第七章 单元2 二项分布与超几何分布、正态分布 A卷 基础达标-【金试卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册&选择性必修第三册同步单元双测卷（人教A版）

单元2二项分布与超几何分布、正态分布 A卷基础达标 1.A设通过测试”为事件A,则PCA)= 用X表示通过测试的次数，则X~B(3,了） 格有1次道过的瓶率是P(X=1)=C×号×(1-号)广-告故选A 2.B设此射手每次射击的命中率为x,则每次射击不能命中的概率为1一x,由题意知 四次村主金都设有命中日标的概率为1一9-所以(1一1=解得x=号或 x=(舍去).故选B. 3.A该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，有两 天出现大湘概率为CX(号)×号-号有三天出现大期概率为C×(号)》-号， 所以至少有两天出现大潮的概率为号十一碧故选A 4.C某同学每次投篮的命中率为0.6，该同学投篮10次，是独立重复试验，所以他投 篮10次命中的次数X是随机变量，且X~B(10,0.6),说法①正确； 某福彩中奖概率为p,某人一次买了8张，相当于买了8次，每次中奖的概率都为p,相当 于做了8次独立重复试验，所以中奖张数X是随机变量，且X~B(8,p),说法②正确： 由题可知，⑤中P(X=1D=号，P(X=2》=×号-子P(X=3)=名×号×号 8,所以“从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止”的摸 球次教X不限从B(,）,说法回错误.故选C 5.A一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则试验的样本空间包 含的样本点总数n=C0,事件“恰有1件不合格品”包含的样本点个数m=CC, :恰有1件不合格品的概率P=m-CC.故选A n Cioo 6.C:近a服从N100,2),且P(g<120)=a,P(80<120）=6,号+a =7即2a=1-6,又8ab≥6+2a,461-6)≥19(26-102≤0，则6=号a 子a+b=是a-b=-子，放A,B,D均不正确，C正确，故选C 7.D法一（公式法）由题意得随机变量X服从超几何分布n=2,M=4,N=10,则E (x0=兴-2x 法二由题意知，X的可能取值为01,2，P(X=0)二C-指-，P(X=1D -器音0X-》--是-品 C04515 则X的分布列为 0 2 1 3 15 15 EX)=1X是+2X号=手故选D 8.AD由题图易知甲地数学的平均成绩为90，小于乙地数学的平均成绩100，A正确； 由题图易知乙地的数学成绩比甲地的集中，故乙地数学成绩的方差比甲地的小，故 乙地数学成绩的离散程度比甲地的小，B错误； P(90≤X<94)=P(86≤X<90)<P(82≤X<90),C错误； 若o2=8,则P(92≤Y≤108)≈0.6827，根据正态曲线的对称性得P(92≤Y≤100)≈ 0.9827,易知P(76≤Y≤124)≈0.9973，根据正态曲线的对称性得P(100≤Y≤ 2 124)≈0.9973，故P(92≤Y≤124)≈0.9973十0.6827=0.84，D正确.故选AD. 2 2 9.ABD若随机支量X~B(6,号)，则PX=3)=C×(合)×(1-号)'=品所以 A正确. 因为随机变量X~N(2,2),所以正态曲线的对称轴是直线x=2, 又P(X<4)=0.9,所以P(0<X<4)=0.8,所以P(0<X<2)=P(2<X<4)= 0.4,所以B正确. E(2X+3)=2E(X)十3，D(2X+3)=4D(X),所以C错误. 由题意可知，E()=1一x,D(日=x(1一x)=一x2十x,由一次函数和二次函数的性质知，当0 <<2时，E)随着x的增大而减小，D随着x的增大而增大，所以D正确.故选ABD 10,解析由随机变量B(3,号)可得D()=3×号×(1-号)=号，则D(3-1) =32D()=6. 答案6 1.解析当b=2时，P(X=k)=C×(2)×(1-2)《=(2)C, ∴，当=10时，P(X=)取到最大值. 答案10 12.解析设q=1一p,为试验成功的次数，则由二项分布的方差公式可以得到D() =p9≤n·(2空)=冬，当且收当=9=号时等号成立，所以D19a=100X 之×分=25，所以(=历=5， 答案25 13.解(1)设走1路线，他最多遥到1次红灯为事件A,则P(4)=C×(3)°+C x号×（合）=日 (2)依题意，X的可能取值为01,2，则P(X=0)=(1-)×(1-号)=0 P(x-1)-是×(1-)+(1-)x号-品p(X=2)=是×号-易所以随 机变量X的分布列为 0 1 2 1 9 9 10 2020 故E(X)=品×0+品×1+号×2-器 14解（1)设M=小浆落入A聚"，N=小球落入B袋”，则P(0=号×号×号十 号×号×号-日所以P(=1-P0=1-号-号 (②)易知B(4,号)尉的分布列为P(=)=C(号)广（传）》=0,12,3， 0,E=4X号-号D=4X号×- 15,解(1)根据题中的频率分布直方图可得该工厂所生产的消毒液的质量指标值的 平均数为(5×0.010+15×0.020+25×0.030+35×0.025+45×0.015)×10= 26.5, 结合题意得该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(26.5,11. 952),∴.P(14.55<Z≤62.35)=P(μ-o<Z≤u+3a) =×[P-3g<Z≤r+3a)+P4-o<z≤+o] -0.9973+0.6827=0.84, 2 ∴.0.84×100000=84000，.