专题17.1 三角形的有关概念（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

本讲义聚焦三角形的有关概念这一核心知识点，系统梳理三角形的定义、基本元素（顶点、边、角）、分类标准（按边、按角）、三边关系及重要线段（高线、中线、角平分线），构建从概念理解到性质应用的完整知识脉络，为后续学习三角形全等、相似等内容提供基础支架。 该资料通过“即学即练”即时巩固概念，分层设计题型（如概念辨析、三边关系判断、作图题、面积问题）培养几何直观与推理意识，例如钝角三角形高的画法强化空间观念，中线分面积等积问题提升运算能力。课中助力教师实施分层教学，课后帮助学生查漏补缺，深化对数学严谨性的理解与应用能力。

专题17.1三角形的有关概念 教学目标 1.理解三角形的严格定义，明确“不在同一直线上的三点，用线段两两连接”的核心要素； 2.掌握三角形的基本元素（边、顶点、内角）及相关概念（高线、中线、角平分线），能准确标注三角形的边与角; 3.能正确画出任意三角形的高、中线、角平分线，知晓三条中线、三条角平分线的交点均在三角形内部，了解不同类型三角形（锐角、直角、钝角）的高的位置差异； 4.初步掌握三角形按边（不等边、等腰、等边）和按角（锐角、直角、钝角）的分类标准，能根据已知条件判断三角形的类型; 5.通过三角形面积的计算强化对三角形中线、高线的理解与认识. 教学重难点 1.重点 通过对三角形的定义及相关概念的学习体验数学的严谨性逻辑性； 2.难点 钝角三角形高线的画法以及三角形的分类方法。 知识点01 三角形的有关概念 1.三角形的定义 定义: 不在同一直线上的三点用线段两两连接而成的图形叫作三角形. 2.三角形的基本元素 其中，三个点叫作三角形的顶点；连接顶点的三条线段叫作三角形的边，边的长度叫作边长；顶点处两边组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 【即学即练】 1.判断：用线段把三点两两连接而成的图形叫作三角形.（ ） 错.强调是不在同一直线上的三点. 2.填空： 如图，以A、B、C为顶点的三角形记作△ABC；三角形的三条边是线段AB、BC、CA； 三个角是∠ABC、∠ACB、∠BAC；其中a是∠BAC的对边，∠ABC的对边是记作边AC或边b,AB边所对的角是∠ACB； 知识点02 三角形的三边关系 1.三角不等式 如果三角形的三条边长分别是a、b、c,那么它们必定满足“三角不等式”,即a+b>c、b+c>a、c+a>b. 2.公理： 三角形的任意两边之和大于第三边. 利用不等式的性质，由上述公理可以推出“三角不等式”的推论； 3.推论：三角形任意两边的差小于第三边 总结：三角形任意一边的长大于另外两边之差，小于另外两边之和.a-c<b<a+c 【即学即练】 有两根长度分别为5cm、7cm的木棒，用长度为13cm的木棒与它们能拼成一个三角形吗?用长度为2cm的木棒呢? 解：用长度为13cm的木棒时，因为5+7=12<13，所以这三根木棒不能拼成三角形. 用长度为2cm的木棒时，因为2+5=7，所以这三根木棒也不能拼成三角形 知识点03 三角形的分类 1.按角分 （1）定义 三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. （2）直角三角形的表示方法 在直角三角形中，直角的两条边叫作直角边，直角所对的边叫作斜边.直角三角形可用符号“Rt△”表示，例如直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”,读作“直角三角形ABC”. （3）分类 三角形可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形这三类，每个三角形属于且只属于其中的一类. 按角分 2.按边分 （1）定义： 定义 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，特别地，三边都相等的三角形叫作等边三角形. （2）等腰直角三角形: 既是等腰三角形又是直角三角形的三角形叫作等腰直角三角形.例如，有 45°角的三角尺的形状是等腰直角三角形. （3）分类 三角形按边分，可以分为三边都不等的三角形和等腰三角形两大类，等边三角形和等腰直角三角形都是特特殊的等腰三角形. 按边分 【即学即练】 一个等腰三角形的一边长是5，周长是17，那么它的另外两边长是多少？ 解：设等腰三角形中不等于5的那条边长为x，则三角形的三边长分别为5、5、x；或x、x、5, 若5、5、x，由周长为17，可得方程5+5+x=17, 解之得x=7, 所以另外两边为5和7； 若三边长为x、x、5,由周长为17，可得方程x+x+5=17 解之得x=6 所以另外两边为6和6； 答：另外两边长为5和7或6和6； 知识点04 与三角形有关的线段 1. 三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形（此边上）的高； 提醒：垂足有可能落在边的延长线上，高有可能落在三角形的外部。 （2）探究不同三角形高的位置 锐角三角形的高都在三角形的内部； 直角三角形有两条高与两条直角边重合； 钝角三角形有两条高在三角形外部。 （2）根据高的位置分类讨论求角的度数 （4）利用等积法计算 2. 三角形的中线 （1）定义：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫作三角形（此边上）的中线； AD为中线 （2）重心：三角形三条中线的交点，三角形的重心一定在三角形内部； （3）应用：同（等）底等高的三角形面积相等 AD为中线⇒BD=DC⇒= 3. 三角形的角平分线 （1）定义：三角形的一个内角的平分线和这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫作三角形（此角）的角平分线； （2）内心：三角形的三条角平分线交于同一点，这个点叫作三角形的内心. 易错点：三角形的角平分线区别于角的平分线的，角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段. 【即学即练】 1.下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90，D、E在BC上的且BD=2CE=2DE=中线，AE⊥BC，垂足为E. （1） AB是△ABC中AC边上的高，AC是△ABC中AB边上的高； （2） AE是图中哪几个三角形的高? （3） 图中哪些线段是哪个三角形的中线？ （2）找出图中面积相等的两个三角形，并加以证明 解：（1）AB是△ABC中AC边上的高，AC是△ABC中AB边上的高； （2）AE是△ABC、△ABD、△ABE、△ADC、△ADE和△AEC的高； （3）AD是△ABC的BC边上的中线，AE是△ADC的DC边上的中线； （4）△ABD与△ACD的面积相等，△ADE和△ACE的面积相等 证明如下： ∵BD=DC ∴BD·AE=CD·AE. 由三角形的面积公式，可知△ABD与△ACD的面积相等 又∵2DE=2EC ∴DE=EC ∴DE·AE=EC·AE. 由三角形的面积公式，可知△ADE和△ACE的面积相等 题型01 三角形的分类及相关概念辨析 【典例1】下列分类正确的是（    ） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类即可求解． 【详解】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）. 【变式1】在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 【变式2】1．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式3】如图，D，E分别是的边，的中点，则下列说法中不正确的是（    ）．    A．的对边 B．是的中线 C． D．