作业(十)函数的应用-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

寒假作业成功不是将来才有的，而是从决定去做的 作业（十） 函数的应用 1知识整合 1.函数的零点 对于一般函数y=f(x),我们把使 概念 f(x)=0的实数x叫做函数y= f(x)的零点 方程f(x)=0有实数解台函数y 等价关系 f(x)有零点台函数y=f(x)的图象 与x轴有公共点 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是一条连续不断的曲线，且有 函数零点f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x) 存在定理 在区间(a,b)内至少有一个零点，即 存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)=0的解 2.二分法 3.函数模型的应用 2基础演练 1.给出下列函数，其中在(0，十∞)上是增函 数且不存在零点的函数是 ( ) A.y=一x十1 1 B.y=(x-1)3 C.y=logx-1 D= 2.已知函数f(x)在区间[一2,2]上有定义， 则“f(x)在区间[一2,2]上有零点”是 “f(-2)·f(2)<0”的 那一刻起，持续累积而成。 [每日格言] 今 月 日 台 星期 天气 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知f(x),g(x)的图象均为[一1,3]上连 续不断的曲线，根据下表能判断方程 f(x)=g(x)有实数解的区间是 ( -1 0 1 2 3 f(x)-0.9461 -0.31401.40436.075118.772 g(z) -1.324 0.32400.67607.676026.676 A.(2,3) B.(1,2) C.(0,1) D.(-1,0) 4.设函数f(x)=log3 十2-a在区间(1,2) 内有零点，则实数a的取值范围是() A.(-1,-log32) B.(0,log32) C.(1og32,1) D.(1,1og34) 3综合演练 1.若方程x2+lnx-4=0在区间(a,b)(a,b 是整数，且b一a=1)上存在一个实数根， 则a十b= A.3 B.4 C.5 D.6 2.(多选)已知函数f(x)=2十x,g(x)=x十 log2x,h(x)=x3+x的零点依次为a,b,c, 则 A.a>0 B.b>0 C.c=0 D.b>c>a [每日格言]有志者自有千计万计，无志者只感千难万 3.(2025·安徽皖江名校高一联考)已知函 2x+1,x<1, 数f(x)= 若函数y= xx≥1. f(x)一2t在区间（一1,3）内有且仅有两个 零点，则实数t的取值范围是 ( A.(合，1 B(6 c(经，司 n(层司 4.(2025·汉中市高一期末)“打水漂”是一种 游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面 上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小乐 同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一 定方式投掷出去，石片第一次接触水面时 的速度为5m/s,然后石片在水面上继续 进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片 每一次接触水面时的速度均为上一次的 75%,若石片接触水面时的速度低于 2m/s,石片就不再弹跳，沉入水底，则小 乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 .（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈ 1.10,1n5≈1.61) 5.定义在[0，十∞)上的函数f(x)满足 fx+2)=2fx),当x∈[0,2)时，f()= x2-2x十1，若直线y=a与f(x)的图象 恰有8个交点（x1,y1),（x2,y2）,…, (xg,yg),则实数a的取值范围为 x1十x2十…十xg= 2 难。 高一数学（配BSD版） 6.设函数fx)=品 (1)当a>0时，根据定义证明函数f(x)在 区间(1，十∞)上单调递减； (2)设g(x)=f(x)十ax-3,若g(x)在 (1,+∞)上存在两个零点，求实数a的取 值范围 4真题体验 1.(2025·天津卷)函数f(x)=0.3一√无的 零点所在区间是 () A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) 2.(2024·北京卷)生物丰富度指数d= S-1 In N 是河流水质的一个评价指标，其中S,N分 别表示河流中的生物种类数与生物个体总 数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如 果某河流治理前后的生物种类数S没有 变化，生物个体总数由N1变为N2,生物 丰富度指数由2.1提高到3.15，则() A.3N2=2N B.2N2=3N C.N=N D.N=N? 寒假作业伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时， 3.(多选)(2023·新课标I卷)噪声污染问题 越来越受到重视.用声压级来度量声音的 强弱，定义声压级L,=20×1g名，其中常 数p(p>0)是听觉下限阈值，p是实际 声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60≈90 混合动力汽车 10 5060 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动 汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2, p3,则 ( A.1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100po D.p1≤100p2 5易误警示 易错一忽视零点存在定理的运用条件 [示例1]对于函数f(x),若f(一2)· f(5)<0,则 () A.函数f(x)在区间（一2,5]上一定有 零点 B.函数f(x)在区间（一2,5]上一定无零点 C.函数f(x)在区间（一2,5]上一定有两个 零点 D.函数f(x)在区间（一2,5]上可能无零点 2 别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。[每日格言] 名师叮嘱 零点存在定理中的两个条件，是保证函数有 零点的充分条件，而不是必要条件，另外零点存在 定理，只能判定函数有零点，但不能判定零点的 个数 易错二使用函数模型求解实际问题时忽 视定义域 [示例2]随着海拔的升高，大气压强下降， 空气中的含氧量也随之下降，且含氧量 y(g/m3)与大气压强x(kpa)成正比例函 数关系.当x=36时，y=144,则y与x的 函数关系为 () A.y-it 1 B.y=4x(x≥0) C.y=4x D.y=4x(x≥0) 名师叮嘱 实数问题中函数的定义域要满足两个要求： 一是使函数有意义；二是使实际问题有意义.即函 数自变量的取值要符合实际意义[每日格言]拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是 (2)由(1)及题意知0<a<1. 令u=ax2十2ax十1，易知y=lnu是定义域内的增函 数，函数u=a.x2+2ax+1(0<a<1)在[-2，-1]上单 调递减，在（一1,1]上单调递增，故f(x)在[-2，一1]上 单调递减，在（一1,1]上单调递增，∴f(x)max=f(1)= ln(3a+1),f(x)min=f(-1)=ln(1-a), f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值的和为0， .ln(3a+1)+ln(1-a)=0, 即ln[(3a+1)(1-a)]=0,可得(3a+1)(1-a)=1, 解得a=0(合去)或a=号，故实数a的值为号 [真题体验] 1.B解法一设2+log2x=3+log3y=5十log5z=m, 所以令m=2,则z=1,=31=子=53=5， 1 此时x>y>之，A有可能； 令m=5,则x=8,y=9,之=1，此时y>x>之，C有可能； 令m=8,则x=26=64,y=35=243,z=53=125,此时 y>z>x,D有可能. 故选B. 解法二设2十log2x=3+1og3y=5十log5之=m, 所以x=2m-2,y=3m-3,2=5m-5. 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5的图象，以上方程 的根分别是函数y=2x-2,y=3x-3,y=52-5的图象与 直线x=m的交点纵坐标，如图所示： 0=2 =5 3 0ix=m 易知，随着m的变化可能出现：x>y>之，y>x>之，y>之 >x,>y>x故选B. 2.B(逻辑分析法十数形结合法)因为函数f(x)在R 上单调递增，且当x<0时，f(x)=一x2-2ax一a,所以 f(x)=-x2-2ax-a在(-o∞，0)上单调递增，所以 -a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1),所 以函数f(x)在[0，十∞)上单调递增.若函数f(x)在R 上单调递增，则-a≤f(0)=1,即a≥-1.综上，实数a 的取值范围是[一1,0].故选B. 3.Bf(x)为偶函数，.f(1)=f(-1), 1+an号=(-1+aln3,a=0.故选B. 4.解析根据题意有 1 log2a 2那22多中3g,2 1 3 1 2loga2 =-号设1=10g,2a>10,则>0，故3-品 =多，得1=名4=-1合去)，所以12=日，所以 a言=2，所以a=64. 答案64 6 一种能力。 高一数学（配BSD版） [易误警示] [示例1][解析]设u(x)=x2-2ax一a,因为f(x)在 (一o∞，一3)上单调递减，y=lgx为增函数，所以u(x)= x2-2ax-a在(-∞，-3)上单调递减，且u(x)>0在 （一0，-3)上恒成立，所以(-3)≥0， a≥-3， 十6aa20解得a≥-号，所以实数a的取值范 即〈 a≥-3， [答案]A [示例2】[解析]国为x∈(0，]4>ogx有解，令 n=100g=4,则当x∈(0，安]时，存在=4华的 图象在y1=logax的图象的上方.