估计该厂近期生产的10万瓶消毒液中，B级消毒液的 总瓶数为84000. (2)设每瓶消毒液的利润为y元，则Y的可能取值为10,5，一10，易得P(Y=10)= P(Z>62.35)=P(Z>μ+3a) =2×[1-P(g-3g<Z≤r+3a]=2×1-0.9973)=0.0135, P(Y=5)=P(14.55<Z≤62.35)=0.84， P(Y=-10)=1-0.00135-0.84=0.15865,.Y的分布列为 Y 10 5 -10 0.00135 0.84 0.15865 ∴.每瓶消毒液的平均利润为E(Y)=10×0.00135+5×0.84+(一10)×0.15865 =2.627(元)，.生产一年消毒液且全部销售出去所获利润为2.627×1=2.627（千 万元)，又2.627>2，∴.该厂能在一年之内收回投资. 16,解1)由题意知的可能取值为1,2,3，其中P(=1)=CC-子，P(G=2)= C餐一号P6=)CC一需所以者生甲正爽完成题月道致的分布列为 C 入y 1 5 所以E)=1X号+2×号+3× 5=2. (2)设考生乙正确完成实验操作的题目道数为7，则心B(3,号)，其分布列为 P)-C(号》产（信）》6=01.28，所以B=3x号-2 国为D)=1-2)2×号+(2-22×号+(3-2)2×号=号，D()=3×号×号 =号，所以D(<D(0. 因为P≥2》=号+号=0.8，P(≥2)号+品0.74，所以P(≥2)>P(≥2》. ①从做对题数的数学期望来看，两人水平相当；从做对题数的方差来看，甲较稳定； ②从至少正确完成2题的概率来看，甲通过考查的可能性更大，因此，可以判断甲 的实验操作能力更强。 B卷能力提升 1.C设抽到的次品数为X,由题可知X服从超几何分布，所以抽到的次品数的均值E D=就造C 2.B由题意可知X~B(,号），所以号=E(X)=24,则n=36. 所以D0=号×(-号)=36号×号-8拔选B 3.B由题老可得1-(（1-专)八>0.9，即（号）》”<0.1，则2<0则20>10，又29=8， 24=16,n∈N*,.n的最小值是4.故选B. 4.C,随机变量X服从正态分布N(100,4),.P(98≤X≤102)=0.6827，P(96≤X ≤104)=0.9545，P(102≤X≤104)=7(0.9545-0.6827)=0.1359，又P(m≤ X≤104)=0.1359，.m=102.故选C 5.C白球从起，点到第③个格子一共碰了7次钉子，其中要向左边落下5次，向右边落 下2次，而向左或向右落下的概率均为？，则向右落下的次数服从二项分布，所以所 求的版率力C×(位》×（合）°-品故选C 6,AA造项，报据二项分布的期塑，方差公式可得30。》-20郎得p=子，A选 项中命题错误； 根据方差的定义容易判断B选项中命题正确； 根据正态由线的对称性及题意得P(-1<≤0)=P(0≤<1)=号-P(>1)=号 一p,C选项中命题正确； 参考答案77单元2二项分布与超几何分布、正态分布 A卷基础达标 测试建议用时：80分钟满分：100分 凿 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.某学生通过某英语听力测试的概率为}，他连续测试3次，每次 密 测试的结果相互独立，则其中恰有1次通过的概率是 () A号 R号 c品 D品 封 2.一射手对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概 樂 案为80， 81,则此射手每次射击的命中率是 () A写 B号 c D 3.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海 内 上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这 是一种自然现象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每 不 天出现大潮的概率均为号，则该地在该季节连续三天内，至少有 两天出现大潮的概率为 ) 設 准 A器 BE C.2 D.是 4.下列说法正确的个数是 ( ) 答 ①某同学每次投篮的命中率为0.6，则他投篮10次命中的次数X 是随机变量，且X~B(10,0.6); ②某福彩中奖概率为p,某人一次买了8张，则中奖张数X是随 茶 题 机变量，且X~B(8,p); ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白 球为止，则摸球次数X是随机变量，且X~B(,2）: 1) A.0 B.1 C.2 D.3 5.一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有 丝 1件不合格品的概率是 () 部 A.CiC B. C C.1- C C2 D.1- C Cioo 6.2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收 费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站中秋节 前后车辆通行数量ξ近似服从N(1000,62),若P(>1200)= a,P(800<<1200)=b,则当8ab≥b+2a时，下列说法正确的 是 () B.6= Ca+b=星 D.a-6=专 二、多项选择题（本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分) 7.学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班 有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表 示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)等于 () A是 Bg c D.等 8.甲、乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩X近似服 从N(41,o1)(o1>0),乙地学生的成绩Y近似服从N(2,o2)(o2 >0).甲、乙两地学生数学成绩的正态曲线如图所示，则() (附：若随机变量X~N(u,o2)(o<0),则P(μ一o≤X≤十σ)≈ 0.6827,P(μ-2o≤X≤十2o)≈0.9545，P(4-3o≤X≤μ+3o) ^≈0.9973) 0 90100 A.甲地数学的平均成绩比乙地的低 B.甲地数学成绩的离散程度比乙地的小 C.P(90≤X<94)>P(82≤X<90) D.若o2=8,则P(92≤Y≤124)≈0.84 9.下列说法中正确的是 A若随机变量X~B(6,》,则P(X=3)= B.已知随机变量X~N(2,o2)且P(X<4)=0.9,则P(0<X< 2)=0.4 C.E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)十3 D.已知随机变量满足P(=0)=x,P(E=1)=1一x,若0<x< ),则E()随着x的增大而减小，D(分随着x的增大而增大 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 10.已知随机变量B(3,号)，则D(35-1D= 1.如果X~B(20,p),当p=号且P(X=)取得最大值时，k= 12.设一次试验成功的概率为p(0<p<1),进行100次独立重复试 验，当=时，成功次数的标准最大，最大值是 四、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 13.(10分)张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到 公司上班有L1,L2两条路线（如图），L1路线上有A1,A2,A3三 个路口，各路口遇到红灯的概率均为路线上有B,B,两 个路口，各路口退到红灯的概率依次为子，号 (1)若走L1路线，求他最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L?路线，求他遇到红灯的次数X的分布列和数学 期望 选择性必修第三册29 14.(10分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容 器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程 ●● 中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B 6●● 袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下 落的概率分别是}，2 B 3’31 (1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率； (2)在容器的人口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小 球的个数，求的均值和方差. 30选择性必修第三册 15.(10分)某市2022年初新建一家生 +频率组距 产消毒液的工厂，质检部门现从这家0.030 0.025 工厂中随机抽取了100瓶消毒液进0.020 0.015 行检测，得到该厂所生产的消毒液的0.010 0.005 质量指标值的频率分布直方图如图 01020304050质量指标值 所示（同一组数据用该组数据的区间 中点值作代表，视频率为概率).设该厂生产的消毒液的质量指 标值Z近似地服从正态分布N(4,o2),其中μ近似为样本平均 数，并已求得o=11.95.该厂决定将消毒液分为A、B、C三个等 级，其中质量指标值Z不高于14.55的为C级，高于62.35的 为A级，其余的为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题： (1)该厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的 总瓶数； (2)已知每瓶消毒液的等级与售价X(单位：元/瓶)的关系如表 所示： 等级 A B C 售价X 30 25 10 假定该厂一年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能 销售出去.若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为2千 万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用），问：该厂能否在一 年之内收回投资？试说明理由。 附：若X~N(4,o2),则P(μ一o<X≤十o)=0.6827,P(-2o <X≤μ+2a)=0.9545,P(-3o<X≤+3o)=0.9973. 16.（10分)学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选 题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验 操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便 可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2 道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为号，且每题正确 完成与否互不影响， (1)求考生甲正确完成题目道数的分布列和数学期望； (2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力更强 及哪位通过考查的可能性更大