是的中线 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义分析各个选项． 【详解】解：A、在中，的对边是，正确，不符合题意； B、是的中线，正确，不符合题意； C、∵D，E分别是的边，的中点， ∴，正确，不符合题意； D、是的中线，选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式4】下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了三角形及与三角形有关的概念，掌握这些概念是解题的关键；根据三角形及其相关概念判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形，故原说法错误； ②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线才是射线，故原说法错误； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，直角三角形的高在三角形的直角顶点处，故原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，原说法正确； 故正确的只有④， 故选：D． 题型02 判断三条线段能否组成三角形 【典例1】已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．共有4种取法，由三角形三边关系定理分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：共有以下4种取法： 、、；、、；、、；、、． ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，能构成三角形， ∴能构成的三角形的个数是1个． 故选：A． 【变式1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．1，2，1 B．2，7，8 C．4，6，11 D．1.5，2.5，4 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．判断时只需验证较短两边的和是否大于最长边即可． 【详解】解：A. 1，2，1：较短边之和，等于最长边2，不能组成三角形． B. 2，7，8：较短边之和，满足条件，能组成三角形． C. 4，6，11：较短边之和，不能组成三角形． D. 1.5，2.5，4：较短边之和，等于最长边4，不能组成三角形． 故选B． 【变式2】下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】A．2，3，5：最小两边和为，等于最大边5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B．3，5，9：最小两边和为，小于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； C．3，6，9：最小两边和为，等于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； D．3，7，9：最小两边和为，大于最大边9，满足条件，能组成三角形． 故选D． D、，不能做成三角形框架，不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐个判断即可． 【详解】解：A、，不能做成三角形框架，不符合题意； B、，不能做成三角形框架，不符合题意； C、，能做成三角形框架，符合题意； 【变式4】定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 题型03 求三角形的边长的取值范围 【典例1】在中，，，则长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，熟知三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 故答案为：． 【变式1】如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 【变式2】若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可求出应满足的条件． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ． 故答案为：． 【变式3】三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 【变式4】在中，，，BC是最大边，则BC的长度范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，熟知三角形的三边关系是解答的关键．根据三角形的三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 又∵BC是最大边 ∴ 故答案为： 题型04 三角形有关线段的作图题 【典例1】如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)； (4)，； 【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离． 过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高； 过点作线段，垂足为点，线段即为所求； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度； 因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离． 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 【变式1】如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【分析】本题主要考查了画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作交延长线于点E，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，在由三角形面积公式得到． 【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于点E，则即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：∵点D是边的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴图形中面积相等的两个三角形是：和， 故答案为：和． 【变式2】如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)中线 (4)30 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可； （3）由题意可得，则线段是的中线； （4）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是的中线， 故答案为：中线； （4）解：， ， 故答案为：． 【变式3】已知：如图，在中，，分别是斜边上中线，且测得AC=8，BC=6，AB=10， （1）画出△BDC中BD、BC边的高； （2）求证：△ADC的AC边上的高等于BC的一半. 【答案】见解析 【分析】本题考查点了三角线的高、中线、三角形的面积公式等知识点.【详解】解：(1)如图所示，CF为△BDC中BD边上的高，DE为BC边上的高； （2）证明过点D作DH⏊AC垂足为H， 由题意，得：， 则△ADC的面积等于ACDH; ∵∠ACB=90 ∴△ABC的面积等于ACBC; ∵CD是AB边上的中线 ∴AD=BD ∴ ∴= ∴ACDH=ACBC ∴DH=BC △ADC的AC边上的高等于BC的一半. ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 【变式4】如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的平行线，交于点； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作交延长线于D，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据平行线的画法画图即可； （4）可证明，再根据点到直线的距离的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于D，则即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：∵， ∴， ∴点到直线的距离是线段的长度． 题型05 三角形的面积问题 【典例1】如图，在中，A是边上的中线BE是△ADB边上的中线，阴影部分的面积为，则的面积是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴，，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是 ． 【答案】2.5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【详解】解：∵、是的中线，连接，的面积是10， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 【变式2】如图，CD、BE都是△ABC的中线，请图中与四边形ADME面积相等的三角形. 【答案】△MBC 【分析】本题考查了三角形中线定义，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．【详解】解：根据同底等高面积相等的原理， 同理： ∴ ∴ ∴= 【变式3】如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是 【答案】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由题意可得，，，，从而求出，即可得解． 【详解】解：∵，的面积为2， ∴， ∵、分别为、的中点， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，连接，根据三角形中线的性质易求，进而求出，同理得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是中边上的中线，的面积是8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1. 在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 2.如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的组成元素，关键是掌握对边是指这个角对面的那条边． 【详解】解：在中，的对边是． 故选C． 3．如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小华在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 由三角形三边之间的关系可得，即，再结合各选项数据即可得出答案． 【详解】解：由三角形三边之间的关系可得： ， 即：， ，之间的距离不可能是， 故选：． 4．下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，解题的关键构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，只要验证较小两边长之和是否小于最长边．根据构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．由得，能构成三角形，故此选项不合题意； B．，能构成三角形，故此选项不合题意； C．设最小边为a，则剩余两边是，．，不能构成三角形，故此选项符合题意； D．因为，能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 5．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，3，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为2，2，3的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为1，2，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 6.关于三角形的三条高，下列说法正确的是（    ） A．三条高都在三角形的内部 B．三条高都在三角形的外部 C．至多有一条在三角形的内部 D．至少有一条在三角形的内部 【答案】D 【分析】根据三角形的高的概念解答即可． 【详解】解：锐角三角形有三条高，高都在三角形内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有三条高，一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，所以A、B、C都错误，只有D是正确的． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形高的概念，锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部． 7.图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键． 根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：∵三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等腰三角形分为：两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形． ∴Q表示的是等边三角形． 故选：A． 8．若实数是的三边长，则的结果（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系定理、因式分解的应用等知识点，熟练掌握因式分解以及三角形三边关系是解题的关键． 先因式分解，然后后利用三角形三边关系进行分析即可解答． 【详解】解：∵实数是的三边长， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题 9．已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 10．已知一个三角形的两边长分别为和，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是 ． 【答案】7或9/9或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系和三角形的周长，根据三角形的三边关系得到，由第三边长是偶数得到或4，即可求出这个三角形的周长． 【详解】解：设第三边长为， 则，即． 又为偶数，因此或4， 故这个三角形的周长是：或． 故答案为：7或9． 11．已知的三边长分别是、、，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 三、解答题 12．(1)如图，在中，利用尺规作出边上的高．