当a>1时，由图1可 知，>n在xe(0,2】时饭成立： 当0<a<1时，y1=logx是减函数，y2=42是增函数， 由国2可知，o含<4=2解得0<a<号 综上，ae(o,号)U1,+o∞). /24 y=log x 01/1 01:1 2 2 y=log,x 图1 图2 [答案]C 作业（十）函数的应用 [基础演练] 1.AA选项中函数在(0，十∞)上是增函数且不存在零 点，故A正确；B选项中函数的零点是1，故B错误；C、 D选项中函数在(0，十∞)上是减函数，故C、D错误.故 选A. 2.D已知函数f(x)在区间[一2,2]上有定义，若f(x)在 区间[一2,2]上有零点，不妨取f(x)=x2,此时f(x)的 零点为0，但f(-2)·f(2)>0,即“f(x)在区间[-2,2] 上有零点”本“f(-2)·f(2)<0”;若f(-2)·f(2)<0, -1,-2≤x<0, 不妨取f(x)=《 此时f(x)在[-2,2] 1,0≤x≤2， 上满足f(-2)·f(2)<0,但无零点，即“f(-2)·f(2) <0”≯“f(x)在区间-2,2]上有零点”.故“f(x)在区 间[一2,2]上有零，点”是“f(-2)·f(2)<0”的既不充 分也不必要条件.故选D. 3.B令F(x)=f(x)一g(x),因为f(x),g(x)的图象均 为[一1,3]上连续不断的曲线，所以F(x)的图象是 [-1,3]上连续不断的曲线且F(-1)=f(-1)- 寒假作业没有人富有得可以不要别人的帮助，也》 g(-1)=-0.9461+1.324>0,F(0)=f(0)-g(0)= -0.3140+0.3240>0,F(1)=f(1)-g(1)= 1.4043-0.6760>0,F(2)=f(2)-g(2)=6.0751 -7.6760<0,F(3)=f(3)-g(3)=18.772-26.676 <0,因为F(1)·F(2)<0,所以函数F(x)=f(x)-g(x) 有零，点的区间为(1,2)，即方程f(x)=g(x)有实数解的 区间是(1,2).故选B. 4C令f)=0得a=lo,◆a)=lo:2生2- 1g(1+二入，由复合画数的单调性可知，当工∈ (1,2)时，h(x)单调递减.又h(2)=l0g32,h(1)= 1og33=1,故当x∈(1,2)时，h(x)∈(1og32,1),要使 f(x)=1og十2-a在区间(1,2)内有零点，则a∈ (1og32,1).故选C [综合演练] 1.A令f(x)=x2+lnx-4,易知f(x)在(0，十∞)上为 增函数，又f(1)=-3<0,f(2)=ln2>0,由零，点存在 定理，知存在唯一一个x0∈(1,2)，使得f(x0)=0,此时 a=1,b=2,满足b-a=1,所以a十b=3. 2.BcD由于f(-1D=号-1=-<0，f0=1>0, f(x)=2x十x是定义域上的单调递增函数，故f(x)= 2x+x的零点a∈（-1,0)，A错误. “g(合）=-1+7=-含<0g1=1>0, g(x)=log2x十x是定义域上的单调递增函数， gx)的零点bE(分，1)，B正确， 令h(x)=x3十x=0,得x=0,且h(x)=x3十x是定义 域上的单调递增函数，故h(x)=x3十x的零，点c=0,故 b>c>a,故C,D正确.故选BCD. 3.C函数y=f(x)一2t在区间(-1,3)内有且仅有两个 零点，等价于f(x)-2t=0在区间(-1,3)内有且仅有 两个实数根， 又等价于函数y=f(x)的图象与直线y=2t在区间 (一1,3)内有且仅有两个公共点， 2x+1,x<1, 1 因为f(x)= 1 (xx≥1， 由图知-合×1+1<2≤号，即合<2≤1， 解得<≤故选C y=fx) y=21 0 5 有人穷得不能在某方面给他人帮助。 [每日格言] 4.解析设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x, 由题意得5×0.75<2，即0.75<0.4，得x>log0.750.4. 因为1oga50.4=h0.4h号 n0.75ln 15=ln2-ln5≈23 3ln3-2ln27' 所以2>号，故=4. 故答案为4. 答案4 5.解析因为定义在[0，十∞)上的函数f(x)满足 f(x+2)=fx,当x∈[0,2)时，fx)=2-2x+ 1,所以当x∈2,4)时，f(x)=号f(x-2)= 合(：-3，当xe[6)时，f(x)=7fx-2)= fx-4)=(x-5,当xe[6,8)时，f()= 日f(x-6)=日(x-7)3,当x∈[8,10)时，f(x)= 后/(x-8)=6（x-9)2,作出画数f(x)与y=a在 [0,10)上的图象如图所示，由图可知，当6<a<专时， 直线y=a与函数f(x)的图象有8个交点，不妨设x1< x2<<x8,结合图可知，点(x1,y1),(x2,y2)关于直 线x=1对称，则x1十x2=2,同理可得x3十x4=6, x5十x6=10,x7+x8=14,因此，x1十x2+…十x8=2+ 6+10+14=32. ----p=0 16 0 2345678910x 答案 (1.1) （16'8) 32 6.解析(1)证明任取1x2∈(1，十∞)，且x1<2,则 f)-f,22 a =a(z2-1)-a(x1-1)=a(x2-x1) (x1-1)(x2-1)(x1-1)(x2-1)' 因为1<x1<x2, 所以x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以f(x)在区间(1，十∞)上单调递减. (2)令gx)=z吕+ax-3=0, 原命题等价于方程ax2一(a十3)x十(a+3)=0在 (1,十∞)上有两个相异实根. 当a=0时，方程为一3=0，无解，不符合题意； [每日格言]生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼 △>0， 当a>0时， 1a-(a+3)+a+3>0,→ a+3>1, Za -3<a<1, a>0, →0<a<1; a<3, △>0， 当a<0时， a-(a+3)+a+3<0,→ 1 1-3<a<1, a<0, →a∈0. a>3 综上，实数a的取值范围为{a0<a<l}. [真题体验] 1.B由指数函数、暴函数的单调性可知y=0.3x在R上 单调递减，y=√元在[0，十∞)上单调递增， 所以f(x)=0.3x一√x在定义域上单调递减， 显然f(0)=1>0,f(0.3)=0.3.3-0.30.5>0,f(0.5) =0.30.5-0.50.5<0, 所以根据零，点存在性定理可知f(x)的零点位于(0.3， 0.5).故选B. 2D由是意，得21=815若S不交，则 2.1lnN1=3.151lnN2, 即2lnN1=3lnN2,所以N?=N.故选D. 3.ACD根据题意可知Lp,∈[60,90]，Lp,∈[50,60]， Lp,=40,结合对数运算逐项分析判断. 对于选项A:可得 L4-L,=20×1g2-20X1g2=20X1gL, 5p0 Po p2 因为L4≥L,则L4-Le,=20X1g≥0， p2 即g≥0，所以号1且，>0，可得≥，故 p21 A正确； 对于选项B:可得 Le,-Lp=20×1g-20×1g2=20×1g2, Po Po P3 因为Lp-L4=L4,-40>10,则20×1g2≥10，即 1g货≥2所以会≥且A>0,可得≥而 当且仅当Lp,=50时，等号成立，故B错误； 对于选项C:因为Le,=20×1g=40, Po 即1g=2,可得2=100，即pg=100p0,故C正确； Po Po 对于速项D:由速项A可知：L-L,=20Xg, 且L2-L2,≤90-50=40，则20X1g≤40， 2 中g会≤2，可得会≤10，且，>0，所以≤ P2 100p2,故D正确.故选ACD. 5 搏而前行。 高一数学（配BSD版） [易误警示 [示例1][解析]由零，点存在定理知，保证在（一2,5） 上有零，点的充分条件是f(x)在[一2,5]上连续且 f(一2)f(5)<0,所以A、B、C错误.故选D. [答案]D [示例2][解析]由题意可知y=kx(>0),x≥0， 则144=k·36,∴.k=4,故y=4x(x≥0). [答案]D 作业（十一）抽样的基本方法、 用样本估计总体分布 [基础演练] 1.BC调查某批次汽车的抗撞击能力，有破坏性，故用抽 查方式，故A错误；为了调查市场上某种食品的色素含 量是否符合国家标准，工作量大，用抽查方式，故B正 确；对货运飞船“天舟六号”零部件的检查十分重要，故 进行普查检查，故C正确；了解全校同学喜欢课程情 况，应在各班进行抽样，同时不能仅限男同学，故D 错误. 2.B根据随机数表的读数规则，依次从随机数表中读出 的有效编号为32,12,31,02,01,04,15,20，得到选出来 的第8个个体的编号为20. 3C抽样比为2日，则两班分别被拾取的人教是 16 54×日=9,42×日=7 4.A由题意可得样本数据落在区间[80,100]内的频数 为17+8=25，则所求频率为品=0.25，故选A [综合演练] 1.AD由题意知总体是指这1000袋方便面的质量，A 说法正确；个体是指1袋方便面的质量，B说法错误；样 本是指按照2%抽取的20袋方便面的质量，C说法错 误；样本容量为20，D说法正确. 15 2.D由题意知，抽样比例为700十400十400100，所必 15人中，高一要抽7人，高二要抽4人，高三要抽4人， 7 故高一每位学生被抽到的概率为700=100，高二每位 学生被抽到的机率为品0一0高三每位华生旅抽到 的概率为0=0在按北例分配的分层随机抽样中， 1 每个个体被抽到的概率相等，故每位学生被抽到的概率 相等. 3.C设样本中女教师为x人，则(40一x)一x=8,解得x= 16,所以接醒女教师人数为200×6=80. 40 4.D由图可知，平均气温在[21.5,22.5)和[22.5,23.5) 的频率相等，且组距为1，所以平均气温在[21.5,22.5) 的频率是1-(0.10+0.180.2+0.26)×1=0.12，低 于22.5℃的频率是0.10+0.12=0.22，又平均气温低 于2.5℃的来集点个数是1，所以样本容量为2 50,则平均气温不低于25.5℃的采集，点个数为0.18× 50=9,故选D.