1.2.1 等腰三角形和等边三角形的性质-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

2等腰三角形 第1课时 等腰三角形和等边三角形的性质 已课内基础闯关 5.如下图，四边形ABCD的对角线AC,BD相 知识点① 等边对等角 交于点E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点F 在ED上，∠BAF=∠EAD. 1.在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，则 (1)求证：△ABC≌△AFD. △ABC的底角的度数为 ( (2)若BE=FE,∠ABD=70°，求∠EAF的 A.40° B.100° C.65° D.140° 度数 变式题如图，在△ABC 中，AB=AC,∠A=40°，则 ∠ACD的度数为() B A.70 B.100° 变式题图 C.110 D.140° 2.如下图，在△ABC中，点D在边BC上，AB =AD=CD,∠C=35°.求∠BAD的度数. 知识点③ 等边三角形的性质 6.如图，点D在等边三角形 知识点②等腰三角形的“三线合一” ABC的边CB的延长线 上，点E在线段BC上，连 3.如图，已知在锐角三角形ABC中，AB= 0 接AD,AE.若DA=DE, 第6题图 AC,AD是△ABC的角平分线，E是AD上 ∠DAB=20°，则∠EAC的度数为( 一点，连接EB,EC.若BE=5,BC=6,则 A.20° B.15° C.10° D.5 △EBC的面积是 ( ) 7.(教材变式)如下图，△ABC是等边三角形， A.12 B.9 C.6 D.3√3 P,Q是BC边上两点，AP=AQ,∠BAP= 20°.求∠AQB的度数. D B PO 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=35°，D为 BC边上的动点，连接AD.若△ABD为直角三 角形，则∠DAC的度数为 下册第一章 已课外拓展提高 综合能力提升 8.(2025扬州)在如图所示的房屋人字梁架中， 11.推理能力如图①，P,Q分别是等边三角形 AB=AC,点D在BC上.下列条件不能说 ABC的边AB,BC上的动点（不与端点重 明AD⊥BC的是 合)，点P,Q分别从顶点A,B同时出发， A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C 且它们的运动速度相同，连接AQ,CP交 C.BD=CD D.AD平分∠BAC 于点M. (1)求证：△ABQ≌△CAP (2)当点P,Q分别在AB,BC边上运动时， ∠QMC的大小变化吗？若变化，请说明理 由；若不变，求出它的度数。 第8题图 第9题图 (3)如图②，若点P,Q运动到终点后继续 9.(2025合肥瑶海区月考)如图，AD是△ABC 在射线AB,BC上运动，直线AQ,CP交于 的角平分线，DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC 点M,则∠QMC的大小变化吗？若变化， 交ED的延长线于点F.若BC平分∠ABF, 请说明理由；若不变，求出它的度数 AE=2BF.下列4个结论中：①DE=DF; ②DB=DC;③AD⊥BC;④AB=3BF.其 中正确的共有 A.4个 B.3个C.2个D.1个 图① 图② 10.如下图，P为等边三角形ABC内的一点， 它到三边AB,AC,BC的距离分别为h1, h2,h3,△ABC的高AM=h,则h与h1, h2,h3之间有何数量关系？写出你的猜想 并加以证明. 知识要点归纳 1.等腰三角形的性质定理： (1)等边对等角 (2)“三线合一”， 2.等边三角形的性质定理：等边三角形的三个内 角都相等，并且每个角都等于60°， 48 八年级数学BS版第4课时多边形的外角和 1.D【解析】，正多边形的每个外角的度数为30°，.边 数为360°÷30°=12. 一题多解法《 正多边形的每个外角为30°，.每个内角的度 数为150°. 设这个正多边形的边数为n.由题意，得(n一2)· 180°=150°·n,解得n=12,∴.这个正多边形的 边数为12. 2.45°【解析】正八边形的外角和为360°，∴.每一个外 角的度数为360°÷8=45° 3.解：：∠1=∠2=∠3=∠4=75°，∴∠5=360°-∠1 ∠2-∠3-∠4=360°-75°×4=60°，.∠AED=180 -∠5=180°-60°=120°. 4.A 5.解：由题意，得(a-2)·180-360=90 解得a=12. 6.C【解析】设这个正多边形的边数为n,则(n一2)× 180°=1080°，解得n=8,∴.这个正多边形的每个外角 为360°÷8=45°. 7.18°【解析】如图，延长BA到点D, 则∠DAE=360° D 10 =36°，∠BAE=∠E =∠F=10-2)X180° 10 =144°.易得 ∠EAC=∠FCA,∠ABC=∠FCB. 四边形ACFE的内角和为360°， .∠EAC=∠FCA 360°-∠E-∠E=36°， 2 ∴∠DAC=∠DAE+∠EAC=72° 五边形ABCFE的内角和为(5-2)×180°=540°， ∠ABC=∠FCB=540-∠BAE-∠E-∠F 2 =54°， .∠ACB=∠DAC-∠ABC=72°-54°=18. 8.解：(1)设多边形的每一个内角的度数为x,则每一个 外角的度数为2工 1 由题意，得x十2x=180°，解得x=120°，2x=60, 360° “这个多边形的边数为60=6. 故这个多边形是六边形. (2)由(1)可知，该多边形是六边形， ∴.内角和=(6一2)×180°=720°. 故这个多边形的内角和为720°. 2等腰三角形 第1课时等腰三角形和等边三角形的性质 1.C变式题C 2.解：，AD=CD,.∠DAC=∠C=35°，.∠ADB= ∠DAC+∠C=70°.AB=AD,∴.∠B=∠ADB= 70°，∴.∠BAD=180°-∠B-∠ADB=40 3.A 4.20°或55°【解析】：AB=AC,∠B=35°， ∴∠B=∠C=35°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=110°. 如图，当△ABD为直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠BAD1=90时， ∠D1AC=∠BAC-∠BAD,= 110°-90°=20°； ②当∠AD,B=90°，即AD2⊥ B D BC时. .AB=AC, ∠D,AC=名∠BAC=2XI0=53 综上所述，∠DAC的度数为20°或55°. 5.解：(1)证明：：∠BAF=∠EAD, ,'.∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF,即∠BAC =∠FAD. 又AC=AD,∠ACB=∠ADB, .△ABC≌△AFD(ASA). (2)△ABC≌△AFD,∴.AB=AF :BE=FE,∴AE⊥BF,∠EAF=∠EAB, ∴.∠AEB=90°.∠ABD=70°， .∠EAB=180°-∠AEB-∠ABD=20°， ∴∠EAF=∠EAB=20°. 6.C 7.解：△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，∠APC= ∠BAP+∠B=80°. ,AP=AQ,∠AQB=∠APC=80°. 8.B 9.A【解析】：BF∥AC,∴∠C=∠CBF. ,BC平分∠ABF,,.∠ABC=∠CBF, ∴.∠C=∠ABC,.AB=AC ,AD是△ABC的角平分线， ∴.BD=CD,AD⊥BC,故结论②③正确. [∠EDC=∠FDB, 在△CDE与△BDF中，CD=BD, ∠C=∠DBF, ∴.△CDE≌△BDF(ASA), DE=DF,CE=BF,故结论①正确. AE=2BF,.AC=3BF,故结论④正确. 10.解：猜想：h1十h2十h3=h. 证明：如图，连接PA,PB,PC Samh SaPe=2AC·h2, Sare=2BC·h,SaA= 2BC·. S△PB+S△PAC+S△PC=S△ABC, ABA+ACA:+BC·-C ,△ABC是等边三角形，∴.AB=AC=BC, 下册参考答案 3 .BC(h hhh .∴.h,+h2+hg=h. 11.解：(1)证明：，△ABC是等边三角形， .∠ABQ=∠CAP,AB=CA. 又：点P,Q的运动速度相同，∴AP=BQ. (AB=CA, 在△ABQ和△CAP中，∠ABQ=∠CAP, BQ=AP, ,∴.△ABQ≌△CAP(SAS). (2)∠QMC的大小不变.理由如下： ,△ABQ≌△CAP,∴.∠BAQ=∠ACP. :∠QMC=∠ACP+∠MAC, ∴.∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60. (3)∠QMC的大小不变.理由如下： 同理可得△ABQ≌△CAP,.∠BAQ=∠ACP. :∠QMC=∠BAQ+∠APM, ,.∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180 -60°=120°. 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.证明：，AE=AF,∴.∠E=∠AFE. ,EP⊥BC,∴.∠EPC=∠FPB=90, ∴.∠B=90°-∠BFP=90°-∠AFE,∠C=90° ∠E,∴∠B=∠C,∴.AB=AC, 即△ABC是等腰三角形. 变式题证明：如图，过点D作DG∥ AC交BC于点G. .DG∥AC, ∴.∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB. 又：DF=EF,∠GFD=∠CFE, B .△GDF≌△CEF(ASA), ..GD=CE. BD=CE,∴BD=GD, .∠B=∠DGB=∠ACB,AB=AC, 即△ABC是等腰三角形. 2.③④①②3.C 4.10【解析】.∠BAC=80°，∠ACB=20°， ∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=80°， ∴.∠BAC=∠ABC,∴.BC=AC=7m, ∴.AB+BC=3+7=10(m). 5.证明：，'∠BCD=50°，∠BDC=65°， .∠CBD=180°-50°-65°=65°， ∠BDC=∠CBD,∴.BC=CD. :∠ACF=50°，∠AEC=65, .∠A=180°-50°-65°=65°， .∠A=∠AEC,∴.AC=CE, .AC-BC=CE-CD,即AB=DE ,.DE的长就是A,B两点之间的距离 6.A 7.10【解析】如图，延长AD,交BC的延长线于点E. ,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD. .BD⊥AD,∴.∠ADB=∠BDE=90° 在△ADB和△EDB中， 44 八年级数学BS版 |∠ADB=∠EDB, BD=BD. ∠ABD=∠EBD, .△ADB≌△EDB(ASA), ∴.∠BAD=∠BED,AD=ED, :AD-吉AE. :∠ACB与∠BAD互补，即∠ACB+∠BAD=180°， ∠ACB+∠ACE=180°， ∴.∠BAD=∠ACE,∴∠BED=∠ACE, 1 AE=AC=20,.AD=2AE=10. 8.解：(1)证明：：BD是△ABC的角平分线，.∠CBD =∠EBD.IDE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD =∠EDB. (2)CD=ED.理由如下： :AB=AC,∠C=∠ABC.DE∥BC,∴∠ADE =∠C,∠AED=∠ABC,∴∠ADE=∠AED,AD =AE,∴CD=BE.:∠EBD=∠EDB,∴BE=ED, ∴.CD=ED 9.解：(1)图①中有5个等腰三角形，分别是△AEF, △OEB,△OFC,△OBC,△ABC. EF与BE,CF的数量关系是EF=BE+CF, (2)(I)中EF与BE,CF之间的数量关系仍然成立.理 由如下： .BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, .∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB. :EF∥BC,∴.∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC= ∠OCB=∠FCO,∴.OE=BE,OF=CF, ∴.EF=OE+OF=BE+CF (3)EF=BE-CF.理由如下： :BO平分∠ABC,CO平分∠ACG, ∴.∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCG. :OE∥BC,.∠FOC=∠OCG=∠FCO,∠EOB= ∠OBC=∠EBO, ∴.OF=CF,BE=OE,∴.EF=OE-OF=BE-CF. 第3课时等边三角形的判定 与含30°角的直角三角形 1.C2.D3.B4.C 5.2【解析】：直尺的两对边相互平行， ∴∠ACB=∠a=60°. :∠A=60°，∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180 -60°-60°=60°，∴.∠A=∠ABC=∠ACB,∴△ABC 是等边三角形，.AB=BC=3一1=2(cm). 6.解：(1).AB=AD=8, ∴△ABD是等腰三角形. :∠A=60°，∴△ABD是等边三角形. (2),△ABD是等边三角形， .∠ADB=60°，AB=AD=BD=8. .BC=10,CD=6,..CD2+BD2=BC2 △BCD为直角三角形，且∠BDC=90°， ∴.∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°. 7.C