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—三角形的高，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．过点作交延长线于即可． 【详解】解：作边上的高如图． (2)作三角形中边上的高． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形高的概念，三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 【详解】解：∵要作中边上的高， ∴根据三角形高的定义，需要从所对的顶点出发， 用三角板的一条直角边与边重合，边需要延长，另一条直角边过点， 然后沿着过点的直角边作直线，这条直线与边的延长线相交于一点，设为点； ∴线段就是中边上的高． 13.如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，的周长为，且，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了三角形的中线三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，以及构造二元一次方程组解决问题． 根据中线的定义得到，再根据周长之差化简可得，结合已知计算即可，然后根据的周长为，且，得到，再构造二元一次方程组求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵的周长为，且， ∴， ∴， 解得：， ∴的长为． 14．如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，中线；掌握三角形的中线分出的两个三角形的面积相等是解题的关键． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）先求出的面积，然后根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴的长度为． （2）解：∵是直角三角形，， ∴， 又∵是边的中线， ∴． 15．如图，已知分别是中边上的高，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查三角形等面积法求高，通过三角形面积建立等量关系是解题的关键．三角形的面积等于任意一条底边乘以该边上的高的积的一半，分别以为底，写出的面积的两种表示方法；结合两个面积相等和已知中的数据，进行计算即可解答题目． 【详解】解：， 将代入得到： 解得， ． 16. a、b、c为三角形的三边，化简： 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大小第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识；根据三角形三边关系确定的符号，由绝对值的性质及整式加减法则即可化简． 【详解】解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴， 即， ∴ ． 17.如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高线． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的中点 ． （2）解：过作于，如图： 点到的距离为． 18．阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查三角形中线性质、三角形的面积，熟知等高三角形的面积关系是解答的关键． （1）根据题干证明过程，结合三角形的面积公式求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）由（2）可得，，再结合已知求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ． ，， ． 故答案为：，； （2）证明：如图3，过点作于点． ，， ∴； （3）解：同理（2）得，， ∵的面积为，是边上靠近点的三等分点， ∴， ∴， ∵是边上靠近点的四等分点， ∴， ∴， 故答案为：12． 31 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.1三角形的有关概念 教学目标 1.理解三角形的严格定义，明确“不在同一直线上的三点，用线段两两连接”的核心要素； 2.掌握三角形的基本元素（边、顶点、内角）及相关概念（高线、中线、角平分线），能准确标注三角形的边与角; 3.能正确画出任意三角形的高、中线、角平分线，知晓三条中线、三条角平分线的交点均在三角形内部，了解不同类型三角形（锐角、直角、钝角）的高的位置差异； 4.初步掌握三角形按边（不等边、等腰、等边）和按角（锐角、直角、钝角）的分类标准，能根据已知条件判断三角形的类型; 5.通过三角形面积的计算强化对三角形中线、高线的理解与认识. 教学重难点 1.重点 通过对三角形的定义及相关概念的学习体验数学的严谨性逻辑性； 2.难点 钝角三角形高线的画法以及三角形的分类方法。 知识点01 三角形的有关概念 1.三角形的定义 定义:_________________的三点用线段两两连接而成的图形叫作三角形. 2.三角形的基本元素 其中，三个点叫作三角形的____；连接顶点的三条线段叫作三角形的____，边的长度叫作边长；顶点处两边组成的角叫作三角形的_____，简称三角形的角. 【即学即练】 1.判断：用线段把三点两两连接而成的图形叫作三角形.（ ） 2.填空： 如图，以A、B、C为顶点的三角形记作_______；三角形的三条边是线段____、_____、_______， 三个角是____、_____、_______；其中____是∠BAC的对边，∠ABC的对边记作_____或_____,AB边所对的角是______； 知识点02 三角形的三边关系 1.三角不等式 如果三角形的三条边长分别是a、b、c,那么它们必定满足“三角不等式”,即____>c、____>a、_____>b. 2.公理： 三角形的任意两边之和_______________. 利用不等式的性质，由上述公理可以推出“三角不等式”的推论； 3.推论：三角形任意两边的差______________. 总结：三角形任意一边的长大于_______________，小于_________________. 【即学即练】 有两根长度分别为5cm、7cm的木棒，用长度为13cm的木棒与它们能拼成一个三角形吗?用长度为2cm的木棒呢? 知识点03 三角形的分类 1.按角分 （1）定义 三个角都是锐角的三角形叫作______________；有一个角是直角的三角形叫作______________有一个角是钝角的三角形叫作______________ （2）直角三角形的表示方法 在直角三角形中，直角的两条边叫作__________，直角所对的边叫作__________，直角三角形可用符号“__________”表示，例如直角三角形ABC可以表示为__________，,读作“直角三角形ABC”. 三角形可分为__________、__________和__________这三类，每个三角形属于且只属于其中的一类. 按角分 2.按边分 （1）定义： 定义 有两边相等的三角形叫作__________，特别地，三边都相等的三角形叫作__________. （2）等腰直角三角形: 既是等腰三角形又是直角三角形的三角形叫作__________，例如，有 45°角的三角尺的形状是等腰直角三角形. （3）分类 三角形按边分，可以分为三边都不等的三角形和__________，两大类，等边三角形和等腰直角三角形都是特殊的__________. 按边分 【即学即练】 一个等腰三角形的一边长是5，周长是17，那么它的另外两边长是多少？ 知识点04 与三角形有关的线段 1. 