第五章三角函数全章题型归纳讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章三角函数全章知识体系构建 知能框架 【概念过关】 1.填表，特殊角三角函数值 0 2． 任意角的三角函数的定义 如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 正弦：点的 叫做的正弦函数，记作，即 余弦：点的 叫做的余弦函数，记作，即 正切：点的纵坐标与横坐标的比值 叫做的正切，记作，即 3．任意角三角函数的定义如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标定义： ， ， ，其中 ，以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切．，，分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为 ． 4. 三角函数在各象限的符号 第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为 正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负. 注：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 5.诱导公式其中. ， ， ， ， ； ， ； ， ； ， . 6.扇形弧长面积公式设扇形半径为 角的弧度数公式 (弧长用表示) 角度与弧度的换算 rad；1rad＝ 弧长公式 弧长 扇形面积公式 ＝ 7.二倍角及半角公式 ； ，         ； ，   ． ．（有理形式） 8.两角和差公式: : : : 核心考点 : : 9．辅助角公式 对于形如的式子，可变形如下：= 由于上式中和的平方和为1，故令，则==其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定． 10.三角函数图像与性质正弦函数、余弦函数的性质 图象 定义域 值域 最值 周期性 奇偶性 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在区间 上都是增函数 对称性 对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 对称中心 核心考点 考点一 三角函数概念 题型一象限坐标 例1.与角终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D．120° 例2.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的可取值为 ． 例3.若是第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第二象限； B．第三或第四象限； C．第一或第三象限； D．第二或第四象限． 例4.角的终边在第一象限，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 题型二弧度面积 例1.扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐成为主流.如图，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 例2.已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 考点二 三角函数公式 题型一活用公式 例1.函数在的零点为 ． 例2.已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 例3.已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 例4.若，则（　　） A． B． C． D． 题型二凑角拆角 例1.若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 例2.若，则（    ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 例3.已知，且，则实数k的值为 ． 题型三弦切互化 例1.已知，求，的值. 例2.已知为第二象限的角，且，则 A． B． C． D． 题型四齐次化思想 例1.已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 例2.若，则（    ） A． B． C． D． 例3.已知，则（    ） A． B． C．1 D． 题型五诱导公式 例1.已的值为（   ） A． B． C． D． 例2.知角终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3.已知，则（    ） A． B． C． D． 例4.已知，则等于（    ） A． B． C． D． 例5.已知，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 题型六和差积公式 例1.设为锐角，若，则的值为 . 例2.已知，且，则（    ） A． B． C． D． 例3.已知，，则下列结论正确的是（    ） A．的终边在第二象限 B． C． D． 例4.已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七二倍角公式 例1.已知，则（    ） A． B． C． D． 例2.已知，则（   ） A． B． C． D． 例3.（    ） A． B． C． D． 例4.已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 例5.已知，则（    ） A． B． C． D． 例6.下列各式的值为的是（   ） A． B． C． D． 题型八辅助角公式 例1.函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 例2.已知函数. (1)化简 (2)用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (3)若，求函数的值域； 例3.在△ABC中，AB边上的高，则的最小值为 . 考点三图像性质 题型一图像平移 例1.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 例2.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 题型二知图求式 例1.函数的图像如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 例2.已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 例3.已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    题型三图像特征 例1.已知函数某个周期的图象如图所示，A，B分别是图象的最高点与最低点，C是图象与x轴的交点，则tan∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 例2.已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四函数性质 例1.已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 例2.已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 例3.函数图像的对称轴是（    ） A． B． C． D． 例4.函数的最小正周期为 A． B． C． D． 例5.函数在区间上的零点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型五范围和最值问题 例1.已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 例2.已知，均为锐角，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 例3.已知函数的最小正周期是． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最大值和最小值，以及取得最值时的的值； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围． 