三角函数的图象与性质【知识考点总归纳及题型练习】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数的图象与性质 知识梳理 知识点一 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π的图象中，五个关键点是：(0,0)，alvs4 allcol(f(π2)，1)，（π，0），\ avs4 alcol(f(3π2)，-1)，(2r,0). (2)在余弦函数y=cosx,x∈[0,2元的图象中，五个关键点是：(0，l),avs4 alcol(fπ2)，0)，（π，一1）， avs4 alcol(f(3元2)，0)，(2元，1). 知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中k∈Z) 函数 y=sinx y=COSx y=tanx V 3 图象 二T2 xbllcl/Ircl 定义域 R R alvs4 alcol(xfk元 +\fπ2) 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2元 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 alvs4 alcol(kπ 2kπ-f(ππ2) [2kπ-元，2k \f元π2) 递减区间 2k元+f(元3π2) [2k元，2k阮+元 无 avs4 alcol(k元+ 对称中心 alvs4 allcol(f(kπ2) (r,0) \f2),0) ,0) 对称轴方程 x=红十元2 x=阮 无 知识点三与三角函数奇偶性相关的结论 (1)若y=Asin(ox+o)为偶函数，则有o=m+π2(k∈Z);若为奇函数，则有0=km(k∈Z). 第1页 (2)若y=Acos(ox+p)为偶函数，则有0=kπ(k∈Z;若为奇函数，则有0=m+元2(k∈Z). (3)若y=Atan(ox+p)为奇函数，则有0=kπ(k∈Z. 考点精析 考点一求三角函数的定义域 【例】函数y=2an3r+君)的定义域是() B.r* π+km,k∈Z 93 【变式1.】函数y=si 1 一的定义域是 【变式l-2】函数f(x)=V1-√2sinx的定义域为 【变式1-3】在区间[0,2元上，函数y=tan x+√-cosx的定义域为一 考点二求三角函数的值域（最值） 【例2】函数y=anx+名)xe（名的值域力， 第2页 【变式21】已知函数f)=V2 sinco了-2sm5,fw)的最小值为 【变式2-2】函数y=4sin2x+6cosx-6 π 2 3 ≤x≤ π 的值域 考点三求三角函数的单调区间 【例3】函数=3n2r+-1在~x,0上的单调递减区间是 【变式3-1】函数y=cos 的单调递增区间是 4 赋】数刘2-月+ 单调递减区间为 4 【变式33】已知函数f到=sim（+sim2x,则() A在任没 上单调递减 B.倒在年 上单调递增 C.到在0，上单调递增 D.f(x)在26 上单调递增 第3页 考点四三角函数的周期性问题 【例4】函数y=m3x-于到的最小正周期为 【变式4】函数=cosm的最小正周期为() A. B.刀 C.4π D.2π 【4】属陵y-+到m(+ 的最小正周期为。 【变式43】已知i=sm(行+写}cm[仔+写引，则0+e+…+f202)的值为(） A.25 B.√5 C.1 D.0 考点五三角函数的对称性问题 【例5】下列是函数f八=an2x-到 的对称中心的是（) a.（0 B.( c.(0,0 D.(0 【变式5】函数=2x+写 的图像（) A关于点0对称 B.关于点 C.关于直线x=乃对称 D.关于直线x=交对称 6 第4页 【变式5-2】设函数fx=2c0s2x+p的图象关于点红0中心对称，则m的最小值为() 6 A.In 6 6 c. D. 6 【变式53】三知厌数/因=-2a2x+).0<<孕，其函数图家的一个对称中心是（后0，则该 函数的一个单调递减区间是()】 c 【变式5.4】已知函数f)=2 sin(x+p)0>0,-<p< 图象的相邻两条对称轴之间的距离为？，且关 于点（餐.0）对称，则的值为() A.12 B. 6 C. 4 D.3 考点六根据三角函数的性质求参数 【例60】若函数1=oor+号到在区间[子 上单调递减，则正数0的取值范围为() A.(0g B. 58 3'3 D. 【变式6】已知函数f到1-2smox+名)o>0在区阿[ξ 为单调递减函数，则⊙的最大值 是。 【变式6-2】已知函数f(x)=cos(ox+p)(0>0,0≤p≤π)是奇函数，且在 _ππ 43 上单调递减，则⊙ 第5页 的最大值为。 【变式63】已知函数f(x)=c0s0x+}o>0)在0，d列有且仅有两个零点，则@的取值范围是() Ag).(后c引n.[) 【变式6-4】已知函数f()=5 sin wx+COS WX(w>0)在区间 上恰有一个最大值点和一个最小 值点，则实数⊙的取值范围是 0 课后练习： 1.函数y=c0sx的最小正周期为() B.π C.ir 2 D.2n 2.函数了=sm2x+}3cosx的个华调港塔区有是（) C. 4 D. π5π 2’4 3.知示数=sm《-引x∈R风).下面结论错误的是( ) A.函数f(x)的最小正周期为2元 B数四在区Q引 上是增函数 C.函数f(x)的图像关于y轴对称 D.函数f(x)的图像关于点（π，O)对称 4、函数y=√2cos2x+1的定义域是 第6页 ⑤、已知0>0，函数f)=si(@x+)在（兮，π）上单调递减，则0的取值范围是 。 41 6已知数f1a到=25cas2x+侣)-sn4红+》则刷图象的对称中心为一 第7页 三角函数的图象与性质 知识点一 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 知识点二 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识点三 与三角函数奇偶性相关的结论 （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 考点一 求三角函数的定义域 【例1】函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，所以函数的定义域是.故选：D 【变式1-1】函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 因为，所以，解得，即函数的定义域为 故答案为： 【变式1-2】函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由题意，， 所以，． 故答案为：． 