作业(十三) 三角函数的图象与性质-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(十三) 三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质 1.周期函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做函数f(x)的最小正周期. 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R xx≠kπ＋，k∈Z 值域 [－1,1] [－1,1] R 最值 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 既无最大值也无最小值 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在每一个闭区间2kπ－，2kπ＋(k∈Z)上都单调递增，在每一个闭区间2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)上都单调递减 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都单调递减 在每一个开区间kπ－，kπ＋(k∈Z)上都单调递增.无单调递减区间，在整个定义域内不单调 对称性 对称中心为点(kπ，0)(k∈Z)，对称轴为直线x＝kπ＋(k∈Z) 对称中心为点 (k∈Z)，对称轴为直线x＝kπ(k∈Z) 对称中心为点(k∈Z)，无对称轴 1.函数f(x)＝的定义域是(　　) A. B. C. D. 2.函数y＝cos x和y＝sin x都是增函数的区间是(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 3.函数f(x)＝2sin是(　　) A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数 4.不等式sin x≥，x∈的解集为(　　) A. B. C. D. 1.已知函数f(x)＝1＋sin 2x，则f是(　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 2.函数f(x)＝的图象大致为(　　) 3.(多选)已知sin＝，且 0<x<，则以下结论正确的有(　　) A.sin＝ B.sin＝ C.cos＝－ D.cos＝－ 4.(多选)已知函数f(x)＝tan x＋|tan x|，则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为 B.f(x)图象的一个对称中心是 C.f(x)的值域为[0，＋∞) D.不等式f(x)>2的解集为＋kπ，＋kπ(k∈Z) 5.(多选)(思维创新)已知函数f(x)＝sin(sin x)＋cos(cos x)，下列关于该函数的结论正确的是(　　) A.f(x)的图象关于直线x＝对称 B.f(x)的一个周期是2π C.f(x)的最大值为 D.f(x)在区间上为减函数 6.已知函数f(x)＝cos x＋2|cos x|. (1)画出函数f(x)在[0,2π]上的图象； (2)由图象直接写出：当x∈[0,2π]时，函数f(x)的图象与直线y＝m的交点个数的所有可能情况，并求出交点个数为2时m的取值范围. 1.(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0)是函数y＝2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A. B. C. D. 2.(2025·天津卷)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)在上单调递增，且x＝为f(x)图象的一条对称轴，是f(x)图象的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　) A.－ B.－ C.－1 D.0 3.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 4.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点.则a＝(　　) A.－1 B. C.1 D.2 易错一　盲目应用周期公式致误 [示例1]　下列6个函数：①y＝|sin x|，②y＝sin|x|，③y＝|cos x|，④y＝cos|x|，⑤y＝|tan x|，⑥y＝tan|x|，其中最小正周期为π的偶函数的编号为________. 对于含绝对值的三角函数求周期，不可盲目应用周期公式，要用图示法求解.　 [示例2]　函数f(x)＝sin2x＋cos x在区间上的最小值是________. 在求三角函数式的最值或值域时，一是要由角的范围推断三角函数式的范围或最值，不要盲目认为sin x，cos x∈[－1,1](有可能为[－1,1]的真子集).　 作业(十三)　三角函数的图象与性质 答案 [基础演练] 1.A　由题可得解得x≠(k∈Z)，∴函数f(x)＝的定义域为.