题型六三角函数w范围问题 例1.已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2.若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 A． B． C． D． 例4.已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5.已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 A．11 B．9 C．7 D．5 例6.已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 例7.已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章三角函数全章知识体系构建 知能框架 【概念过关】 1.填表，特殊角三角函数值 0 2． 任意角的三角函数的定义 如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 正弦：点的 叫做的正弦函数，记作，即 余弦：点的 叫做的余弦函数，记作，即 正切：点的纵坐标与横坐标的比值 叫做的正切，记作，即 3．任意角三角函数的定义如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标定义： ， ， ，其中 ，以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切．，，分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为 ． 4. 三角函数在各象限的符号 第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为 正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负. 注：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 5.诱导公式其中. ， ， ， ， ； ， ； ， ； ， . 6.扇形弧长面积公式设扇形半径为 角的弧度数公式 (弧长用表示) 角度与弧度的换算 rad；1rad＝ 弧长公式 弧长 扇形面积公式 ＝ 7.二倍角及半角公式 ； ，         ； ，   ． ．（有理形式） 8.两角和差公式: : : : 核心考点 : : 9．辅助角公式 对于形如的式子，可变形如下：= 由于上式中和的平方和为1，故令，则==其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定． 10.三角函数图像与性质正弦函数、余弦函数的性质 图象 定义域 值域 最值 周期性 奇偶性 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在区间 上都是增函数 对称性 对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 对称中心 核心考点 考点一 三角函数概念 题型一象限坐标 例1.与角终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D．120° 【答案】C 【分析】求出与角终边相同的角，进而可得最小正角. 【详解】与角终边相同的角为， 当时，取最小正角，为 故选：C. 例2.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的可取值为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数定义得到方程，求出的可取值为. 【详解】由三角函数定义可知， 故， 显然满足要求， 当时，化简得，解得， 故的可取值为. 故答案为： 例3.若是第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第二象限； B．第三或第四象限； C．第一或第三象限； D．第二或第四象限． 【答案】D 【分析】根据是第三象限角的范围，可判断所在的象限. 【详解】因为为第三象限角, 即 , 所以,, 当 为奇数时, 是第四象限的角; 当 为偶数时, 是第二象限的角. 故选:D. 例4.角的终边在第一象限，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意求出为第一象限角或第三象限角，再分类进行讨论和的正负即可得解. 【详解】因为角的终边在第一象限，所以， 所以，所以为第一象限角或第三象限角， 当为第一象限角时，，故； 当为第三象限角时，，故. 所以的取值集合为. 故选：A. 题型二弧度面积 例1.扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐成为主流.如图，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式分别求出两个扇形的面积，作差即可得出扇面（曲边四边形）的面积. 【详解】因为， 所以扇形的面积为； 扇形的面积为. 所以扇面（曲边四边形）的面积为. 故选：A. 例2.已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可． （2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解 （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】(1)α＝60°＝rad，∴l＝α·R＝×10＝ (cm). (2)由题意得解得 (舍去)， 故扇形圆心角为. (3)由已知得，l＋2R＝20. 所以S＝lR＝ (20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10，α＝2. 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键． 考点二 三角函数公式 题型一活用公式 例1.函数在的零点为 ． 【答案】或 【分析】用同角三角函数的关系化简函数，令函数值为0，求得的值，再求得的值，得到函数零点. 【详解】， 令，即，解得或， ∵，∴，又，∴或. 故答案为：或. 例2.已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 例3.已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解. 【详解】因为， 又因为，， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 因为，所以， 因为，所以. 故选：C. 例4.若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用平方关系得到，进而得，再代入，利用和差角的余弦公式，计算即得. 【详解】由两边取平方，可得①， 由，两边取平方，可得②， 由①②得到，整理得到， 又，解得，即， 将其代入，可得，即， 即，所以， 故得. 故选：A. 题型二凑角拆角 例1.若，且，，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题设条件分别求出和的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得. 【详解】因则.又，则， 可得. 又则 由，可得 由 . 因则 . 故选：A. 例2.若，则（    ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 【答案】A 【分析】解法一：将与展开并用和差公式化简得，从而求得值. 解法二：令，则，代入条件利用和差公式化简得，从而求得值. 【详解】解法一：由题得， 所以， 即， 即，显然，故. 解法二：令，则， 所以可化为， 即， 所以，即， 所以，则，， 所以，. 故选：A. 例3.已知，且，则实数k的值为 ． 【答案】2 【分析】根据角的配凑将写成，将写成，结合两角和与差的正弦公式进行化简，即可求解出的倍数关系，由此可知的值. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以， 故答案为：. 题型三弦切互化 例1.