第22讲：三角函数的概念同角三角函数公式【知识梳理+9个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦三角函数的概念这一核心知识点，从单位圆与一般定义切入，系统梳理定义域值域、符号规律、诱导公式等基础内容，构建“定义-性质-应用”的学习支架，延伸至9类典型题型如已知终边上点求函数值、符号与象限判断等。 资料以“答题模板+题型分类”为特色，通过“一全正二正弦”等口诀培养数学语言表达，借助单位圆与三角函数线发展几何直观的数学眼光，以分步解题策略提升逻辑推理的数学思维。例如“已知终边上点求函数值”模板规范解题步骤，课中辅助教师高效授课，课后助力学生自主查漏补缺。

2025-2026年人教A版高一数学常考题型归纳 【第22讲：三角函数的概念】 总览 题型梳理 1.三角函数的定义（核心考点） （1）单位圆定义：设α是任意角（α∈R），其终边与单位圆交于点P(x,y)，则： 正弦函数：sinα=y； 余弦函数：cosα=x； 正切函数：tanα=y/x（x≠0）。（1）单位圆定义：设是任意角（），其终边与单位圆交于点，则：正弦函数：；余弦函数：；正切函数：（）. （2）一般定义：设角α终边上任意一点P（不与原点重合）的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r=√(x²+y²)，则： sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x（x≠0）。（2）一般定义：设角终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为，则：，，（）. 关键结论：①三角函数值仅与角α的大小有关，与终边上点P的位置无关（核心性质，常考判断题）；②若角α终边落在坐标轴上，为轴线角，此时部分三角函数可能无意义（如终边在y轴上时，tanα无意义）。. 注意事项：①计算r时需保证r=√(x²+y²)>0（因P不与原点重合）；②正切函数tanα=y/x的分母x≠0，对应角α终边不能落在y轴上。注意事项：①计算时需保证（因不与原点重合）；②正切函数的分母，对应角终边不能落在轴上. 2.三角函数的定义域与值域（常考约束条件） 正弦函数y=sinα：定义域为R，值域为[-1,1]； 余弦函数y=cosα：定义域为R，值域为[-1,1]； 正切函数y=tanα：定义域为{α|α≠π/2+kπ,k∈Z}，值域为R。 正弦函数：定义域为，值域为； 余弦函数：定义域为，值域为； 正切函数：定义域为，值域为. 常考结论：①|sinα|≤1，|cosα|≤1，（高频不等式约束条件，用于求参数范围）；②正切函数无最大值、最小值，在每个单调区间内单调递增。. 注意事项：求解与三角函数相关的复合函数定义域时，需同时满足原函数定义域和复合条件（如偶次根式下非负、分母不为0等）. 3.三角函数值的符号规律与判定方法 简记：一全正、二正弦、三正切、四余弦（核心记忆口诀）。具体分布： 第一象限：sinα>0，cosα>0，tanα>0； 第二象限：sinα>0，cosα<0，tanα<0； 第三象限：sinα<0，cosα<0，tanα>0； 第四象限：sinα<0，cosα>0，tanα<0。简记：一全正、二正弦、三正切、四余弦（核心记忆口诀）.具体分布：-第一象限：，，；-第二象限：，，；-第三象限：，，；-第四象限：，，. 常考结论：①sinα与cscα符号相同，cosα与secα符号相同，tanα与cotα符号相同（倒数关系推导，拓展考点）；②若sinα·cosα>0，则α在第一或第三象限；若sinα·cosα<0，则α在第二或第四象限（乘积符号判定象限，高频题型）。常考结论：①与符号相同，与符号相同，与符号相同（倒数关系推导，拓展考点）；②若，则在第一或第三象限；若，则在第二或第四象限（乘积符号判定象限，高频题型）. 注意事项：轴线角的三角函数符号特殊，需单独记忆（如α=π时，sinα=0，cosα=-1，tanα=0）。注意事项：轴线角的三角函数符号特殊，需单独记忆（如时，，，）. 4.诱导公式一（终边相同角的三角函数关系）与周期性 对于任意角α和整数k，有： sin(α+k·2π)=sinα； cos(α+k·2π)=cosα； tan(α+k·2π)=tanα。对于任意角和整数，有：；；. 常考结论：①正弦、余弦函数的最小正周期为2π，正切函数的最小正周期为π（高频考点，常考周期求解）；②终边相同的角的同名三角函数值相等，可将任意角的三角函数转化为[0,2π)内角的三角函数求解。. 注意事项：①公式中的k为整数，可正可负（如k=-1时，sin(α-2π)=sinα）；②正切函数的诱导公式可拓展为tan(α+kπ)=tanα（k∈Z），周期缩短为π。注意事项：①公式中的为整数，可正可负（如时，）；②正切函数的诱导公式可拓展为（），周期缩短为. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：三角函数的概念】 【解题策略】 场景1：已知角终边上一点坐标，求三角函数值 答题模板： 第一步：审题定位——明确角α终边上点P的坐标(x,y)，确认P不与原点重合； 第二步：计算r值——代入公式r=√(x²+y²)，精准计算r的数值（注意根号化简）； 第三步：代入求解——根据定义式sinα=y/r、cosα=x/r、tanα=y/x（x≠0、、（），分别计算三个三角函数值； 第四步：验证检查——核对r的计算是否正确，正切函数是否存在（x是否为0）. 场景2：已知角的一个三角函数值及终边上点的横/纵坐标，求其他三角函数值 答题模板： 第一步：设点表r——设终边上点P的坐标为已知横/纵坐标与参数的形式（如已知y=-3，P(x,-3)），表示r=√(x²+y²)，设），表示（含参数）； 第二步：建立方程——根据已知三角函数值，代入对应定义式建立关于参数的方程； 第三步：求解参数——解方程得参数值，结合三角函数符号判断参数的正负（排除不合理解）； 第四步：计算结果——将参数值代入r的表达式求r，再代入定义式求其他三角函数值. 场景3：已知角的终边所在直线方程，求三角函数值 答题模板： 第一步：分类设点——根据直线方程的象限分布，在终边上取两个不同象限的代表点（如直线y=2x，取第一象限(1,2)、第三象限(-1,-2)，取第一象限、第三象限）； 第二步：分别算r——对每个代表点，计算对应的r值； 第三步：代入求解——针对每个象限的点，代入定义式计算三角函数值； 第四步：总结结论——分象限写出三角函数值（注意同一正切值在不同象限可能相同）. （24-25高一上·上海·课堂例题）(1)已知点（）是角终边上一点，求、、、的值；经典例题例题 (2)已知角的终边在直线上，求、、、的值. （25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）角的终边经过点，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．0 （2025高三·全国·专题练习）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）．小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知角的终边与单位圆的交点为，则 .小试牛刀3 【题型2：三角函数的符号与角所在的象限/范围判断】 【解题策略】 第一步：明确已知条件——提取题目中给出的三角函数符号（如sinα<0、cosα>0、）； 第二步：对应象限分布——根据“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀，确定每个三角函数符号对应的象限； 第三步：求象限交集——找出所有条件共同对应的象限，即为角α的终边所在象限； 第四步：验证轴线角——若条件涉及三角函数值为0，需补充验证轴线角是否符合要求（如sinα=0时，α终边在x轴上）. （24-25高一·上海·随堂练习）（1）若，且，则角属于第几象限？经典例题例题 （2）若，且，则角属于第几象限？ （25-26高三上·云南昆明·月考）已知，则是（   ）小试牛刀1 A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角 （24-25高一下·辽宁大连·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ）小试牛刀2 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （24-25高一下·河南南阳·开学考试）的值（    ）小试牛刀3 A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【题型3：求任意角的三角函数值（负角，大角转化）】 【解题策略】 第一步：定位角的终边 根据角的正负性（正角：从x轴非负半轴逆时针旋转；负角：从x轴非负半轴顺时针旋转）和具体大小，在平面直角坐标系中确定角的终边位置，明确终边所在的象限或坐标轴。 第二步：选取终边上的点并计算值 优先选取终边与单位圆的交点（单位圆半径，简化计算），直接读取或通过终边位置确定交点坐标； 若终边未与单位圆重合，可在终边上任意选取一个非原点的点（建议选取坐标为整数的点，方便计算），代入公式（）计算点到原点的距离。 第三步：代入定义式求解三角函数值 根据三角函数的核心定义，直接代入坐标和值计算： 正弦函数：； 余弦函数：； 正切函数：（注意：若，即终边落在轴上，无意义）。 第四步：验证结果的合理性 符号验证：根据终边所在象限，核对、的符号是否与象限规律一致（如第一象限、，则、均为正）； 数值验证：若选取单位圆上的点，需满足，确保（平方关系验证，无需诱导公式），避免坐标或计算错误. （25-26高一上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点位于第 象限．经典例题例题 （25-26高三上·四川绵阳·月考）的值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·宁夏银川·期中）的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·辽宁朝阳·月考）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：单位上的动点与旋转问题（几何意义的应用）】 【解题策略】 第一步：确定初始角——明确单位圆上动点的初始位置（通常为A(1,0)，对应角为0）； 第二步：计算旋转后角——根据旋转方向（顺时针减角、逆时针加角）和旋转弧度/角度，计算动点对应的最终角α； 第三步：利用定义求坐标——由单位圆定义，动点坐标为(cosα,sinα)，代入α计算cosα和sinα和的值； 第四步：验证旋转方向——确认旋转方向对角度符号的影响（顺时针旋转角度为负，逆时针为正）. （2024高三·全国·专题练习）设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是 ．经典例题例题 （2024高一·全国·课后作业）点从出发，沿单位圆顺时针运动弧长，终边落在射线上，则的大小为（  ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·上海·开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时120秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转40秒时，此盛水筒对应的点的纵坐标为 ．小试牛刀2 （24-25高一上·湖南益阳·期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：sinα、cosα、tanα的知一求二问题（同角关系应用）】 【解题策略】 第一步：确定已知条件——明确已知的三角函数值及角α的象限（若未直接给出，需通过已知条件判断）； 第二步：选择合适关系——若已知sinα或cosα，优先用平方关系sin²α+cos²α=1；若已知tanα，优先用商数关系tanα=sinα/cosα或，优先用平方关系；若已知，优先用商数关系，结合平方关系求解； 第三步：判断符号——根据角α的象限，确定未知三角函数值的正负（关键步骤，避免漏解）； 第四步：计算结果——代入关系式求解未知三角函数值，验证是否符合定义域要求. （2025高三·全国·专题练习）根据下列条件，求角的正弦、余弦、正切中未知的量：经典例题例题 (1)已知，并且是第三象限的角； (2)已知，并且是第二象限的角． （24-25高一下·全国·课堂例题）（1）已知，并且是第二象限角，求和的值．小试牛刀1 （2）已知，求和的值． （24-25高一上·黑龙江大庆·期末）（1）已知是第二象限角，且，求，的值；小试牛刀2 （2）已知是第三象限角，且，求，的值． （24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求，的值；小试牛刀3 （2）已知，，求的值． 【题型6：sinα±cosα与sinαcosα的关系应用（恒等变形核心）】 【解题策略】 第一步：明确转化目标——判断题目是由“和差”求“乘积”，还是由“乘积”求“和差”； 第二步：选用核心恒等式——(sinα±cosα)²=1±2sinαcosα； 第三步：代入计算——将已知的sinα±cosα或sinαcosα代入恒等式，求解目标式； 第四步：验证符号（可选）——若需进一步求sinα或cosα，需结合和差式的符号判断角的象限，确定最终值。答题模板：第一步：明确转化目标——判断题目是由“和差”求“乘积”，还是由“乘积”求“和差”；第二步：选用核心恒等式——；第三步：代入计算——将已知的或代入恒等式，求解目标式；第四步：验证符号（可选）——若需进一步求或，需结合和差式的符号判断角的象限，确定最终值. 【多选题】（24-25高一下·河南南阳·月考）已知在中，，则下列命题中正确的是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（22-23高一下·江苏镇江·开学考试）已知，，则下列等式正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7:三角函数线的应用（几何法求解范围/比较大小)】 【解题策略】 解题核心：利用单位圆中三角函数线（正弦线MP、余弦线OM、正切线AT）的几何意义，直观判断三角函数值的大小、范围. 答题模板： 第一步：绘制单位圆与三角函数线——在单位圆中画出对应角α的终边，作出正弦线、余弦线或正切线； 第二步：分析几何意义——明确三角函数线的长度对应三角函数值的绝对值，方向对应符号； 第三步：求解目标问题——①比较大小：根据三角函数线的长短和方向判断；②求范围：结合三角函数线的取值范围确定角或函数值的范围； 第四步：总结结论——将几何直观转化为代数结论. （24-25高一上·全国·课堂例题）（1）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线．经典例题例题 ①；②． （2）分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较：和，和，和的大小． （23-24高一·全国·课后作业）设，，，则a､b､c的大小顺序为 (按从小到大的顺序排列).小试牛刀1 （2024贵州遵义·三模）已知，，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高三练习）（1）设，试证明：；小试牛刀3 （2）若，试比较与的大小. 【多选题】（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（    ）小试牛刀4 A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 【题型8:与三角函数定义域相关的复合函数问题】 【解题策略】 解题核心：结合三角函数的定义域和复合函数的约束条件（如偶次根式、分式、对数等），分步求解定义域。. 答题模板： 第一步：分解约束条件——列出复合函数中所有限制条件（如三角函数自身定义域、根式下非负、分母不为0等）； 第二步：转化为角的范围——将每个约束条件转化为关于角的不等式； 第三步：求解不等式组——结合三角函数的周期性，求出所有不等式的交集； 第四步：表示定义域——用集合或区间形式规范表示定义域（注意标注） （24-25高一上·全国·课后作业）在内，下列区间中使得成立的是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （24-25高一上·全国·课后作业）在内，不等式的解集是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二上·广东广州·期中）若，且，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高一下·北京门头沟·期中）函数的定义域为（    ）小试牛刀3 A．， B．， C．， D．， 【题型9:同角三角函数的“弦化切”问题（求值/化简）】 【解题策略】 核心考点 定义：利用同角三角函数的商数关系（），将含、的表达式转化为仅含的表达式，实现“弦”（正弦、余弦）到“切”（正切）的转化. 适用场景：①已知的值，求关于、的齐次式（分子分母次数相同）的值；②化简含、的齐次式为关于的代数式. 常考结论：①齐次式定义：若表达式中、的最高次数相同（常数项可看作次齐次式，需转化为构成二次齐次式）；②弦化切的核心是“齐次式同除”，即分子分母同时除以（一次齐次式）或（二次齐次式）. 注意事项：①转化前需确保（即有意义）；②非齐次式需通过“”补全为齐次式后再转化. 答题模板 场景1：已知（为常数），求齐次式的值 第一步：判断齐次式类型 一次齐次式（如）； 二次齐次式（如或）. 第二步：齐次式同除转化 一次齐次式：分子分母同时除以（），得； 二次齐次式：分子分母同时除以，得（分式型）或（整式型，本质是分母为，同除后转化）. 第三步：代入计算 将已知的值代入转化后的表达式，直接计算结果. 第四步：验证合理性 若不存在（即），需先判断齐次式是否有意义（如一次齐次式分母），再特殊处理. 场景2：化简含、的齐次式（化为仅含的形式） 第一步：补全齐次式（非齐次式专用） 若表达式含常数项（如），用替换常数项，补全为齐次式（如）. 第二步：因式分解（可选） 对补全后的齐次式进行因式分解，提取公因式（如），简化后续转化. 第三步：同除转化 分子分母同时除以（一次齐次式）或（二次齐次式），将所有转化为，约去后得到仅含的表达式. （25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）角顶点为原点，始边在轴非负半轴，终边上的一点，经典例题例题 (1)若，求，的值； (2)若 ①求中的值； ②求的值. （25-26高一上·全国·课前预习）已知点在角的终边上，且．小试牛刀1 (1)求的值； (2)求的值． （2025高三·全国·专题练习）已知，求的值．小试牛刀2 （25-26高一上·全国·课后作业）已知为第二象限角.小试牛刀3 (1)若，求的值； (2)若，求的值. 课后针对训练 1．【多选题】（24-25高一·全国·单元测试）若角的终边上有一点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．【多选题】（25-26高一上·福建厦门·期中）如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则（ ） A．在起始位置，扇形的面积为 B．经过，点的坐标为 C．经过，扇形的弧长为 D．经过，点在单位圆上第二次重合 4．（25-26高三上·北京·月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知角的终边在直线上，求的值 6．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知角的终边在第二象限，且终边上有一点，，则（    ） A． B． C．2 D． 7．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）若角的终边在第二象限，则 . 8．（25-26高三上·上海·开学考试）已知是第二象限的角，化简：= . 9．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，比较，，，，，的大小． 10．（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 11．【多选题】（24-25高一上·全国·课后作业）方程在区间上的解为（    ） A．0 B． C． D．π 12．（2026高三·全国·专题练习）已知，则 ， ． 13．（25-26高一上·全国·月考）在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边， (1)若是第二象限角，为其终边上一点，且，求的值； (2)若终边与单位圆交于第四象限内的点，，求的值及的坐标. 14．【多选题】（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知角A为的内角，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 15．【多选题】（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 16．【多选题】（24-25高一下·河北保定·月考）下列选项正确的是（   ） A． B．若为第三象限角，则为第一、三象限角 C．若，则 D．若，且为第二象限角，则 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，角的终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值； (2)求的值． 18．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知. (1)求； (2)若是第一象限角，求的值. 19．（24-25高一上·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点、过点作圆的切线，分别交轴、轴于点与． (1)若，求的坐标 (2)若的面积为2，求的值； (3)求的最小值． 20．（2024高一·全国·专题练习）已知，是关于的方程的两个根，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一数学常考题型归纳 【第22讲：三角函数的概念】 总览 题型梳理 1.三角函数的定义（核心考点） （1）单位圆定义：设α是任意角（α∈R），其终边与单位圆交于点P(x,y)，则： 正弦函数：sinα=y； 余弦函数：cosα=x； 正切函数：tanα=y/x（x≠0）。（1）单位圆定义：设是任意角（），其终边与单位圆交于点，则：正弦函数：；余弦函数：；正切函数：（）. （2）一般定义：设角α终边上任意一点P（不与原点重合）的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r=√(x²+y²)，则： sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x（x≠0）。（2）一般定义：设角终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为，则：，，（）. 关键结论：①三角函数值仅与角α的大小有关，与终边上点P的位置无关（核心性质，常考判断题）；②若角α终边落在坐标轴上，为轴线角，此时部分三角函数可能无意义（如终边在y轴上时，tanα无意义）。. 注意事项：①计算r时需保证r=√(x²+y²)>0（因P不与原点重合）；②正切函数tanα=y/x的分母x≠0，对应角α终边不能落在y轴上。注意事项：①计算时需保证（因不与原点重合）；②正切函数的分母，对应角终边不能落在轴上. 2.三角函数的定义域与值域（常考约束条件） 正弦函数y=sinα：定义域为R，值域为[-1,1]； 余弦函数y=cosα：定义域为R，值域为[-1,1]； 正切函数y=tanα：定义域为{α|α≠π/2+kπ,k∈Z}，值域为R。 正弦函数：定义域为，值域为； 余弦函数：定义域为，值域为； 正切函数：定义域为，值域为. 常考结论：①|sinα|≤1，|cosα|≤1，（高频不等式约束条件，用于求参数范围）；②正切函数无最大值、最小值，在每个单调区间内单调递增。. 注意事项：求解与三角函数相关的复合函数定义域时，需同时满足原函数定义域和复合条件（如偶次根式下非负、分母不为0等）. 3.三角函数值的符号规律与判定方法 简记：一全正、二正弦、三正切、四余弦（核心记忆口诀）。具体分布： 第一象限：sinα>0，cosα>0，tanα>0； 第二象限：sinα>0，cosα<0，tanα<0； 第三象限：sinα<0，cosα<0，tanα>0； 第四象限：sinα<0，cosα>0，tanα<0。简记：一全正、二正弦、三正切、四余弦（核心记忆口诀）.具体分布：-第一象限：，，；-第二象限：，，；-第三象限：，，；-第四象限：，，. 常考结论：①sinα与cscα符号相同，cosα与secα符号相同，tanα与cotα符号相同（倒数关系推导，拓展考点）；②若sinα·cosα>0，则α在第一或第三象限；若sinα·cosα<0，则α在第二或第四象限（乘积符号判定象限，高频题型）。常考结论：①与符号相同，与符号相同，与符号相同（倒数关系推导，拓展考点）；②若，则在第一或第三象限；若，则在第二或第四象限（乘积符号判定象限，高频题型）. 注意事项：轴线角的三角函数符号特殊，需单独记忆（如α=π时，sinα=0，cosα=-1，tanα=0）。注意事项：轴线角的三角函数符号特殊，需单独记忆（如时，，，）. 4.诱导公式一（终边相同角的三角函数关系）与周期性 对于任意角α和整数k，有： sin(α+k·2π)=sinα； cos(α+k·2π)=cosα； tan(α+k·2π)=tanα。对于任意角和整数，有：；；. 常考结论：①正弦、余弦函数的最小正周期为2π，正切函数的最小正周期为π（高频考点，常考周期求解）；②终边相同的角的同名三角函数值相等，可将任意角的三角函数转化为[0,2π)内角的三角函数求解。. 注意事项：①公式中的k为整数，可正可负（如k=-1时，sin(α-2π)=sinα）；②正切函数的诱导公式可拓展为tan(α+kπ)=tanα（k∈Z），周期缩短为π。注意事项：①公式中的为整数，可正可负（如时，）；②正切函数的诱导公式可拓展为（），周期缩短为. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：三角函数的概念】 【解题策略】 场景1：已知角终边上一点坐标，求三角函数值 答题模板： 第一步：审题定位——明确角α终边上点P的坐标(x,y)，确认P不与原点重合； 第二步：计算r值——代入公式r=√(x²+y²)，精准计算r的数值（注意根号化简）； 第三步：代入求解——根据定义式sinα=y/r、cosα=x/r、tanα=y/x（x≠0、、（），分别计算三个三角函数值； 第四步：验证检查——核对r的计算是否正确，正切函数是否存在（x是否为0）. 场景2：已知角的一个三角函数值及终边上点的横/纵坐标，求其他三角函数值 答题模板： 第一步：设点表r——设终边上点P的坐标为已知横/纵坐标与参数的形式（如已知y=-3，P(x,-3)），表示r=√(x²+y²)，设），表示（含参数）； 第二步：建立方程——根据已知三角函数值，代入对应定义式建立关于参数的方程； 第三步：求解参数——解方程得参数值，结合三角函数符号判断参数的正负（排除不合理解）； 第四步：计算结果——将参数值代入r的表达式求r，再代入定义式求其他三角函数值. 场景3：已知角的终边所在直线方程，求三角函数值 答题模板： 第一步：分类设点——根据直线方程的象限分布，在终边上取两个不同象限的代表点（如直线y=2x，取第一象限(1,2)、第三象限(-1,-2)，取第一象限、第三象限）； 第二步：分别算r——对每个代表点，计算对应的r值； 第三步：代入求解——针对每个象限的点，代入定义式计算三角函数值； 第四步：总结结论——分象限写出三角函数值（注意同一正切值在不同象限可能相同）. （24-25高一上·上海·课堂例题）(1)已知点（）是角终边上一点，求、、、的值；经典例题例题 (2)已知角的终边在直线上，求、、、的值. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）先求出，然后分和两种情况根据任意角的三角函数的定义求解即可； （2）由题意得角的终边某一点的坐标为，求出，然后分和两种情况根据任意角的三角函数的定义求解即可； 【详解】（1）解：因为，所以. 当时，，所以，，，； 当时，，所以，，，. （2）解：由题意得角的终边某一点的坐标为， 所以， 当时，，所以，，，. 当时，，所以，，，. （25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）角的终边经过点，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点， 则. 所以 故选：B （2025高三·全国·专题练习）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）．小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为其终边上一点，且， 由三角函数的定义，可得，解得或或， 又因为是第二象限角，所以，所以. 故选：D. （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知角的终边与单位圆的交点为，则 .小试牛刀3 【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义求出，代入所求式计算即得. 【详解】由题意，， 则. 故答案为：. 【题型2：三角函数的符号与角所在的象限/范围判断】 【解题策略】 第一步：明确已知条件——提取题目中给出的三角函数符号（如sinα<0、cosα>0、）； 第二步：对应象限分布——根据“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀，确定每个三角函数符号对应的象限； 第三步：求象限交集——找出所有条件共同对应的象限，即为角α的终边所在象限； 第四步：验证轴线角——若条件涉及三角函数值为0，需补充验证轴线角是否符合要求（如sinα=0时，α终边在x轴上）. （24-25高一·上海·随堂练习）（1）若，且，则角属于第几象限？经典例题例题 （2）若，且，则角属于第几象限？ 【答案】（1）第三象限；（2）第四象限． 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式化切为弦，再根据三角函数在各象限内的符号即可得解； （2）根据三角函数在各象限内的符号即可得解. 【详解】（1）因为，则，即， 又因为，则，即， 所以角属于第三象限； （2）由，且，知， 又因为，所以角属于第四象限． （25-26高三上·云南昆明·月考）已知，则是（   ）小试牛刀1 A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角 【答案】D 【分析】先利用同角三角函数关系将已知条件转化，再根据三角函数符号判断角的象限. 【详解】因为，所以，所以是第一或第四象限角. 故选：D （24-25高一下·辽宁大连·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ）小试牛刀2 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据弧度制与象限角的知识，判断与的正负，进而确定点所在的象限. 【详解】因为，，且，所以弧度的角是第二象限角. 根据余弦函数的性质，在第二象限中，余弦值是负数，所以. 根据正切函数的性质，在第二象限中，正切值是负数，所以. 在平面直角坐标系中，横坐标小于且纵坐标小于的点在第三象限， 因为点中，，所以点在第三象限. 即点在平面直角坐标系中位于第三象限. 故选：. （24-25高一下·河南南阳·开学考试）的值（    ）小试牛刀3 A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据三角函数在各象限的符号求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，，， 故选：B 【题型3：求任意角的三角函数值（负角，大角转化）】 【解题策略】 第一步：定位角的终边 根据角的正负性（正角：从x轴非负半轴逆时针旋转；负角：从x轴非负半轴顺时针旋转）和具体大小，在平面直角坐标系中确定角的终边位置，明确终边所在的象限或坐标轴。 第二步：选取终边上的点并计算值 优先选取终边与单位圆的交点（单位圆半径，简化计算），直接读取或通过终边位置确定交点坐标； 若终边未与单位圆重合，可在终边上任意选取一个非原点的点（建议选取坐标为整数的点，方便计算），代入公式（）计算点到原点的距离。 第三步：代入定义式求解三角函数值 根据三角函数的核心定义，直接代入坐标和值计算： 正弦函数：； 余弦函数：； 正切函数：（注意：若，即终边落在轴上，无意义）。 第四步：验证结果的合理性 符号验证：根据终边所在象限，核对、的符号是否与象限规律一致（如第一象限、，则、均为正）； 数值验证：若选取单位圆上的点，需满足，确保（平方关系验证，无需诱导公式），避免坐标或计算错误. （25-26高一上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点位于第 象限．经典例题例题 【答案】四 【分析】利用诱导公式一及三角函数值的符号法则判断出点的横、纵坐标的正负即可． 【详解】， ， 所以点位于第四象限. 故答案为：四 （25-26高三上·四川绵阳·月考）的值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数和余弦函数的诱导公式，结合特殊角的正切值和余弦值进行求解即可. 【详解】 ， 故选：A （25-26高三上·宁夏银川·期中）的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】. 故选：C. （24-25高一下·辽宁朝阳·月考）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的正余弦值及三角函数的定义即可求解． 【详解】，则， 故选：B． 【题型4：单位上的动点与旋转问题（几何意义的应用）】 【解题策略】 第一步：确定初始角——明确单位圆上动点的初始位置（通常为A(1,0)，对应角为0）； 第二步：计算旋转后角——根据旋转方向（顺时针减角、逆时针加角）和旋转弧度/角度，计算动点对应的最终角α； 第三步：利用定义求坐标——由单位圆定义，动点坐标为(cosα,sinα)，代入α计算cosα和sinα和的值； 第四步：验证旋转方向——确认旋转方向对角度符号的影响（顺时针旋转角度为负，逆时针为正）. （2024高三·全国·专题练习）设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是 ．经典例题例题 【答案】 【分析】先确定初始位置所在射线对应的角，由此得到，所在射线对应的角，由三角函数的定义求解即可． 【详解】解：初始位置在的终边上， 所在射线对应的角为， 所在射线对应的角为， 由题意可知，， 又， 则，解得， 所在的射线对应的角为， 由任意角的三角函数的定义可知，点的坐标是，即． 故答案为：． （2024高一·全国·课后作业）点从出发，沿单位圆顺时针运动弧长，终边落在射线上，则的大小为（  ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，在内求出终边落在射线上的角，再由点从出发，沿单位圆顺时针运动弧长到达射线，求出的值. 【详解】在射线上取一点，设对应的角为，则在第二象限，又，所以，所以. 故选：D. （24-25高二下·上海·开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时120秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转40秒时，此盛水筒对应的点的纵坐标为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用角速度得出40秒盛水筒旋转角度，结合初始位置即可得最终位置. 【详解】因，则，, 每旋转一周用时120秒，则筒车旋转40秒时共旋转， 则此时点所在角的终边为， 则点的纵坐标为. 故答案为： . （24-25高一上·湖南益阳·期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求解出，然后结合圆的垂径定理，借助三角函数即可完成求解. 【详解】 由题意可知，一个质点在圆O上每逆时针方向转一圈，那么后，到达P点，所以，而在中，且为圆的半径，取的中点T，如图，则，所以，则，所以 故选：C 【题型5：sinα、cosα、tanα的知一求二问题（同角关系应用）】 【解题策略】 第一步：确定已知条件——明确已知的三角函数值及角α的象限（若未直接给出，需通过已知条件判断）； 第二步：选择合适关系——若已知sinα或cosα，优先用平方关系sin²α+cos²α=1；若已知tanα，优先用商数关系tanα=sinα/cosα或，优先用平方关系；若已知，优先用商数关系，结合平方关系求解； 第三步：判断符号——根据角α的象限，确定未知三角函数值的正负（关键步骤，避免漏解）； 第四步：计算结果——代入关系式求解未知三角函数值，验证是否符合定义域要求. （2025高三·全国·专题练习）根据下列条件，求角的正弦、余弦、正切中未知的量：经典例题例题 (1)已知，并且是第三象限的角； (2)已知，并且是第二象限的角． 【答案】(1)， (2)， 【分析】根据同角三角函数的平方关系及商数关系求解即可． 【详解】（1）已知，并且是第三象限的角， ，， ． （2）已知，并且是第二象限的角， ，， ． （24-25高一下·全国·课堂例题）（1）已知，并且是第二象限角，求和的值．小试牛刀1 （2）已知，求和的值． 【答案】（1），；（2）答案见解析 【分析】（1）利用同角三角函数关系结合角的象限求解即可； （2）利用同角三角函数关系，按照角的象限分类讨论求解即可. 【详解】（1），又因为是第二象限角， 所以，． （2）， 因为，所以是第二或第三象限角， 当是第二象限角时，； 当是第三象限角时，． （24-25高一上·黑龙江大庆·期末）（1）已知是第二象限角，且，求，的值；小试牛刀2 （2）已知是第三象限角，且，求，的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据同角三角函数关系结合角度范围求解即可得答案. （2）根据同角三角函数关系结合角度范围求解即可得答案. 【详解】（1）因为是第二象限角， 所以；． （2）或 因为是第三象限角，所以 （24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求，的值；小试牛刀3 （2）已知，，求的值． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】利用同角公式和弦切互化公式，结合不同象限角的三角函数符号来求值即可. 【详解】因为，且，所以是第二或第三象限的角． 当是第二象限角时，有，． 当是第三象限角时，同理有 ，． 由已知得 由①得，代入②得， 所以．又，所以，所以． 【题型6：sinα±cosα与sinαcosα的关系应用（恒等变形核心）】 【解题策略】 第一步：明确转化目标——判断题目是由“和差”求“乘积”，还是由“乘积”求“和差”； 第二步：选用核心恒等式——(sinα±cosα)²=1±2sinαcosα； 第三步：代入计算——将已知的sinα±cosα或sinαcosα代入恒等式，求解目标式； 第四步：验证符号（可选）——若需进一步求sinα或cosα，需结合和差式的符号判断角的象限，确定最终值。答题模板：第一步：明确转化目标——判断题目是由“和差”求“乘积”，还是由“乘积”求“和差”；第二步：选用核心恒等式——；第三步：代入计算——将已知的或代入恒等式，求解目标式；第四步：验证符号（可选）——若需进一步求或，需结合和差式的符号判断角的象限，确定最终值. 【多选题】（24-25高一下·河南南阳·月考）已知在中，，则下列命题中正确的是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据同角三角函数关系，列出方程组，求出三角函数值，判断选项正误. 【详解】由题意知，化简得， 解得，因为在中,所以，即， 因为，所以， 联立方程组可得，解得，，，所以AB错误，CD正确. 故选：CD. 【多选题】（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用与的关系，结合求解判断；对C，由选项B，结合条件求出得解；对D，由平方差公式结合选项B求解. 【详解】对于A，由，则，化简得，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 【多选题】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，是方程的两根，则， ，即，解得， 此时，符合题意，因此，A错误； 对于B，由，，得，， ，B正确； 对于C，由选项B及已知得，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 【多选题】（22-23高一下·江苏镇江·开学考试）已知，，则下列等式正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用，的关系，结合平方关系判断各项正误. 【详解】因为，则. 对于A，，可得，A正确； 对于B，由A可知，，则， 所以，则，B正确； 对于C，，可得则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD. 【题型7:三角函数线的应用（几何法求解范围/比较大小)】 【解题策略】 解题核心：利用单位圆中三角函数线（正弦线MP、余弦线OM、正切线AT）的几何意义，直观判断三角函数值的大小、范围. 答题模板： 第一步：绘制单位圆与三角函数线——在单位圆中画出对应角α的终边，作出正弦线、余弦线或正切线； 第二步：分析几何意义——明确三角函数线的长度对应三角函数值的绝对值，方向对应符号； 第三步：求解目标问题——①比较大小：根据三角函数线的长短和方向判断；②求范围：结合三角函数线的取值范围确定角或函数值的范围； 第四步：总结结论——将几何直观转化为代数结论. （24-25高一上·全国·课堂例题）（1）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线．经典例题例题 ①；②． （2）分别作出和的正弦线、余弦线和正切线，并比较：和，和，和的大小． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析，，， 【分析】（1）根据三角函数线的知识画出图象； （2）根据三角函数线的知识画出图象，并由此进行比较大小. 【详解】（1）如图，有向线段分别表示各角的正弦线、余弦线、正切线． （2）如图， ，，， ，，． 由图可知：，且符号皆正，∴； ，且符号皆负，∴； ，且符号皆负，∴． （23-24高一·全国·课后作业）设，，，则a､b､c的大小顺序为 (按从小到大的顺序排列).小试牛刀1 【答案】 【分析】利用单位圆作出三角函数线，利用和的终边关于轴对称，以及，利用三角函数线比较的大小. 【详解】如图，在单位圆中分别作出角的正弦线，角的余弦线､正切线. 由知， 又， 易知， ∴， 故. 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数线的简单应用，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型. （2024贵州遵义·三模）已知，，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据时，求解. 【详解】由时，可知，， 即， 故选：A （24-25高三练习）（1）设，试证明：；小试牛刀3 （2）若，试比较与的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用单位圆，找到对应正弦、正切线及对应弧长，利用三角形、扇形面积关系证明结论； （2）利用单位圆，找到正弦线及对应的弧长，应用几何法判断线段及弧长的大小关系，比较目标式的大小. 【详解】（1）如下单位圆中，若，轴，与单位圆切于点， 所以，，而扇形， 所以，即.    （2）作单位圆如下图，，且，，， 过作于，连接，则，故， 由，则，即.    【多选题】（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（    ）小试牛刀4 A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据弧长公式可判断A的正误；由正弦线余弦线的定义即可判断B的正误；当时，可知可判断C的正误；当时成立，故也一定满足，此时可判断D的正误. 【详解】由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有，所以A正确． 由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，是对应∠AOB的正弦值，即，所以是对应∠AOB的余弦值，即，所以B错误． 当时，，，所以C错误． 反过来，当，即时，一定成立，所以D正确． 故选：AD． 【题型8:与三角函数定义域相关的复合函数问题】 【解题策略】 解题核心：结合三角函数的定义域和复合函数的约束条件（如偶次根式、分式、对数等），分步求解定义域。. 答题模板： 第一步：分解约束条件——列出复合函数中所有限制条件（如三角函数自身定义域、根式下非负、分母不为0等）； 第二步：转化为角的范围——将每个约束条件转化为关于角的不等式； 第三步：求解不等式组——结合三角函数的周期性，求出所有不等式的交集； 第四步：表示定义域——用集合或区间形式规范表示定义域（注意标注） （24-25高一上·全国·课后作业）在内，下列区间中使得成立的是（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数在内的图象，由图象可得出结果. 【详解】如图画出函数在内的图象， 因为， 结合图象可知，在内，不等式的解集为. 故选：B． （24-25高一上·全国·课后作业）在内，不等式的解集是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意作正弦函数的图象，结合图象可得答案. 【详解】画出的图象如图： 因为，所以， 即在内，方程的解为或． 结合图象可知在内，不等式的解集是． 故选：C． （24-25高二上·广东广州·期中）若，且，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质解不等式即得. 【详解】由，得，而，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D （23-24高一下·北京门头沟·期中）函数的定义域为（    ）小试牛刀3 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，即， 解得，， 所以函数的定义域为，. 故选：C 【题型9:同角三角函数的“弦化切”问题（求值/化简）】 【解题策略】 核心考点 定义：利用同角三角函数的商数关系（），将含、的表达式转化为仅含的表达式，实现“弦”（正弦、余弦）到“切”（正切）的转化. 适用场景：①已知的值，求关于、的齐次式（分子分母次数相同）的值；②化简含、的齐次式为关于的代数式. 常考结论：①齐次式定义：若表达式中、的最高次数相同（常数项可看作次齐次式，需转化为构成二次齐次式）；②弦化切的核心是“齐次式同除”，即分子分母同时除以（一次齐次式）或（二次齐次式）. 注意事项：①转化前需确保（即有意义）；②非齐次式需通过“”补全为齐次式后再转化. 答题模板 场景1：已知（为常数），求齐次式的值 第一步：判断齐次式类型 一次齐次式（如）； 二次齐次式（如或）. 第二步：齐次式同除转化 一次齐次式：分子分母同时除以（），得； 二次齐次式：分子分母同时除以，得（分式型）或（整式型，本质是分母为，同除后转化）. 第三步：代入计算 将已知的值代入转化后的表达式，直接计算结果. 第四步：验证合理性 若不存在（即），需先判断齐次式是否有意义（如一次齐次式分母），再特殊处理. 场景2：化简含、的齐次式（化为仅含的形式） 第一步：补全齐次式（非齐次式专用） 若表达式含常数项（如），用替换常数项，补全为齐次式（如）. 第二步：因式分解（可选） 对补全后的齐次式进行因式分解，提取公因式（如），简化后续转化. 第三步：同除转化 分子分母同时除以（一次齐次式）或（二次齐次式），将所有转化为，约去后得到仅含的表达式. （25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）角顶点为原点，始边在轴非负半轴，终边上的一点，经典例题例题 (1)若，求，的值； (2)若 ①求中的值； ②求的值. 【答案】(1)，； (2)①；②. 【分析】（1）利用角与终边上点的坐标的关系即可求解； （2）利用齐次式，将弦化切即可求解. 【详解】（1）因为，，则点在第一象限，角为第一象限角，且， 由且，解得，. （2）①因为，且由题可知， 所以左右两边同时除以，得到， 因为，所以，即. ② . （25-26高一上·全国·课前预习）已知点在角的终边上，且．小试牛刀1 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据正弦的定义可求参数的值； （2）利用齐次化可求三角函数式的值. 【详解】（1）由题得，且， 解得或（舍去）． 故, （2）由（1）知，即，所以， 故原式 . （2025高三·全国·专题练习）已知，求的值．小试牛刀2 【答案】 【分析】变形，分母展开后，分子、分母都除以，即可求解． 【详解】∵， ∴ （分子、分母都除以） ， ∴． （25-26高一上·全国·课后作业）已知为第二象限角.小试牛刀3 (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为第二象限角，所以. 因为，所以. 所以. （2），则. 因为为第二象限角，所以， 所以. 课后针对训练 1．（24-25高一·全国·单元测试）若角的终边上有一点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据角终边上一点应用任意角的正弦及余弦的定义计算即可. 【详解】因为角的终边上有一点，， 当时，， 当时，， 故选：AD. 2．（24-25高一上·福建福州·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性确定的取值范围，化简计算的范围可得结果. 【详解】∵，，， ∴. 故选：A． 3．（25-26高一上·福建厦门·期中）如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则（ ） A．在起始位置，扇形的面积为 B．经过，点的坐标为 C．经过，扇形的弧长为 D．经过，点在单位圆上第二次重合 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用特殊角的三角函数，以及扇形的弧长和面积公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由点，可得，扇形的面积为，所以A正确； 对于B，经过，点转过了，所以点的坐标为，所以B正确； 对于C，经过，在的终边上，在的终边上， 所以扇形的弧长为，所以C错误； 对于D，要使得第二次相遇，则有走过的弧长减去走过的弧长=， 即设经过秒后，有，解得，所以D正确. 故选：ABD. 4．（25-26高三上·北京·月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求解. 【详解】因为终边上一点， 所以由三角函数点定义得，即， 所以， 故选：C. 5．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知角的终边在直线上，求的值 【答案】或 【分析】由于角的终边在直线上，而直线经过原点，它被原点分成两条射线，一条在第二象限，另一条在第四象限，分类讨论即可求解. 【详解】在直线任取一点，又直线经过原点， 则， 当时，，， 所以. 当时，，， 所以. 综上，的值为或. 6．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）已知角的终边在第二象限，且终边上有一点，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据任意角的三角函数定义求出即可求出，再根据角的终边在第二象限即可求出. 【详解】由题意可得，得或， 因角的终边在第二象限，则. 故选：A 7．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）若角的终边在第二象限，则 . 【答案】1 【分析】由题设，结合平方关系化简目标式求值即可. 【详解】由题设，则. 故答案为：1 8．（25-26高三上·上海·开学考试）已知是第二象限的角，化简：= . 【答案】 【分析】根据条件，利用三角函数在各个象限的符号得，再利用平方关系，即可求解. 【详解】因为是第二象限角，所以， 所以， 故答案为：. 9．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，比较，，，，，的大小． 【答案】，，，． 【分析】利用三角形函数定义可判断大小关系，再根据正弦、正切函数单调性可判断与，与大小关系. 【详解】 如图，当时，， 则， 因为，所以，． 又因为，，在上都是增函数，且， 所以，，． 综上，，，，． 10．（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可证，，得结论. 【详解】先证明：当时，.    如图，角终边为OP，其中点P为角的终边与单位圆的交点，轴，交x轴于点M， A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角终边于点T， 则有向线段MP为角的正弦线，有向线段AT为角的正切线， 设弧长， 由图形可知：，即， 所以，即. 则，所以． 而，所以， 所以. 故选：D． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）方程在区间上的解为（    ） A．0 B． C． D．π 【答案】ACD 【分析】求出相位的范围，再由给定值求出角即可得解. 【详解】当时，， 由，得或或， 解得或或， 所以方程在区间上的解为. 故选：ACD 12．（2026高三·全国·专题练习）已知，则 ， ． 【答案】 或 或 【分析】利用三角函数的基本关系求值. 【详解】因为，所以角为第三或第四象限角. 若为第三象限角，则，所以， ； 若为第四象限角，则，所以， . 故答案为：或；或. 13．（25-26高一上·全国·月考）在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边， (1)若是第二象限角，为其终边上一点，且，求的值； (2)若终边与单位圆交于第四象限内的点，，求的值及的坐标. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可； （2）利用商数关系和平方关系，结合角所在象限求三角函数值即可. 【详解】（1）依题意，，且，解得，则. （2）法1：， 因为①，两边平方得，即， 所以， 由角终边位于第四象限，得，， 所以②， 由①②解得：，，所以点P的坐标为. 法2：由角终边位于第四象限，得，， 因为①，且②， 由①②可得：，即， 整理得，解得，则. 所以 点P的坐标为. 14．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知角A为的内角，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意,结合同角三角函数的平方关系,可求得与的值,依次计算选项中的式子的值,即可选出正确选项. 【详解】因为，所以. 因为角A为的内角，所以,所以,所以 因为,所以,所以 所以,或（舍）,所以 选项A:,所以选项A正确. 选项B:,所以选项B错误. 选项C:,所以选项C错误. 选项D:,所以选项D正确. 故选:AD. 15．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系结合完全平方公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为①， 所以，则， 因为，所以，，所以，故A正确； 所以， 所以②，故D正确； 由①②联立可得，，，故B错误； 所以，故C错误． 故选：AD 16．（24-25高一下·河北保定·月考）下列选项正确的是（   ） A． B．若为第三象限角，则为第一、三象限角 C．若，则 D．若，且为第二象限角，则 【答案】AC 【分析】A利用诱导公式计算；B利用为第三象限角，得出即可判断；C利用齐次化思想；D利用即可. 【详解】，故A正确； 若为第三象限角，则，则， 则为第二、四象限角，故B错误； 若，则 ，故C正确； 若，且为第二象限角，则， 则，故D错误. 故选：AC 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，角的终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据条件，利用单位圆中三角函数的定义，即可求解； （2）将，，，的值代入，即可求出结果． 【详解】（1）由已知，角的终边与单位圆交于，且的纵坐标为， ，又是第一象限角，， ． 的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为， ，又是第二象限角，， ． （2）由（1），， ， ． 18．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知. (1)求； (2)若是第一象限角，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）配凑分母，根据正余弦齐次式的求法可构造方程求得结果； （2）利用同角三角函数关系化简所求式子，并求得的值，代入即可得到结果. 【详解】（1）， ，解得：或. （2）， 是第一象限角，，， 由（1）知：，由得：， . 19．（24-25高一上·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点、过点作圆的切线，分别交轴、轴于点与． (1)若，求的坐标 (2)若的面积为2，求的值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义直接求解即可； （2）根据题意求出和，再利用的面积为2，结合同角三角函数的基本关系计算即可求解； （3）结合（2）可表示出，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，所以，即. （2）由题意得为锐角，故在第一象限，则在轴正半轴上， 由题意可知，所以, 所以，由的面积为2， 得 又因为，所以， 所以； （3）由题意是锐角，则 所以 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16. 20．（2024高一·全国·专题练习）已知，是关于的方程的两个根，求的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，结合同角的三角函数关系式中的平方和关系进行求解即可. 【详解】由题意有，所以或， 又， 则，从而或（舍去）， 因此． 所以 ， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $