精品解析：江苏省连云港市新海初级中学2025-2026学年上学期八年级数学期末模拟练习卷

新海初级中学2025-2026学年度第一学期数学期末模拟试题 八年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷分值：150分） 友情提醒： 试卷所有答案都必须书写在答题纸制定位置上，答案写在试卷上无效，请务必注意试题序号和答题序号对应，考试结束后，只上交答题卡，祝大家取得优异成绩． 一、选择题（每小题3分，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置） 1. 下列说法中错误的是　　 A. 9的算术平方根是3 B. 的平方根是 C. 27的立方根为 D. 立方根等于1的数是1 2. 若三角形的三边长分别为5、8、a，则a的值可能是（ ） A. 3 B. 8 C. 13 D. 15 3. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 4. 点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有① 6. 正整数、分别满足，，则（ ） A 4 B. 8 C. 9 D. 16 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分，请把答案写在答题卡对应位置，写在试卷上无效） 9. 因式分解：____． 10. 分式值为0的条件是_____________； 11. 近似数精确到了_____________位； 12. 如图，在数轴上点A表示的实数是_____________； 13. 如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 14. 如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点．若，，则的长是____． 15. 已知实数x满足，则分式的值为_____________； 16. 如图，一束光线从点射出，照在经过，镜面上的点，经反射后，反射光线又照到竖立在轴位置的镜面，经轴再反射的光线恰好通过点，则点的坐标为_____． 三、解答题（本大题共11题，共102分．请把所有答案书写在答题卡上，写在试卷上无效） 17. 计算： （1） （2） 18. 求式子中的x的值： （1） （2） 19. 先化简再求值：，其中a为不等式的整数解． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点在格点上．已知点，点． （1）画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点）． （2）现将先向下平移5个单位长度，再沿轴翻折得到，在图中画出，则点的坐标为__________． （3）若内有一点，则点经过（2）中的平移、对称后得到的点的坐标是_______． 21 如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长． 22. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请用两种不同方法计算图2的面积，并写成因式分解的形式： ； （2）若，，求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 23. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 24. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． （1）求点坐标，并写出不等式的解集； （2）求一次函数的函数表达式； （3）求的面积． 25. 定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． （1）若，求a，b的“传承数”c； （2）若，且，求a，b的“传承数”c； （3）若，且a，b的“传承数”c的值为一个整数，则整数n的值是多少？ 26. 某公司有A产品40件，B产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件利润 (元) 如下表所示： A产品的利润/元 B产品的利润/元 甲店 200 170 乙店 160 150 （1）设分配给甲店A产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W (元)，求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）若要求总利润不低于17560元；有多少种不同的分配方案？ 并将各种方案设计出来； （3）为了促销，公司决定仅对甲店A产品让利销售，每件让利a元，但让利后A产品每件利润仍高于甲店B产品的每件利润．甲店的B产品以及乙店的A，B产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 27. 数学活动课上，老师让同学们以“折纸与证明”为主题开展数学活动． 【引入概念】 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，对折，使点C落在边上的点G处，得到折痕，把纸片展平，得到四边形，则四边形 筝形（填“是”或“不是”）； 【性质探究】 （2）如图2，已知四边形是筝形，连接相交于点O．请你写一个正确的结论______（除外）； 【拓展应用】 如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长交于点N． （3）求证：四边形是筝形； （4）若，如图4，则的长为______； 【方法提炼】通过问题解决，发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地关联与重组．请根据自己理解，解答下列问题： （5）如图5，四边形中，，点N在上，，当时，的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新海初级中学2025-2026学年度第一学期数学期末模拟试题 八年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷分值：150分） 友情提醒： 试卷所有答案都必须书写在答题纸制定位置上，答案写在试卷上无效，请务必注意试题序号和答题序号对应，考试结束后，只上交答题卡，祝大家取得优异成绩． 一、选择题（每小题3分，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置） 1. 下列说法中错误的是　　 A. 9的算术平方根是3 B. 的平方根是 C. 27的立方根为 D. 立方根等于1的数是1 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出每个的值，再判断即可． 【详解】解：A、9的算术平方根是3，故本选项错误； B、的平方根是，故本选项错误； C、27的立方根是3，故本选项正确； D、立方根等于1的数是1，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了对算术平方根，平方根，立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 2. 若三角形的三边长分别为5、8、a，则a的值可能是（ ） A. 3 B. 8 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求解a的取值范围，再与选项对比即可． 【详解】解：∵三角形的三边长为5、8、a， ∴， ∴a的取值范围为， ∴a的值可能是8， 故选：B． 3. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】选项A为最简分式； 选项B化简可得原式=； 选项C化简可得原式=； 选项D化简可得原式=； 故选：A． 考点：最简分式． 4. 点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点坐标的特征，根据点M在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合已知条件即可求解． 【详解】设点M的坐标为， ∵点M距离x轴6个单位长度， ∴， ∵点M距离y轴3个单位长度， ∴， ∵点M在第二象限， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 故选：C． 5. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有① 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得， 可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 故选：B． 6. 正整数、分别满足，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解： A、由一次函数图象可知，，则；由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数图象可知，故此选项符合题意； D、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，30度角的直角三角形，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质得，，，，再整理得，证明，故，，当时，值最小，然后根据30度角的直角三角形的性质进行作答即可． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形，，， ，，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， 当时，值最小， 此时，，， ， 故选：． 二、填空题（每题3分，共24分，请把答案写在答题卡对应位置，写在试卷上无效） 9. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】， 故答案为： 10. 分式值为0的条件是_____________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，分式值为零需分子为零且分母不为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式值为0， ∴，且， ∴，且， 解得或，且， ∴， 故答案为：． 11. 近似数精确到了_____________位； 【答案】万分 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法和精确度，将科学记数法表示的数还原为原数，根据最后一个有效数字的位置可确定精确度． 【详解】解：，最后一个有效数字7位于小数点后第四位，即万分位， 故精确到了万分位， 故答案为：万分． 12. 如图，在数轴上点A表示的实数是_____________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想． 根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案． 【详解】解：如图，由勾股定理可得 ∴， ∴在数轴上点A表示的实数是， 故答案为：． 13. 如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象与性质． 先由正比例函数的图象与性质得到，，然后通过取点作垂线求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三象限， ∴； ∵直线经过第二、四象限， ∴， 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； ∴， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点．若，，则的长是____． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，，进而可得，然后利用三线合一即可得出，由是的中点可得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，， ，为中点， ，， ， 又是的中点， ，， ， 由勾股定理可得： ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三线合一，线段中点的有关计算，垂线的性质，勾股定理等知识点，添加适当辅助线构造等腰三角形是解题的关键． 15. 已知实数x满足，则分式的值为_____________； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值； 由已知条件 ，可得 ，即 ．代入分式的分母可得 ．再化简分式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为 ． 16. 如图，一束光线从点射出，照在经过，的镜面上的点，经反射后，反射光线又照到竖立在轴位置的镜面，经轴再反射的光线恰好通过点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于对称点，作点关于轴的对称点，由光反射的性质得点，，，四点共线，分别求出直线与直线的表达式并联立，即可得点坐标． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于轴的对称点，如图所示． 由光反射的性质得：点，，，四点共线． ，，， ，． 设直线的表达式为， 将点，分别代入上式， 得，解得． 的表达式为， 设直线的表达式为， 将点，分别代入上式， 得，解得． 直线的表达式为． 令，解得， 将代入，得． 点． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，函数图象的交点与二元一次方程组的关系，轴对称的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共11题，共102分．请把所有答案书写在答题卡上，写在试卷上无效） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根，乘方，负整数指数幂，零次幂，求一个数的绝对值，分式的减法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，零次幂，负整数指数幂，以及化简绝对值，再运算加减法，即可作答． （2）先把原式整理得，再运算减法，然后化简，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 求式子中的x的值： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先移项，再把方程两边同时开立方得到一个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，或； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 19. 先化简再求值：，其中a为不等式的整数解． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，求不等式的整数解． 先计算除法，再计算减法，求出不等式的整数解，根据分式有意义的条件找出符合要求的解代入即可． 【详解】解：原式 ， ∵a为不等式的整数解， ∴即，，0，1，2， 根据分式有意义的条件可知，，，， 故a只能取2， 当时，原式． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点在格点上．已知点，点． （1）画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点）． （2）现将先向下平移5个单位长度，再沿轴翻折得到，在图中画出，则点的坐标为__________． （3）若内有一点，则点经过（2）中的平移、对称后得到的点的坐标是_______． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和平移，画平面直角坐标系，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据点A和点C的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此画出平面直角坐标系即可； （2）根据点的平移规律和关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同得到点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （3）先求出点P平移后对应点坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：点向下平移5个单位长度后的对应点坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点坐标为， 故答案为：． 21. 如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据于点M，得，根据得，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，，根据勾股定理求出，即可求出线段的长． 【小问1详解】 证明：于点M，， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 22. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请用两种不同方法计算图2的面积，并写成因式分解的形式： ； （2）若，，求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】（1）图2的面积为或， （2）56 （3）画图见解析， 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用： （1）图2 图形的面积为正方形的面积表示为，图2 图形的面积为3个小正方形的面积加上三个小长方形的面积，据此即可得到因式分解的形式； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由1个边长为的小正方形和4个边长为的长方形和3个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：图2面积为：；图2的面积为：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：，，， ． ； 【小问3详解】 解：如图所示 ∴ 23. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 【答案】（1）正确，见解析； （2）风筝垂直下降的高度为 【解析】 【分析】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，用勾股定理解三角形，求风筝高度(勾股定理的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用勾股定理的逆定理求解； （2）先求得，再利用勾股定理求得，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度． 【小问1详解】 解：他的说法正确． 理由如下： ∵，，， ∴． ∴是直角三角形，． 小问2详解】 由题意得，， ∵， ∴． ∵， ∴在中，． ∴， 即风筝垂直下降的高度为． 24. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． （1）求点坐标，并写出不等式的解集； （2）求一次函数的函数表达式； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，两条直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）将代入可以求得点的坐标，再由图象即可求解不等式的解集； （2）根据待定系数法即可求得一次函数的函数解析式； （3）先求出、的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：点在直线上， ， 点的坐标为； 由函数图象可得，不等式的解集为； 【小问2详解】 解：将，代入得， 解得， 一次函数的函数解析式为； 【小问3详解】 解：对于， 当时，， 即点A的坐标为， 对于， 当时，， 即点B的坐标为， 则， 点D的坐标为， 的边上的高为， 则的面积为． 25. 定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． （1）若，求a，b的“传承数”c； （2）若，且，求a，b的“传承数”c； （3）若，且a，b的“传承数”c的值为一个整数，则整数n的值是多少？ 【答案】（1） （2）1或 （3）2或0或4或 【解析】 【分析】本题考查新定义，分式的求值，分式的加减运算： （1）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，进行计算即可； （2）先根据，利用完全平方公式，求出的值，然后根据求出c即可； （3）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，求出c，从而求出答案即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴a，b的“传承数”c的值为； 【小问2详解】 ∵， ， ， ， ∵c是a，b的“传承数”， ∴ ， 当时，； 当时，； ∴a，b的“传承数“c为1或； 【小问3详解】 ∵c是a，b的“传承数”， ∴ ， ∵c，n都为整数， ∴或， 解得：或0或4或． 26. 某公司有A产品40件，B产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润 (元) 如下表所示： A产品的利润/元 B产品的利润/元 甲店 200 170 乙店 160 150 （1）设分配给甲店A产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W (元)，求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）若要求总利润不低于17560元；有多少种不同的分配方案？ 并将各种方案设计出来； （3）为了促销，公司决定仅对甲店A产品让利销售，每件让利a元，但让利后A产品的每件利润仍高于甲店B产品的每件利润．甲店的B产品以及乙店的A，B产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 【答案】（1）10≤x≤40； （2）详见解析；（3）当x=10时，利润最大． 【解析】 【分析】（1）分配给甲店A型产品x件，则分配给甲店B型产品(70－x)件，分配给乙店A型产品(40－x)件，分配给乙店B型产品(x－10)件，根据总利润等于各利润之和进行求解；根据x≥0，40－x≥0，30－(40－x)≥0可以求出取值范围； （2）根据W≤17560得到x的取值范围，和(1)中的取值范围得到x的整数值； （3）根据题意列出函数关系式，然后根据增减性进行判断． 【详解】解：（1）有题意得：W=200x+170(70－x)+160(40－x)+150(x－10)=20x+16800 ∵x≥0，40－x≥0，30－(40－x)≥0， ∴10≤x≤40； （2）根据题意得：20x+16800≥17560， 解得：x≥38， ∴38≤x≤40； ∴有三种不同的方案：①、甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件；②、甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；③、甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件． （3）此时总利润W＝20x+16800-ax=(20-a)x+16800，a<200-170＝30 当a≤20时，x取最大值，即x＝40（即A型全归甲卖） 当a＞20时，x取最小值，即x＝10（即乙全卖A型） 27. 数学活动课上，老师让同学们以“折纸与证明”为主题开展数学活动． 【引入概念】 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，对折，使点C落在边上的点G处，得到折痕，把纸片展平，得到四边形，则四边形 筝形（填“是”或“不是”）； 【性质探究】 （2）如图2，已知四边形是筝形，连接相交于点O．请你写一个正确的结论______（除外）； 【拓展应用】 如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长交于点N． （3）求证：四边形是筝形； （4）若，如图4，则的长为______； 【方法提炼】通过问题解决，发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地关联与重组．请根据自己理解，解答下列问题： （5）如图5，四边形中，，点N在上，，当时，的最小值为______． 【答案】（1）是；（2）垂直平分；（3）见解析；（4）；（5）不存在 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据筝形的定义得到四边形是筝形； （2）由四边形是筝形，得到，再根据线段垂直平分线的性质即可解答； （3）如图3，连接，根据折叠的性质得到、，根据全等三角形的性质得到，得到四边形是四边形是“筝形”； （4）根据折叠的性质得到，，由（3）知，，推出四边形是正方形，得到，，根据勾股定理得到； （5）如图5，根据折叠的性质得到，得到，根据勾股定理得到，当三条线段共线时，有最大值，不存在最小值． 【详解】（1）解：∵对折，使点C落在边上的点G处， ∴， ∴四边形是筝形． 故答案为：是； （2）解：垂直平分，理由如下： ∵四边形是筝形， ∴， ∴点A，点H在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 故答案为：垂直平分． （3）证明：如图3，连接， ∵是锐角的高， ∴， ∵将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是四边形是“筝形”； （4）解：∵将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到， ∴， 由（3）知，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：, ∴． （5）解：如图5，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当三条线段共线时，有最大值，不存在最小值． 故答案为：不存在． 【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质、折叠的性质是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $