作业(五) 函数的概念及其表示-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(五) 函数的概念及其表示 函数的概念及其表示 函数 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.函数的三要素：定义域、对应关系、值域，注意：{y＝f(x)，x∈A}⊆B. 表示法 解析法、列表法和图象法 区间 符号∞不表示具体的数，而是表示一种理想状态 分段 函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数.注意：分段函数是一个函数 复合 函数 对于两个函数y＝f(u)，u∈A；u＝g(x)，x∈C.若{u|u＝g(x)，x∈C}⊆A，则把y＝f[g(x)]叫做y关于x的复合函数 1.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则f(g(2))的值是(　　) x 1 2 3 f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1 C.3 D.1和2 2.(2025·黄梅县育才中学高一月考) 函数f(x)＝＋的定义域是(　　) A.(－∞，－2)∪(－2,1)∪(1，＋∞) B.(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，＋∞) C.[－2，－1)∪(1，＋∞) D.[－2，－1)∪[1，＋∞) 3.(教材变式)中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是(　　) A.y＝x0－1与y＝0 B.y＝·与y＝ C.y＝x与z＝ D.y＝x2＋x与y＝ 4.(2025·承德一中高一期中)已知函数f(3－2x)＝，则(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 1.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则(　　) A.f(f(－3))＝1 B.f(－1)＝3.5 C.函数的定义域是(－∞，0]∪[2,3] D.函数的值域是[1,5] 2.(2025·泸州市合江中学高一期中)已知函数y＝f(x)的定义域是，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D. 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋2f(1－x)＝x2＋1，则f(0)＝(　　) A.1 B.－1 C.－ D. 4.(多选)某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，车费y(单位：元)与路程x(单位：km)的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.当路程为8 km时，乘客选择甲方案省钱 B.当路程为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可 C.当路程大于3 km时，每千米增加的车费甲方案比乙方案多 D.甲方案路程3 km内(含3 km)车费为5元，路程大于3 km每增加1 km车费增加0.7元 5.已知f(x)是R上的函数，f(0)＝1，并且对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)＝________. 6.设函数f(x)＝则f(f(0))＝________，使得f(a)≥4a的实数a的取值范围是________. 1.(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 3.(2022·北京卷)已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有(　　) A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)－f(x)＝0 C.f(－x)＋f(x)＝1 D.f(－x)－f(x)＝ 4.(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝则f＝______；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是________. 易错一　不理解分段函数的概念致误 [示例1]　(多选)已知函数f(x)＝若f(a)＝8，则实数a的值为(　　) A.－4 B.－2 C.2 D.8 分段函数是一个函数，一般应分段求解，最后综合或合并.　 易错二　不理解函数概念致误 [示例2]　下列各组函数中，f(x)和g(x)表示同一个函数的是(　　) A.f(x)＝x，g(x)＝ B.f(x)＝，g(x)＝· C.f(x)＝x，g(x)＝ D.f(x)＝|x|，g(x)＝ 函数由定义域和对应关系确定，两个函数如果定义域相等，对应关系相同，则是同一个函数，与表示变量所用字母无关.　 作业(五)　函数的概念及其表示 答案 [基础演练] 1.C　由表可知g(2)＝2，则f(g(2))＝f(2)＝3.故选C. 2.B　依题意，解得x<－2或－2<x≤－1或x≥1， 所以原函数定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1，＋∞).故选B. 3.C　对于A，函数y＝x0－1的定义域为{x|x≠0}，函数y＝0的定义域为R，两个函数的定义域不同，A不正确；对于B，函数y＝·的定义域为{x|x≥2}，函数y＝的定义域为{x|x≤－2或x≥2}，两个函数的定义域不同，B不正确；对于C，函数y＝x 的定义域为R，函数z＝的定义域为R，且z＝＝y，两个函数的定义域相同，对应法则也相同，C正确；对于D，函数y＝x2＋x的定义域为R，函数y＝的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，D不正确.故选C. 4.B　令t＝3－2x，则x＝， 可得f(t)＝＝， 所以f(x)＝.故选B. [综合演练] 1.AD　因为f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，故A正确；由题图不能得出f(－1)的确定值，故B错误；函数的定义域是[－3,0]∪[2,3]，故C错误；函数的值域是[1,5]，故D正确.故选AD. 2.C　由题意得－8≤2x＋1≤1，解得－≤x≤0， 由x＋2≠0，解得x≠－2， 故函数g(x)的定义域是∪， 故选C. 3.A　∵f(x)＋2f(1－x)＝x2＋1， ∴当x＝0时，f(0)＋2f(1)＝1①， 当x＝1时，f(1)＋2f(0)＝2②， ②×2－①，得3f(0)＝3，解得f(0)＝1.故选A. 4.ABC　当3<x<10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当路程为8 km 时，乘客选择甲方案省钱，A正确；当路程为10 km时，由题图可知，选择甲、乙方案的车费均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，B正确；当路程大于3 km时，甲方案每千米增加的费用为＝1(元)，乙方案每千米增加的费用为＝(元)，故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，C正确；由题图可知，甲方案路程3 km内(含3 km)车费为5元，路程大于3 km每增加1 km车费增加1元，D错误.故选ABC. 5.解析　令y＝x，则f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1，所以f(x)＝x2＋x＋1. 答案　x2＋x＋1 6.解析　f(f(0))＝f(1)＝4.当a<1时，f(a)＝(a＋1)2≥4a，得到a<1；当a≥1时，f(a)＝4－≥4a，得到a＝1，所以a≤1. 答案　4　(－∞，1] [真题体验] 1.A　若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1， 取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，充分性成立； 取f(x)＝2x，D＝R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1， 取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立； 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件.故选A. 2.B　(赋值法)　因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；依次类推，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8；f(6)>f(5)＋f(4)>8＋5＝13；f(7)>f(6)＋f(5)>13＋8＝21；f(8)>f(7)＋f(6)>21＋13＝34；f(9)>f(8)＋f(7)>34＋21＝55；f(10)>f(9)＋f(8)>55＋34＝89；f(11)>f(10)＋f(9)>89＋55＝144；f(12)>f(11)＋f(10)>144＋89＝233；f(13)>f(12)＋f(11)>233＋144＝377；f(14)>f(13)＋f(12)>377＋233＝610；f(15)>f(14)＋f(13)>610＋377＝987…显然f(16)>1 000，所以f(20)>1 000.故选B. 3.C　函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝1.故选C. 4.解析　∵f＝－2＋2＝>1， ∴f＝f＝＋－1＝. 由解得1<x≤2＋， ∴不等式1≤f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤2＋}， ∴b－a的最大值为2＋－(－1)＝3＋. 答案　　3＋ [易误警示] [示例1]　[解析]　当a≤1时，f(a)＝－2a＝8，a＝－4； 当a＞1时，f(a)＝2a2＝8，a＝2. [答案]　AC [示例2]　[解析]　对于A，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数；对于B，由x2－1≥0可得x≤－1或x≥1，所以函数f(x)的定义域为{x|x≤－1或x≥1}，由可得x≥1，所以函数g(x)的定义域为{x|x≥1}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数；对于C，函数g(x)＝|x|与函数f(x)＝x的对应关系不同，所以不是同一个函数；对于D，函数f(x)＝|x|＝与函数g(x)的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一个函数.故选D. [答案]　D 学科网（北京）股份有限公司 $