三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形（此边上）的_________； 提醒：垂足有可能落在边的延长线上，高有可能落在三角形的外部. （2）探究不同三角形高的位置 锐角三角形的高都在三角形的__________； 直角三角形有两条高与两条直角边__________； 钝角三角形有两条高在三角形__________； （2）根据高的位置分类讨论求角的度数 （4）利用等积法计算 2. 三角形的中线 （1）定义：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫作三角形（此边上）的__________； AD为中线 （2）重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，三角形的重心一定在三角形内部； （3）应用：同（等）底等高的三角形面积相等 AD为中线⇒BD=DC⇒____________________ 3. 三角形的角平分线 （1）定义：三角形的一个内角的平分线和这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫作三角形（此角）的__________； （2）内心：三角形的三条角平分线交于同一点，这个点叫作三角形的内心. 易错点：三角形的角平分线区别于角的平分线的，角的平分线是_________，而三角形的角平分线是__________. 【即学即练】 1.下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90，D、E在BC上的且BD=2CE=2DE=中线，AE⊥BC，垂足为E. （1） AB是△ABC中AC边上的高，AC是△ABC中AB边上的高； （2） AE是图中哪几个三角形的高? （3） 图中哪些线段是哪个三角形的中线？ （2）找出图中面积相等的两个三角形，并加以证明 题型01 三角形的分类及相关概念辨析 【典例1】下列分类正确的是（    ） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【变式1】在中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【变式2】1．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【变式3】如图，D，E分别是的边，的中点，则下列说法中不正确的是（    ）．    A．的对边 B．是的中线 C． D．是的中线 【变式4】下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 题型02 判断三条线段能否组成三角形 【典例1】已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．1，2，1 B．2，7，8 C．4，6，11 D．1.5，2.5，4 【变式2】下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【变式3】下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【变式4】定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 题型03 求三角形的边长的取值范围 【典例1】在中，，，则长度的取值范围是 ． 【变式1】如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式2】若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是 ． 【变式3】三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 【变式4】在中，，，BC是最大边，则BC的长度范围是 ． 题型04 三角形有关线段的作图题 【典例1】如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【变式1】如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 【变式2】如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【变式3】已知：如图，在中，，分别是斜边上中线，且测得AC=8，BC=6，AB=10， （1）画出△BDC中BD、BC边的高； （2）求证：△ADC的AC边上的高等于BC的一半. 【变式4】如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的平行线，交于点； (4)点到直线的距离是线段___________的长度． 题型05 三角形的面积问题 【典例1】如图，在中，A是边上的中线BE是△ADB边上的中线，阴影部分的面积为，则的面积是 ．    【变式1】如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是 ． 【变式2】如图，CD、BE都是△ABC的中线，请图中与四边形ADME面积相等的三角形. 【变式3】如图，在中，、分别为、的中点，，如果阴影部分的面积为2，那么的面积是 【变式4】如图，已知是中边上的中线，点、分别在、的延长线上，，如果的面积是8，那么的面积等于 ． 一、单选题 1. 在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 2. 如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小华在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 4．下列各组条件中，不能组成三角形的是（   ） A．2，， B．3厘米，8厘米，10厘米 C．三条线段之比为 D．6厘米，6厘米，6厘米 5．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（   ） A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1 6.关于三角形的三条高，下列说法正确的是（    ） A．三条高都在三角形的内部 B．三条高都在三角形的外部 C．至多有一条在三角形的内部 D．至少有一条在三角形的内部 7.图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 8．若实数是的三边长，则的结果（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 二、填空题 9．已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 10．已知一个三角形的两边长分别为和，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是 ． 11．已知的三边长分别是、、，化简： ． 三、解答题 12．(1)如图，在中，利用尺规作出边上的高．（不写作法，保留作图痕迹） (2)作三角形中边上的高． 13.如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，的周长为，且，求的长． 14．如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 15．如图，已知分别是中边上的高，，求的长． 16. a、b、c为三角形的三边，化简： 17.如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 18．阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $