作业(十三)随机事件、古典概型-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言】成功是一种观念，成功是一种思想，成功是 作业（十三） 随机事件、古典 1 知识整合 1.随机现象 (1)确定性现象：在一定条件下必然出现的 现象，称为确定性现象， (2)随机现象：在一定条件下，进行试验或 观察会出现不同的结果，而且每次试验之 前都无法预言会出现哪一种结果的现象， 称为随机现象、 2.样本空间 一般地，将试验E的所有可能结果组成的 集合称为试验E的样本空间，记作2.试验 E的每种可能结果，称为试验E的样本点， 记作.如果样本空间2的样本点的个数 是有限的，那么称样本空间2为有限样本 空间. 3.随机事件 (1)事件的定义 随机 一般地，把试验E的样本空间2的子集 事件称为E的随机事件，简称事件 样本空间2是其自身的子集，因此2也 必然 是一个事件.又因为它包含所有的样本 事件 点，每次试验，无论哪个样本点出现， 2都必然发生，称2为必然事件 不可 空集☑是2的一个子集，可以看作一个事 能事 件，由于它不包含任何样本点，它在每次试 件 验中都不会发生，称⑦为不可能事件 (2)随机事件的运算 事件的 定义 符号表示 运算 一般地，由事件A与 交事件 A∩B 事件B都发生所构成 (积事件) (或AB) 的事件 3 一种习惯，成功是一种心态。 高一数学（配BSD版） 今 月 日 日 星期 概型 台 历 天气 续表 事件的 定义 符号表示 运算 般地，由事件A和 并事件 AUB 事件B至少有一个发 (和事件) (或A+B) 生所构成的事件 般地，不能同时发生 互斥事件的两个事件A与B称 A∩B=⑦ 为互斥事件 若A∩B=O,且AUB= A∩B=☑ 对立事件2，则称事件A与B互 且AUB=2 为对立事件 4.古典概型 (1)古典概型的定义：一般地，若试验E具 有如下特征：①有限性：试验E的样本空 间2的样本点总数有限，即样本空间2为 有限样本空间；②等可能性：每次试验中， 样本空间2的各个样本点出现的可能性 相等.则称这样的试验模型为古典概率 模型. (2)古典概型的概率计算公式：如果样本空 间2包含的样本点总数为，随机事件A包 含的样本点个数为m,那么事件A发生的 概率为P(A)=A包含的样本点个数一m 2包含的样本点总数n 5.互斥事件概率加法公式 (1)如果事件A和事件B为互斥事件，那 么有P(AUB)=P(A)+P(B). (2)P(AUA)=P(A)+P(A)=1. (3)一般地，如果事件A1,A2,…,An两两 互斥，那么有P(A1UA2U…UAn)= P(A)+P(A2)++P(An). 寒假作业即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏 2基础演练 1.(多选)以下现象不是随机现象的是( ) A.在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币， 正反两面出现的情况 B.明天是否刮风下雨 C.同种电荷相互排斥 D.四边形的内角和是360° 2.某人打靶时连续射击两次，击中靶心分别 记为A,B,不击中靶心分别记为A,B,事 件“至少有一次击中靶心”可记为（) A.AB B.ABUAB C.ABUAB D.ABUABUAB 3.下列有关古典概型的说法错误的是( A.试验的样本空间的样本点总数有限 B.每个事件出现的可能性相等 C.每个样本点出现的可能性相等 D.已知样本点总数为n,若随机事件A包 含个样本点，则事件A发生的概率 P(A)= n 4.(2025·南阳六校高一期末)甲、乙两个研 究小组独立攻坚一项关键技术，假设甲组 成功的概率为，乙组成功的概率为？，则 这项技术研究成功的概率为 3综合演练 1.某城市有连接8个小区 H A,B,C,D,E,F,G,H和 市中心O的整齐方格形 E 道路网，每个小方格均为 正方形，如图所示.某人 从道路网中随机地选择一条最短路径，由 小区A前往小区C,则他不经过市中心O 的样本点个数是 A.2 B.3 C.4 D.6 实地地迈一步。 [每日格言] 2.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲 被选中的概率为 ( 8 0.5 9 D.2函 3甲，乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜 的概率为，则下列说法正确的是() A甲获胜的概率是日 B.甲不输的概率是】 C乙输的概率是号 D.乙不输的概率是号 4.（多选)(2025·九江高一期末)抛掷一枚质 地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为 奇数”，事件B=“出现点数为3”，事件C= “出现点数为3的倍数”，事件D=“出现点 数为偶数”，则下列选项正确的是() A.B与D互斥 B.A与D互为对立事件 C.P(C)- D.P(AC)=P(B) 5.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2次，观察向上的点数，则点数和为5的概 率是 6.某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱 中共有16个四种颜色且形状、大小完全相 同的小球，四种颜色的小球分别代表一等 奖、二等奖、三等奖、无奖，其中红球代表一 等奖且只有1个，黄球代表三等奖.从抽奖 箱中任取1个小球，中二等奖或三等奖的 概率为6小华有一次抽奖机会。 [每日格言]征服畏惧，建立自信的最快、最切实的方法，就是去做 (1)求小华不能中奖的概率； (2)若小华中一等奖或二等奖的概率是}， 4 试计算抽奖箱中黄球的个数， 4真题体验 1.(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛， 共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取 一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学 抽到不同主题的概率为 () 5 2 B. C.2 1 D.3 一 3太 害怕的事，直到你获得成功的经验。高一数学（配BSD版） 2.(2024·全国甲卷)有6个相同的球，分别 标有数字1,2,3,4,5,6，从中无放回地随 机取3次，每次取1个球，设m为前两次 取出的球上数字的平均值，n为取出的三 个球上数字的平均值，则m与n之差的绝 对值不大于的概率为 5易误警示 易错一 不放回抽取中，有序无序处理混 乱而致误 [示例1]从分别写有1,2,3,4,5,6的6张 卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2 张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 1 A.6 B.3 c号 D.3 名师叮嘱 关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可 以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，只要 分子、分母保持二致，其最后结果是二样的 易错二误用互斥事件概率加法公式 [示例2]某中学的学生积极参加体育锻 炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳， 60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游 泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学 生数占该校学生总数的比例是 () A.62% B.56% C.46% D.42% 名师叮嘱 (1)-般地P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) (2)特别地：当A、B互斥时，由于P(AB)=0,故 P(AUB)=P(A)+P(B),所以运用此公式的前 提条件是两事件互斥：寒假作业过去一切时代的精华尽在书中。 介于200kg至300kg之间，故C正确；对于D,100块 稻田亩产量的平均值为100×(925×6十975×12 1025×18+1075×30+1125×24+1175×10)= 1067(kg),故D不正确.综上所述，故选C. 2.解折(1)z-0(545+53+51+52+575+544+ 541+568+596+548)=552.3, y-0(536+527+543+530+560+533+522+50+ 576+536)=541.3, z=x-y=552.3-541.3=11. =x-y:的值分别为：9,6,8，-8,15,11,19,18， 20,12, 故2=0[(9-112+(6-1)2+(8-1)2+(-8 11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+ (20-11)2+(12-11)2]=61. /2 (2)由(1)知：z=11,2√0=2√6.T=√24.4， 有2，品 所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工 艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. [易误警示] [示例1][解析]由折线图可知，这10天的最低气温按 照从小到大的排列为：-3，一2，一1，-1,0,0,1,2,2,2， 因为共有10个数据，所以10×80%=8，是整数，则这 10天最低气温的80%分位数是2十2=2. 2 [答案]D [示例2][解析]，平均数为4，加入4之后平均数不 变，排除C、D:原七个教的方差7=7X2=2,2= 7 7X2+(4-4)2<2,排除B,故选A. 8 [答案]A 作业（十三）随机事件、古典概型 [基础演练] 1.CD根据随机现象的概念可知，A,B是随机现象，C,D 是确定性现象，故选CD. 2.D事件“至少有一次击中靶心”包括“第一次中靶心， 第二次不中靶心”，“第一次不中靶心，第二次中靶心”和 “两次都中靶心”，即AB十AB十AB,故选D. 3.B古典概型的有限性指的是样本空间的样本，点有限， 等可能性指的是样本空间的各个样本，点出现的可能性 相等，故A,C说法正确.由古典概型概率计算公式可知 D说法正确， 4解析因为甲、乙研发断产品成功的概率分别为是 1 5 [每日格言] 则这项技术所究不成功的概率为(1-)(1-})= 合，再根据对立事件的概率之间的公式可得这预技术 所究成功的批率为1一日-吕 故答案为：6 5 答案吾 [综合演练] 1.A此人从小区A前往C的所有最短路径为A→E→D →H→C,A→E→O→H→C,A→E→O→F→C,A→ G→O→H→C,A→G→O→F→C,A→G→B→F→C,共 6条，记“此人不经过市中心O”为事件M,则M包含的 样本点为A→E→D→H→C,A→G→B→F→C,共2 条，故选A. 2.B从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况， 甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为音=号，故 选B. 3.A“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲 获胜“的藏车是1一了一号-日A正肩：设事件A为 “甲不输”，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥 事件的并率件，所以P心)=日十日=号（或设率件A 为“甲不输”，则事件A是“乙获胜”的对立事件，所以 PA=1-了-号》，B错误，乙输的概率即甲获胜的就 率为日，C错误：乙不输的概率是？十日-日，D错说。 故选A. 4.ABD由题意A={1,3,5},B={3},C={3,6},D= {2,4,6},样本空间为U={1,2,3,4,5,6}, 对于A,B∩D=☑，这意味着B,D不可能同时发生，故 A正确； 对于B,A∩D=☑，AUD=U,这意味着A,D中有且仅 有一个事情发生，故B正确； 对于C,P(C-名-行故C错误 对于D,因为A∩C=B={3},所以P(AC)=P(B)= 日故D三瑞，故连AD 5.解析列表如下： 和 第 次 4 5 6 第二次 1 2 5 6 2 3 6 8 3 4 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 89101112 [每日格言]忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的 ,点数的和共有36种等可能情形，其中和为5的共有4 种情形，由古典概型的概率公式可得点数和为5的概率 P=41 369 答案日 6.解析(1)设小华从抽奖箱中任取1个小球，抽得一等 奖、二等奖、三等奖、无奖分别为事件A,B,C,D,则它们 两两互斥. 由题意，得P(A)=6P(B+C)=P(B)+P(C)=6 由对立事件的概率公式，得P(D)=1一P(A+B十C)=1一 PB+c0-PA)=1-6-6-安 所以小华不能中奖的概率为子 （2)因为PA+B)=},PA+B)=PA+P(B, 所以PB)=片品言=品 又P(B+C)=P(B)+P(C)= 16” 所以P(G)=品一是-子，即小单中三等关的概率为 ，所以抽奖箱中黄球的个数为16×子=4（个）。 1 [真题体验] 1.A根据古典概率模型求出所有情况以及满足题意的 情况，即可得到概率. 甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6×6=36 (种)， 若甲、乙抽到的主题不同，则共有A=30(种)， 则共概率为阳-日放选A 2.解析设3次取出的球上的数字依次为a,b,c,则无放 回地随机取3次球的取法有A=120(种)， 2 可得a+b-2c≤3. 当c=1时，a,b需要满足“1≤a十b≤5”，所有可能情况 为(2,3)，(3,2)，共2种. 当c=2时，a,b需要满足“1≤a十b7”,所有可能情况 为(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(4,1)，(5,1)， (6,1),(3,4),(4,3),共10种. 当c=3时，a,b需要满足“3a十b≤9”，所有可能情况 为(1,2)，(2,1)，(1,4)，(4,1)，(1,5)，(5,1)，(1,6)， (6,1),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2), (4,5),(5,4),共16种. 当c=4时，a,b需要满足“5≤a十b≤11”，所有可能情况 为(1,5)，(5,1)，(1,6)，(6,1)，(2,3)，(3,2)，(2,5)， (5,2),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(3,6),(6,3), (6,5),(5,6),共16种. 当c=5时，a,b需要满足“7≤a十b≤13”，所有可能情况 为(1,6)，(6,1)，(2,6)，(6,2)，(3,4)，(4,3)，(3,6)， (6,3),(4,6),(6,4),共10种. 苦，是为了收获得不到的收获。高一数学（配BSD版） 当c=6时，a,b需要满足“9≤a十b≤15”，所有可能情况 为(4,5)，(5,4)，共2种 故共有2+10+16十16+10+2=56（种）可能情况，所 以所求概率P=20=15 567 答案名 [易误警示] [示例1][解析]无放回随机抽取2张方法有12,13， 14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共15种， 其中数字之积为4的倍数的是14,24,26,34,45,46共6 种，所以抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概 率为P-品-号故道C [答案]C [示例2][解析]本题考查统计数据的比例分布.该校 60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，这两组数 据包含既喜欢足球又喜欢游泳的学生，而96%的学生 喜欢足球或游泳，则该校既喜欢足球又喜欢游戏的学 生数占该校学生总数的比例为60%十82%一96%= 46%,故选C. [答案]C 作业（十四）频率与概率、事件的独立性 [基础演练] 1.B由概率的意义可知该运动员投篮1000次命中的次 数估计为1000×98%=980. 2.ACD对于A,次品率描述的是次品的可能情况，故A 错误； 对于B,天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能 不下雨，故B正确； 对于C、D,概率应该是多次重复试验中事情发生的频 率在某一常数附近，此常数可为概率；做8次抛硬币的 试验，结果5次出现正面，则该实验抛一枚硬币出现正 面的频率是。，故C.D错误。 3.A由于采用有放回地摸球，则每次是否摸到白球互不 影响，故事件A1与A2是相互独立事件， A由题毫可加甲乙同时中轮的版奉为品×品-是 「综合演练] 1.D由题意知“正面朝上”的次数为0.49×100=49，故 “正面朝下”的次数为100一49=51，故选D. 2.B1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=1-0.006= 0.994. 3.BCD对于A,由“若B发生时A一定发生”可知B二 A,故AB=B,所以P(AB)=P(B)=0.2,故A错误； 对于B,由事件A与事件B互斥可知P(A十B)=P(A) +P(B)=0.5,故事件A和事件B都不发生的概率为1 一P(A十B)=0.5,故B正确； 对于C,由题知P(A)=0.3,P(B)=0.8,故P(AB)= P(A)P(B)=0.24,所以事件A与事件B相互独立，故 事件A和事件B相互独立，故C正确；