已知，求，的值. 【答案】答案见解析 【分析】由同角三角函数基本关系计算即可求解. 【详解】因为，所以角是第三或第四象限角， 若角是第三象限角，则，； 若角是第四象限角，则，. 例2.已知为第二象限的角，且，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，①，，②，联立①②，再结合已知条件即可求出的值，则答案可求． 【详解】解：，①，，②， 又为第二象限的角， ， 联立①②，解得， 则． 故选：C． 题型四齐次化思想 例1.已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角的范围确定，即可由一元二次方程求解， （2）（3）根据弦切齐次式即可求解. 【详解】（1）由于，所以， 又得， 解得或（舍去）， 故 （2） （3） 例2.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角的正弦公式先化简，再利用同角三角函数间的基本关系求解即可. 【详解】因为， 所以， 由得，所以分子分母同除以得， 即， 所以. 故选：D. 例3.已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案. 【详解】由题， 得， 则或， 因为，所以， . 故选：A 题型五诱导公式 例1.已的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得答案. 【详解】sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60° ＝－＋＝． 故选：C. 例2.知角终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，化简得到原式为，计算得到答案. 【详解】角终边经过点，故， ， 故选：B 例3.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的诱导公式求解. 【详解】解：， ， 则， 故选：D 例4.已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数诱导公式即可求得的值. 【详解】 故选：C 例5.已知，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得，进而可判断A，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD. 【详解】由于且，所以， 又，， 故或，当时，显然不满足，故，所以，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C, ，故C错误， 对于D，由B可知，所以，故D正确， 故选：BD 题型六和差积公式 例1.设为锐角，若，则的值为 . 【答案】 【分析】由条件求得的值，利用二倍角公式求得和的值，再根据，利用两角差的正弦公式计算求得结果． 【详解】∵为锐角，，∴， ∴， ． 故 ，故答案为. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题． 例2.已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用平方关系，得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为， 又，则， 又因为，则，所以， 故选：B. 例3.已知，，则下列结论正确的是（    ） A．的终边在第二象限 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得，由此确定正确答案. 【详解】由两边平方得， ，，D选项正确. 由于，所以，所以， 所以是第二象限角，A选项正确，， ， 所以， 由解得，B选项正确， ，C选项错误. 故选：ABD 例4.已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，求得，结合，可得，即可判断A；对于B，求得，结合，可得，即可判断B；对于C，由A，B可得，由商数关系可得，即可判断C；由C即可判断D. 【详解】解：对于A，因为 ， 又因为， 所以， 所以，故A正确； 对于B，因为， 又因为， 所以， 所以，故B正确； 对于C，由A，B可得， 所以，故C正确； 对于D，由C可知，故D错误. 故选：ABC. 题型七二倍角公式 例1.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】. 故选：D 例2.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数正弦的两角差，辅助角公式及余弦的二倍角公式进行计算. 【详解】依题意，， 所以． 故选：B． 例3.（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切的倍角公式计算. 【详解】， 则， 得（负值舍去）. 故选：C 例4.已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半角公式结合角的范围即可求解. 【详解】因为，则，, 由半角公式可得. 故选：B 例5.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案. 【详解】，解得：， 故选：D 例6.下列各式的值为的是（   ） A． B． C． D．【答案】AD 【分析】根据题意，利用正弦的倍角公式，余弦的倍角公式和正切的倍角公式，以及两角差的正弦公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，由，所以A正确； 对于B，由二倍角的余弦公式，可得，所以B错误； 对于C：由正切的倍角公式，可得，所以C错误； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：AD. 题型八辅助角公式 例1.函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的有界性可求得原函数的最大值. 【详解】因为， 故当，即时，函数取最大值. 故选：C. 例2.已知函数. (1)化简 (2)用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (3)若，求函数的值域； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据二倍角公式即可化简. （2）利用五点作图法（列表、描点、连线）画出在区间上的图象. （3）根据图像以及定义域，即可得出答案. 【详解】（1）由题意得 . （2）列表如下： 如图，描点，连线如下： （3）当时，则， 而，， 因此 故的值域为. 例3.在△ABC中，AB边上的高，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据几何关系得，利用即可求出其最小值. 【详解】，，∴，， ， ∵，∴，∴当时，x＋y的最小值为. 故答案为：. 考点三图像性质 题型一图像平移 例1.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由的图象逆向变换即可得的解析式. 【详解】将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得，即. 故选：C 例2.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正切函数的周期公式求出的值，得到的表达式，再根据函数图象平移的规律求出的表达式. 【详解】的最小正周期为，，解得. 将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象. . 故选：C 题型二知图求式 例1.函数的图像如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象的最值得到的值，由两个零点求出，最后代入特殊点求得，即可得到函数解析式. 【详解】观察图象可得函数的最大值为，最小值为，又， 所以， 又∵，∴，∴， 因为时函数取最大值， 所以，，又， ∴， ∴. 故选：C. 例2.已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由图象中的零点和最低点求出的最小正周期,从而求出,再代入最低点结合可求出， 从而得到函数的解析式，再由三角函数图象伸缩变换的规律可得函数的解析式. 