴.此时等腰三角形的周长=3十3+5=11； ③当x为底边长时，腰长为5,2x一3， ∴.5=2x-3,解得x=4,即三角形三边长分别为5,5,4. 根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴.此时等腰三角形的周长=5+5+4=14. 综上所述，此等腰三角形的周长可以为17或11或14. 2.C 3.80°或20°或50°【解析】依题意，可分三种情况讨论： ①当CA=CB时，∠B=∠A=80°； ②当BA=BC时，∠C=∠A=80°，.∠B=180°- ∠A-∠C=20°； ③当AB=AC时，∠B=∠C=180°，∠A=50 2 综上所述，∠B的度数为80°或20°或50° 4.45°或75°或15或30°【解析】分以下五种情况讨论： ①如图①，当∠C为底角，AB=AC时. AD⊥BC,.BD=CD AD-BC.AD=BD=CD.C=45 图① 图② 下册参考答案