第一部分 假期必刷6 函数的概念及其表示-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业必刷题

=0022 富一数学恐 运筹帷幄之中，决胜千里之外。 假期必刷6函数的概念及其表示 完成日期： 月 日 〈《思维整合室 要点记忆 知识梳理 求函数解析式的五种常用方法 1.函数的概念 (1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求 给定两个 集A与B,以及对应关系 f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析 f,如果对于集合A中的 实数x,在 式，确定其系数即可. 集合B中都有 的实数y与x对 (2)换元法：已知f(g（x)的定义域，要求 应，则称f为定义在集合A上的一个函数. f(x)时，可令t=g(x),再求出f(t)的解析 2.函数的有关概念 式，然后用x代替所有的t即可. (1)函数的定义域、值域. (3)配凑法：已知f(g(x)的解析式，要求 在函数y=f(x),x∈A中，x叫做自变量， f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出 x的取值范围A叫做函数的 ;与 “g(x)”,即用g(x)来表示，再将解析式两 x的值相对应的y值叫做函数值，函数值 边的g(x)用x代替即可. 的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 (4)代入法：已知y=f(x)的解析式求y 显然，值域是集合B的子集， f(g(x)的解析式时，可直接用新自变量 (2)函数的三要素： 和 g(x)替换y=f(x)中的x. (3)相等函数：如果两个函数的 和 (5)方程组法：当同一个对应关系中的两个自 完全一致，则这两个函数相等，这是判 变量互为相反数或互为倒数关系时，可构 断两个函数相等的依据， 造方程组求解。 (4)函数的表示法， 表示函数的常用方法： 《技能提升台 技能提升 3.分段函数 √x,0x<1, 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同 1.设f(x) 若f(a)=f(a+1), 2(x-1),x≥1. 取值区间，有着不同的 ,这样的函 数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部 分组成，但它表示的是一个函数， A.2 B.4 自测自查 C.6 D.8 1.非空实数每一个唯一确定 2.若函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数 2.(1)定义域值域(2)定义域 值域对 应关系(3)定义域对应关系 (4)解析 g(x)=f2的定义域是 x-1 法列表法图象法 A.[0,2] B.(1,2] 3.对应关系 C.[0,1) D.以上都不对 13· 飞空快乐假明 S00-= 3.下列表示函数图象的是 6.“高斯函数”为：设x∈R,用[x]表示不超过 x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例 如：[-2.1]=一3，[3.1]=3.已知函数 f)=业-则函数y-fx)刃的 x2+1 值域是 A.{0,1} B.{0,1,2} C.{-1,0,1》 D.{-1,0,1,2} 4.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(一1)=5，且 7.（多选)若函数y=x2-4x一4的定义域为 图象过原点，则g(x)的解析式为 ( [0,m],值域为[一8，一4]，则实数m的值可 A.g(x)=2x2-3x 能是 ( B.g(x)=3x2-2x A.2 B.3 C.4 D.5 C.g(x)=3x2+2x 1+x2 D.g(x)=-3x2-2x 8.(多选)设f(x)-世则下列结论错误 5.如图中的文物叫做“垂 的有 鳞纹圆壶”，是甘肃礼 A.f(-x)=-f(x) =-f(x) 县出土的先秦时期的 青铜器皿，科研人员为 C.-I)-f( D.f(-x)=f(x) 了测量其容积，以恒定 9.函数f(x)=x2+2(x∈[-1,3])的值域是 的流速向其内注水，恰好用时30s注满，设 注水过程中，壶中水面高度为h(单位：cm), 10.若f(x)是一次函数，且f(f(x)=4x一1， 注水时间为t(单位：s),则下列选项中最符 则f(x)= 合h关于t的函数图象的是 11.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出： 木hlcm ↑h/cm 1 2 3 30t/s 30t/s f(x) 3 0 A B 3 Ah/cm ↑h/cm g(z) 3 2 1 30t/s 则满足f(g(x)>g(f(x)的x的值是 30t/s D ,f(g(x)<g(f(x))的x的值是 ·14 =0022 斋一教类卧) rf(x+1),-2<x<0, 14.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行 12.已知f(x)= 2x+1,0≤x<2, 自主创业.经过市场调查，小王公司生产某 x2-1,x≥2. 小型电子产品需投入年固定成本为3万 1求f-)的值。 元，生产量为x(单位：万件)时，需另投入 流动成本为W(x)(单位：万元).在年产量 (2)若f(a)=4且a>0,求实数a的值. 不足8万件时，W(x)=子十x:在年产量 不小于8万件时，W(x)=6x+100 38, 每件产品售价为5元.通过市场分析，小王 生产的商品当年能全部售完. (1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年 产量x的函数解析式.（注：年利润=年销 售收入一固定成本一流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品 的生产销售中所获利润最大？最大利润是 13.(1)已知f(√元+1)=x+2√元，求函数 多少？ f(x)的解析式. (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1) 一2f(x一1)=2x+17,求f(x)的解析式. (3)已知f(x)满足2f(x)+f 3x,求 f(x)的解析式. 高考冲浪 1.(2022·北京卷，4)已知函数f(x)=1十2 则对任意实数x,有 A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)=1 3 2.（2024·上海卷，2)已知函数f(x)= vxx>0 则f(3)= 1,x≤0 ·15三0022 高考冲浪 1.解析：取x=-合，得(2a十)-合(2a十b)-1<0,即 2a+b≥-4. 另一方面，取2a十6=-4，一222+万=-是，此时6=- b 1 4,a=0, (2a十b)x2+bx-a-1≤0即-4x2-4x-1≤0，亦即(2.x 十1)2≥0，显然恒成立，符合题意.故2a十b的最小值为 -4. 答案：一4 2.解析：将不等式分解因式得(x一3)(x十1)<0，解得一1< x<3. 答案：(-1,3) 假期必刷6函数的概念及其表示 技能提升台技能提升 1.C2.C 3.C[根据函数的定义选C.] 4.B[设g(x)=a.x2+bx十c(a≠0)，因为g(1)=1, g(-1)=5,且图象过原点， a+b+c=1, /a=3, 所以a-b十c=5,解得b=-2, (c=0, (c=0, 所以g(x)=3x2-2.x.] 5,A[圆壶的结构是底端与上端细、中间粗，所以在注水水 流速度恒定的情况下，开始时水的高度增加的快，中间增 加的慢，最后水的高度增加的速度又变快，由图可知选项 A符合题意.门 6.C[足然f0)=子当≠0时x)=g-司 x2+12 =2(x+1)2-(x2+1)_x2+4.x+11 2 2(x2+1) 2(x2+1)2 x十x 令1=当>0时1=x十>2·=，当且 x 仅当x=1时等号成立， 当0时1=+士≤-2√-0…(（百)=-2 当且仅当x=一1时等号成立， 则长}<0，-2x名=-fx)K分 蜂上所迷)的位城为[一名号]所以，根据高斯病 数的定义，函数y=[f(x)]的值域是{-1,0,1.] 7.ABC[函数y=x2-4x-4的图象如图，f(0)=f(4)= -4,f(2)=一8.因为函数y=x2-4x-4的定义域为 [0,m],值域为[一8，一4]，所以实数m的取值范围 是[2,4].] =2 x2-4x-4 -40 ·5 高一教学 8.AC[因为f(x)= 1-,所以f-)=1+(-)2 1+x2 =f(x), 1-(-x)2 1+) x2+1 =-f(x), 2-1 () x2+1 =-fx),故选A,C] x2-1 9.[2,11] 10.2x-3或-2x+111.21或3 12.解：D由题意得/（号）】 =(2+)=f()》 =f(+1）=f(合)=2x2+1=2. (2)当0<a<2时，由f(a)=2a十1=4， 得a= 当a≥2时，由fa)=a2-1=4,得a=√5或 a=-5(舍去).综上所运a=号或a=6 13.解：(1)设t=√x+1,则x=(t-1)2(t≥1)， 代入原式，有f(t)=(t-1)2+2(t-1) =t2-2t+1+2t-2=t2-1, 所以f(x)=x2-1(x≥1). (2)因为f(x)是一次函数，可设fx)=ax十b(a≠0)， 所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即ax十(5a+b)=2x十17，因此应有=2， 15a+b=17, 解得2故fx)的解析式是fx)=2x十7. 1b=7. (3)因为2f(.x)+ ① 所以起x用，得2f()十fx)= ② 由①②解得f(.x)=2.x 1(x≠0)， 即fx)的解析式是f(r)=2x-1(x≠0)。 14.解：(1)因为每件产品售价为5元，则x万件商品销售收 入为5.x万元，依题意得，当0<x<8时， L(x)=5.x (+x-3=-32+4-3, 当≥8时10=5(6r+190-38）3 =35-(+10四) x2+4x-3,0<x<8, 所以L(x)= 5-(+19）≥8 (2)当0<x<8时，y= 言-62+9e9. 因此当x=6时，y取得最大值9； 当≥8时y=35-(+1）35-22…=15. 当且仅当x=10,即x=10时y取得最大值15. x 因为15>9，所以年产量为10万件时，小王在这一商品 的生产销售中所获利润最大，最大利润是15万元， 飞曼快乐假期 高考冲浪 1.C[由f(x)= 1 1 十2，可得f《-)=1+2一 2+7,所以得f(-x)+fx) 2x 2+1=1.] 2x+1 2.解析：由题意知，f(3)=√3. 答案：√ 假期必刷7 函数的基本性质 技能提升台技能提升 1.D2.D 3.D[由题意得，号>≥1，所以a的取值范围是[2，十o0.] 4.D 5.C[当x2<x1≤0时，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒 成立，则函数f(x)在（一o∞，0]上单调递减，而一3<一2<一1， 因此f(-3)>f(-2)>f(-1). 又函数f(x)为偶函数，所以f(3)=f(-3),因此f(3)> f(-2)>f(-1),所以c>a>b.] 6.B[由条件可知，y=x2+ax十a在区间(-oo,0)上单调 递减，则-号>0，即a≤0， 且在分界点x=0处满足02+a·0十a≥-2025·03-1， 得a≥-1， 所以-1≤a≤0.] 7.AB 8.解析：若(x1,y1)与(x2,y2)关于二四象限角平分线对称， 得出坐标关系x1=一y2y1=-x2 由二四象限角平分线对称，可得P(一2026，一2025). 答案：(-2026，-2025) .110a>号或a<号 11.0(-3,0)U(3,+∞) 12.解：(1)因为Hx∈R,f(一x)十f(x)=0, 令x=0,可得f(0)=0. 设x<0,则-x>0,f(-x)=4-(-x)2=4-x2, 又f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-f(-x)=x2-4, /4-x2,x>0, 所以f(x)= 0,x=0, x2-4,x<0, 故函数f(x)的简图如图所示 个y -5-4-3-210123451 (2)因为f(3)=4-32=4-9=-5, 所以f(f(3)=f(-5)=-f(5)=-(4-52)=21. 8自装得公0，甲为化08由园 可知0x<2或-2<x<0, 故xf(.x)>0的解集为(-2,0)U(0,2). ·6 000-□ 13.(1)证明：任取x1,x2∈（-1,1)，且x1<x2, 则f()-f(x2)= +x1+x x(1十x号)-x2(1+x)(x1-x2)(1-x1x2) (1+x)(1十x) (1+x)(1+x吃) 因为一1<x1<x21, 所以x1-x2<0,1-x1x2>0,(1十x)(1十x3)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在（一1,1）上是增函数 (2)解：由函数f(x)是定义在（一1,1）上的奇函数且 ft-1)+f(t)<0,得ft-1)<-f(t)=f-t), 又由(1)可知函数f(x)在(-1,1)上是增函数， -1<t-1<1, 1 所以有{-1<-t<1,→0<1<2： (t-1<-t, 所以不等式的解集足0<<} 14.解：(1)f(x)在[-1,1]上单调递增.证明如下： 任取2∈[-1,1]，且x<x2,则-x2∈[-1,1]， 又因为f(x)是奇函数， 所以f(x1)-f(x2)=f(x1)十f(-x2) =fx1)+f(-x2) x1+(-x2) 2·(x1一x2）, 由已知得f)+f-2) x1+(-x2) >0,x1一x20, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(.x)在[-1,1]上单调递增. (2)因为f(1)=1,且f(x)在[一1,1]上单调递增，所以 在[-1,1]上f(x)≤1， 问题转化为m2-2m十1≥1，即m2-2m≥0对任意 n∈[-1,1]恒成立. 设g(n)=一2m十m2,则 ①若m=0,则g(n)=0≥0对n∈[-1,1]恒成立； ②若m≠0，则g(n)为关于n的一次函数，若g(n)≥0对 m∈[-1,1门恒成立，则必须有g)≥0·解得m≤-2 1g(1)0, 或m≥2.综上所述，实数m的取值范围为(-∞，-2]U [2,+∞)U{0}. 高考冲浪 1.ABD[由奇函数的性质可知，因为f(x)的定义域为R, f(0)=0,所以A正确； 当x<0时，-x>0,f(-x)=(x2-3)ex+2,又因为 f(-x)=-f(x),所以f(x)=-(.x2-3)ex-2,所以 B正确： 当x>0时，f(x)=(x十3)(x-1)e,所以f(x)在(0,1) 上单调递减，在(1，十∞)上单调递增 x→0时，f(x)→-1，f(1)=-2e+2<0,f5=2>0, 所以f(x)的图象大致为 2e-2 y=3 -10 2 -2e+2 因为2e一2>2，所以C错误，由奇函数图象关于原点对称 可知D正确.] 2.B[由题意知f(x)在R上单调递增，令h(x)=一x2 2ax一a,则h(x)的对称轴必大于等于0，否则与题意不 符，即一a≥0→a0,排除C、D项：又因为当x=0时， f(x)=1,所以当x=0时，h(x)≤1→-x2-2a.x-a≤1， 代入x=0,得-a≤1→a≥-1，所以-1≤a≤0，故a的取 值范围是[-1,0].]