【详解】观察图象中的零点和最低点，可知，所以最小正周期，故， 将最低点代入可得，即， 由余弦函数的性质可知，又，所以取0，得， 所以,将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可知. 故选：C. 例3.已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 题型三图像特征 例1.已知函数某个周期的图象如图所示，A，B分别是图象的最高点与最低点，C是图象与x轴的交点，则tan∠BAC＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A作AD垂直于x轴于点D，AB与x轴交于E，设C（a，0），可得，，，，再利用计算即可. 【详解】过A作AD垂直于x轴于点D，AB与x轴交于E， 由题可得周期为2，设，则，， 所以，， ， 所以 . 故选：B 【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题. 例2.已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图象的平移可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知识即可得出，即可得解. 【详解】由条件可得，，作出两个函数图象，如图：    ，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，. 由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，， 由，整理得，得， 则，所以， 要使为钝角三角形，只需即可， 由，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式，运算即可. 题型四函数性质 例1.已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 例2.已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】根据题意，由余弦型函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，令， 解得，， 令，则， 令，， 又，所以的单调递增区间是，. 故选：D 例3.函数图像的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的对称性计算即可. 【详解】易知 ． 由，，得，． 函数图像的对称轴是． 故选：A． 例4.函数的最小正周期为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析:将函数进行化简即可 详解：由已知得 的最小正周期 故选C. 点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 例5.函数在区间上的零点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据给定的函数，直接求出在指定区间上的零点即可. 【详解】函数，由，得，而， 解得或，所以所求零点个数为2. 故选：A 题型五范围和最值问题 例1.已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，求导即可得，从而得到其最值； （2）根据题意，求导可得，然后设，转化为对恒成立，然后列出不等式即可得到结果. 【详解】（1）当时，. . 在上单调递增.，. （2）对恒成立， 设，.即对恒成立. 设， ，，. 故的取值范围为. 例2.已知，均为锐角，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将变形，配角利用两角差的正弦公式展开化简计算，可得关于的一元二次方程，根据列不等式求解的取值范围，即可得最大值. 【详解】∵，∴，即，∴，即，又因为为锐角，所以该方程有解，即，解得．又为锐角，∴．所以的最大值是. 故选：C 例3.已知函数的最小正周期是． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最大值和最小值，以及取得最值时的的值； (3)若关于的不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为 (2)，此时；，此时 (3) 【分析】（1）先化简函数为正弦函数，再利用正弦函数的递减区间解关于的不等式. （2）令，确定在给定区间上的范围，结合正弦函数的单调性找最值点. （3）利用的值域换元，转化为二次函数在闭区间上非负问题，讨论对称轴位置求最小值条件. 【详解】（1）由题可知， 展开化简得：， 由二倍角公式可得：， 故 由辅助角公式可得：， 故，最小正周期：， 代入得：， 的单调递减区间为：，， 化简可得，故， 故单调递减区间为： （2）设，则：， ，故， 故的最大值在，最小值在 最大值为， 最小值为， （3）， 令，则， 则恒成立， 为开口向上的二次函数，对称轴， 对称轴（即）： 最小值为，与矛盾，无解， 对称轴（即）, 最小值为， ， 结合，得， 对称轴（即）： 最小值为， 结合得， 综上，的取值范围是. 题型六三角函数w范围问题 例1.已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于的关系式，再验证，即可求解. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为为的零点，为图象的对称轴， 所以，即， 所以. 因为，所以在上不单调， 当时，由为的零点可得，， 因为，所以. 因为在上不单调，所以的最小值为. 故选：B. 例2.若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到，然后根据在单调求解. 【详解】解：因为， 所以， 因为在单调， 所以， ∴， 故选：D. 例3.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围，求出的范围，由函数在上单调递减，则应该是f(x)减区间的子集，即可求出答案. 【详解】∵，∴， 函数在上单调递减， 周期解得，故， 的减区间满足：， 取，且解之得. 故答案为：. 故选：A. 例4.已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换公式以及正弦函数的图象性质求解. 【详解】, 若，因为，所以， 因为在区间内没有零点， 所以，解得； 若，因为，所以， 因为在区间内没有零点， 所以，解得； 综上，， 故选:D. 例5.已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值． 【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴， ∴，即，（n∈N） 即ω＝2n+1，（n∈N） 即ω为正奇数， ∵f（x）在（，）上单调，则， 即T，解得：ω≤12， 当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|， ∴φ， 此时f（x）在（，）不单调，不满足题意； 当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|， ∴φ， 此时f（x）在（，）单调，满足题意； 故ω的最大值为9， 故选B． 【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或. 例6.已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 例7.已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】化简函数的解析式为，由可计算出的取值范围，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由题意，函数， 当时，， 由于函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点， 则，解得，即， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用正弦型函数在区间上的最值点求参数，考查计算能力，属于中等题. 学科网（北京）股份有限公司 $