1.2.2 等腰三角形的判定与反证法-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

第2课时等腰三 已课内基础闯关 知识点①等腰三角形的判定 1.(教材变式)如下图，在△ABC中，点E在 CA的延长线上，EP⊥BC,垂足为P,EP交 AB于点F,且AE=AF.求证：△ABC是等 腰三角形 变式题如下图，点E在△ABC的边AC 的延长线上，点D在边AB上，DE交BC 于点F,DF=EF,BD=CE.求证：△ABC 是等腰三角形 知识点②反证法 2.(教材变式)已知在△ABC中，AB=AC,则 ∠B<90°.下面写出了用反证法证明这个命 题的四个步骤： ①∴.∠B十∠C十∠A>180°，这与三角形内 角和定理相矛盾； ②∴.∠B<90° 角形的判定与反证法 ③假设∠B≥90°； ④那么由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即 ∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序是 知识点③等腰三角形判定的应用 3.小宇和小恒玩一个游戏，他们同时从点B出 发，小宇沿正西方向行走，小恒沿北偏东30° 方向行走，一段时间后，小宇恰好在小恒的 南偏西60°方向上，如图所示.若小宇行走的 速度为1m/s,则小恒行走的速度为() A.0.5m/s B.0.8m/s C.1m/s D.1.2m/s B ↑北 30960 B C 第3题图 第4题图 4.原创题如图，一棵大树在一次强台风中先倾 斜再折断倒下，小智同学测得AB=3m,树干 与地面的夹角∠BAC=80°，倒下部分与地面 的夹角∠ACB=20°，树尖离树根的水平距离 AC=7m.原来树高为 m. 5.如下图，某小组要在河的一侧测量河对岸 A,B两点之间的距离.他们在河的一侧选一 点C,使点A,B,C在一条直线上，作射线 CF,测得∠ACF=50°，在射线CF上选取点 D和点E,使∠BDC=65°，∠AEC=65°.求 证：DE的长就是A,B两点之间的距离. DE F 下册第一章 已课外拓展提高 6.如图所示的是A,B,C三岛的平面图，C岛 在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北 偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方 向，则A,B,C三岛的连线组成一个() A.等腰直角三角形B.等腰三角形 C直角三角形 D.等边三角形 北 第6题图 第7题图 7.(2025抚顺期中)如图，在△ABC中，BD平 分∠ABC,BD⊥AD.若∠ACB与∠BAD 互补，AC=20,则AD的长为 8.(教材变式)如下图，在△ABC中，BD是 △ABC的角平分线，DE∥BC交AB于 点E (1)求证：∠EBD=∠EDB. (2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大 小关系，并说明理由， 金10 八年级数学BS版 已综合能力提升 9.推理能力如图①，在△ABC中，AB=AC, ∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过点O 作EF∥BC分别交AB,AC于点E,F 图① 图② 图③ (1)图①中有几个等腰三角形？猜想：EF与 BE,CF之间有怎样的数量关系？ (2)如图②，若AB≠AC,其他条件不变，在 (I)中EF与BE,CF之间的数量关系仍然 成立吗？请说明理由 (3)如图③，若△ABC中∠ABC的平分线BO 与∠ACG的平分线CO交于点O,过点O作 OEBC,交AB于点E,交AC于点F.EF与 BE,C℉之间的数量关系又如何？请说明理由. 知识要点归纳 1.等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是 等腰三角形（简述为等角对等边） 2.反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立， 然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立，这种证明方法称为反证法.(hh. ,.h,十h2十h3=h. 11.解：(1)证明：△ABC是等边三角形， .∠ABQ=∠CAP,AB=CA, 又：点P,Q的运动速度相同，∴AP=BQ. (AB=CA, 在△ABQ和△CAP中，{∠ABQ=∠CAP, BQ=AP, .△ABQ≌△CAP(SAS). (2)∠QMC的大小不变.理由如下： .'△ABQ≌△CAP,∴.∠BAQ=∠ACP .∠QMC=∠ACP+∠MAC, ∴.∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60. (3)∠QMC的大小不变.理由如下： 同理可得△ABQ≌△CAP,.∠BAQ=∠ACP. ∠QMC=∠BAQ+∠APM, ∴.∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180 -60°=120°. 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.证明：AE=AF,.∠E=∠AFE. ,EP⊥BC,∴·∠EPC=∠FPB=90°， .∠B=90°-∠BFP=90°-∠AFE,∠C=90° ∠E,.∠B=∠C,.AB=AC, 即△ABC是等腰三角形. 变式题证明：如图，过点D作DG∥ AC交BC于点G. DG∥AC, .∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB 又：DF=EF,∠GFD=∠CFE, B4 G ∴.△GDF≌△CEF(ASA), ..GD=CE. .BD=CE,.'.BD=GD, ∴.∠B=∠DGB=∠ACB,∴.AB=AC, 即△ABC是等腰三角形. 2.③④①②3.C 4.10【解析】：∠BAC=80°，∠ACB=20°， ∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=80°， .∠BAC=∠ABC,.BC=AC=7m, .AB+BC=3+7=10(m). 5.证明：，∠BCD=50°，∠BDC=65°， ∴.∠CBD=180°-50°-65°=65°， ∴.∠BDC=∠CBD,∴.BC=CD. .∠ACF=50°，∠AEC=65°， ∴.∠A=180°-50°-65°=65°， ∴.∠A=∠AEC,.AC=CE, .AC-BC=CE-CD,即AB=DE ∴DE的长就是A,B两点之间的距离 6.A 7.10【解析】如图，延长AD,交BC的延长线于点E. ,BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠EBD. BD⊥AD,∠ADB=∠BDE=90. 在△ADB和△EDB中， 44 八年级数学BS版 ∠ADB=∠EDB, BD=BD, ∠ABD=∠EBD, ∴.△ADB≌△EDB(ASA), ∴.∠BAD=∠BED,AD=ED, AD-名AE :∠ACB与∠BAD互补，即∠ACB+∠BAD=180°， ∠ACB+∠ACE=180°， ∴.∠BAD=∠ACE,∴∠BED=∠ACE, 1 AE-AC-=20,AD=2AE-10. 8.解：(1)证明：BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD =∠EBD.IDE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD =∠EDB. (2)CD=ED.理由如下： ,AB=AC,∠C=∠ABC.DE∥BC,∠ADE =∠C,∠AED=∠ABC,.∠ADE=∠AED,AD =AE,.CD=BE.:∠EBD=∠EDB,.BE=ED, ∴.CD=ED. 9.解：(1)图①中有5个等腰三角形，分别是△AEF, △OEB,△OFC,△OBC,△ABC. EF与BE,CF的数量关系是EF=BE+CF. (2)(1)中EF与BE,CF之间的数量关系仍然成立.理 由如下： .'BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴.∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB. ,EF∥BC,.∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC= ∠OCB=∠FCO,.OE=BE,OF=CF, ∴.EF=OE+OF=BE+CF (3)EF=BE-CF.理由如下： :BO平分∠ABC,CO平分∠ACG, .∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCG. ,OE∥BC,.∠FOC=∠OCG=∠FCO,∠EOB= ∠OBC=∠EBO, ..OF=CF.BE=OE,..EF=OE-OF=BE-CF. 第3课时等边三角形的判定 与含30°角的直角三角形 1.C2.D3.B4.C 5.2【解析】：直尺的两对边相互平行， ∠ACB=∠a=60°. :∠A=60°，.∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180 -60°-60°=60°，.∠A=∠ABC=∠ACB,∴.△ABC 是等边三角形，.AB=BC=3-1=2(cm). 6.解：(1)AB=AD=8, △ABD是等腰三角形. ,∠A=60°，∴△ABD是等边三角形. (2)△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60°，AB=AD=BD=8. .BC=10.CD=6,..CD2+BD2=BC2. ∴△BCD为直角三角形，且∠BDC=90°， ∴.∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°. 7.C