故选A. 2.C　函数y＝cos x和y＝sin x在[－π，π]上的图象如图所示，则由图象可知C选项符合题意，故选C. 3.B　函数f(x)的最小正周期为T＝＝，故C、D错误；由f(x)＝2sin＝2cos 4x，得函数f(x)为偶函数，故A错误.故选B. 4.B　y＝sin x在(0,2π)上的函数图象如图所示， 因为sin x≥，x∈，所以≤x≤， [综合演练] 1.B　∵f(x)＝1＋sin 2x, ∴f＝1＋sin ＝1＋sin＝1－cos 2x, ∴T＝＝π， ∴f是最小正周期为π的偶函数. 2.B　由题意可知，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故A、C错误.又因为当x>0时，2x>1,2－x∈(0,1)，所以2x－2－x>0，此时f(x)的符号与y＝cos x的符号一致，故D错误.故选B. 3.BD　因为0<x<， 所以－<－x<， 所以cos＝＝， 因此sin＝sin ＝cos＝， cos＝cos ＝－cos＝－. 4.CD　f(x)＝tan x＋|tan x| ＝ 作出f(x)的图象，如图所示. 由图可知f(x)的最小正周期为π，A错误；f(x)的图象没有对称中心，B错误；f(x)的值域为[0，＋∞)，C正确；不等式f(x)>2，即x∈(k∈Z)时，2tan x>2，得tan x>1，解得＋kπ<x<＋kπ(k∈Z)，所以f(x)>2的解集为(k∈Z)，D正确.故选CD. 5.AB　对于A，f(π－x)＝sin[sin(π－x)]＋cos[cos(π－x)]＝sin(sin x)＋cos(－cos x)＝sin(sin x)＋cos(cos x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；对于B，f(x＋2π)＝sin[sin(x＋2π)]＋cos[cos(x＋2π)]＝sin(sin x)＋cos(cos x)＝f(x)，所以f(x)的一个周期是2π，故B正确；对于C，－1≤sin x≤1，所以y＝sin(sin x)的最大值为sin 1，当sin x＝1时，y＝cos(cos x)＝cos 0＝1，取得最大值，所以f(x)的最大值为sin 1＋1，故C错误；对于D，y＝sin x在上单调递增，sin ＝1<，所以y＝sin(sin x)在上单调递增，y＝cos x在上单调递减，且值域为(0,1)，根据复合函数的单词性易知，y＝cos(cos x)在上单调递增，所以f(x)在区间上为增函数，故D错误.故选AB. 6.解析　(1)由题意得f(x)＝ 其图象如图所示. (2)由图象可知当x∈[0,2π]时，函数f(x)的图象与直线y＝m的交点个数可能为0,2,3,4. 当交点个数为2时，m的取值范围是(1,3]∪{0}. [真题体验] 1.B　令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan的图象的对称中心为，k∈Z，由题意知a＝＋，k∈N，其最小值为. 故选B. 2.A　因为f(x)在上单调递增且x＝为f(x)图象的一条对称轴，所以×≥－，f＝sin＝1，得0<ω≤2，且ω＋φ＝＋2k1π(k1∈Z)　①.因为是f(x)图象的一个对称中心，所以f＝sin＝0，得ω＋φ＝k2π(k2∈Z)　②，由①②得ω＝－2＋4(k2－2k1)(k1，k2∈Z)，结合0<ω≤2，得ω＝2，则φ＝＋2k1π(k1∈Z)，又－π<φ<π，所以φ＝，故f(x)＝sin.当x∈时，2x＋∈，所以f(x)的最小值为f＝sin ＝－，故选A. 3.C　(数形结合法)　因为函数y＝2sin的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin与y＝sin x在[0,2π]上的图象如图所示，由图可知，这两个图象共有6个交点.故选C. 4.D　由题意知f(x)＝g(x)，则a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，即cos x＝a(x2＋1)－1.令h(x)＝cos x－a(x2＋1)＋1.易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1,1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2.故选D. [易误警示] [示例1]　[解析]　①y＝|sin x|，②y＝sin|x|，③y＝|cos x|，④y＝cos|x|，⑤y＝|tan x|，⑥y＝tan|x|都是偶函数，由函数的图象可知y＝|sin x|，y＝|cos x|，y＝|tan x|的最小正周期都是π，y＝sin|x|，y＝tan|x|不是周期函数，y＝cos|x|＝cos x的最小正周期为2π. [答案]　①③⑤ [示例2]　[解析]　f(x)＝sin2x＋cos x＝1－cos2x＋cos x， 由x∈，知cos x∈，令t＝cos x，则g(t)＝－t2＋t＋1＝－2＋，t∈，所以g(t)在上单调递增，在上单调递减，所以g(t)min＝g＝－－＋1＝. [答案]　 学科网（北京）股份有限公司 $