【变式1-3】在区间[0，2π]上，函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】由题意得，且，即 且， 所以，得，所以函数的定义域为， 故答案为： 考点二 求三角函数的值域(最值) 【例2】函数的值域为 . 【答案】 【解析】设，因为，可得， 因为正切函数在上的值域为， 即函数在的值域为. 故答案为：. 【变式2-1】已知函数，的最小值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以当时，取得最小值为. 故答案为：. 【变式2-2】函数的值域________． 【答案】 【解析】 ， ， ， 故， 故答案为： 考点三 求三角函数的单调区间 【例3】函数在上的单调递减区间是 ． 【答案】（开区间也对） 【解析】由，得， 故函数的单调递减区间为 再结合，可得函数在上的递减区间为. 故答案为：. 【变式3-1】函数的单调递增区间是 。 【答案】 【解析】令，解得， 因此，函数的单调递增区间是. 【变式3-2】函数单调递减区间为 。 【答案】， 【解析】由题意，设，解得． 【变式3-3】已知函数，则（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】D 【解析】依题意可知，，记，则， 对于A选项，因为，所以，则在上不单调， 则在上不单调，故A错误； 对于B选项，因为，所以，则在上不单调， 则在上不单调，故B错误； 对于C选项，因为，所以，则在上单调递减， 则在上单调递减，故C错误； 对于D选项，因为，所以，则在上单调递增， 则在上单调递增，故D正确.故选：D. 考点四 三角函数的周期性问题 【例4】函数的最小正周期为 ． 【答案】 【解析】函数的最小正周期为.故答案为：. 【变式4-1】函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以函数的最小正周期.故选：D. 【变式4-2】函数的最小正周期为 。 【答案】 【解析】因为， 又的最小正周期为，函数的图像是将图像在轴下方的部分翻折到轴上方，因此函数的最小正周期为：. 【变式4-3】已知，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【解析】，所以最小正周期为， 且 ， 所以 . 故选：B. 考点五 三角函数的对称性问题 【例5】下列是函数的对称中心的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，， 所以，函数的对称中心的是，. 对于A项，由，可得，故A项错误； 对于B项，由，可得，故B项错误； 对于C项，由，可得，故C项错误； 对于D项，由，可得，故D项正确.故选：D. 【变式5-1】函数的图像（ ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【解析】令,得,所以对称点为. 当,为,故B正确；令,则对称轴为, 因此直线和均不是函数的对称轴.故选：B 【变式5-2】设函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得，Z,  解得，Z, 所以当时，的最小值为，故选：. 【变式5-3】已知函数，，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是函数的对称中心，所以，解得 因为，所以，， 令，解得， 当时，函数的一个单调递减区间是故选：D 【变式5-4】已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的两条相邻的对称轴之间的距离为，则， 即，且，解得，可得， 又因为关于点对称，则， 即，则，解得，， 且，所以.故选：B. 考点六 根据三角函数的性质求参数 【例6】若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数在区间上单调递减，得，可得， 又由，必有，可得.故选：A 【变式6-1】已知函数在区间为单调递减函数，则的最大值是 。 【答案】 【解析】f（x）=cos（2ωx+），由2kπ≤2ωx+≤2kπ+π，k∈Z， 得﹣≤x≤+，即函数的单调递减区间为[﹣，+]，k∈Z， 若f（x）在区间[]内单调递减，则满足得， 同时≥﹣=，则≥，则ω≤3当k=0时，0＜ω≤，当k=1时，不等式无解，故ω的最大值为。 【变式6-2】已知函数是奇函数，且在上单调递减，则的最大值为 。 【答案】 【解析】因为是奇函数所以，所以 所以因为在上单调递减所以在上单调递增 所以，解得 因为，所以时得所以的最大值为 【变式6-3】已知函数在有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且在仅有两个零点，， 故，所以，解得.故选：C. 【变式6-4】已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是 。 【答案】 【解析】由题意，函数， 令，所以，在区间上恰有一个最大值点和最小值点， 则函数恰有一个最大值点和一个最小值点在区间， 则，解答，即， 课后练习： 1．函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 函数的最小正周期为： 故选：D 2．函数的一个单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，， 令，则，则，开口向下，对称轴， 当，不单调，不符合题意， 当时，单调递减且，即， 根据二次函数的性质可知，当，函数单调递减， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增．故选： 3．已知函数,下面结论错误的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数 C．函数的图像关于y轴对称 D．函数的图像关于点对称 【答案】D 【解析】. 选项A：函数的最小正周期为：,故本结论是正确的； 选项B：由的性质可知：在区间上是减函数,因此函数在区间上是增函数,故本结论是正确的；选项C：,所以函数的图像关于y轴对称,故本结论是正确的； 选项D：的对称点的坐标为,故本结论是错误的.故选：D 4、函数的定义域是 。 【答案】 【解析】由题意可得， 解得. 5、已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 。 【答案】 【解析】由题意可得,， ，，． 6、已知函数，则的图象的对称中心为 。 【答案】 【解析】 令，得 则的图象的对称中心为. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $