作业(十二)用样本估计总体的数字特征-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究利用它们，便能从失败中培养出成功。 高一数学（配BSD版） 作业（十二》 月 日 星期 用样本估计总体的数字特征 台 天气 1 知识整合 4.百分位数 (1)定义：一般地，当总体是连续变量时，给 1.样本的数字特征 定一个百分数∈(0,1)，总体的p分位数 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数. 有这样的特点：总体数据中的任意一个数 (2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序 小于或等于它的可能性是p. 排列，处在中间位置（或中间两个数的平均 (2)计算一组n个数据的p分位数的一般 数)的数称为这组数据的中位数 步骤如下： (3)平均数：如果n个数x1,x2,…,xn,那 第1步，按照从小到大排列原始数据； 么x=(x,十x,十…十x)称为这n个数 第2步，计算i=np; 第3步，若i不是整数，大于i的最小整数 的平均数 为j,则力分位数为第j项数据；若i是整 (4)方差 数，则p分位数为第i项与第i十1项数据 ①公式： 的平均数 2=（-⑦)2+(m-x)2++(x,-x2 [常用结论] 2 由频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 ②意义：方差刻画的是数据偏离平均数的 (1)估计众数：频率分布直方图面积最大的长 离散程度， 方形的横轴中点数字（最高矩形的中点）】 (5)标准差 (2)估计中位数：中位数把频率分布直方图 5=√32= (x1-x)2+(x2-x)2+十(xn-x)2 分成左右两边面积相等， n 2.分层随机抽样的平均数 (3)估计平均数：频率分布直方图中每个小 一般地，设样本中不同层的平均数和相 矩形的面积乘以小矩形底边中点值的和. 应权重分别为x1,x2,…,xm和w1,2, 2基础演练 …,wn,则这个样本的平均数为1x1十 1.下列选项中，能反映一组数据的离散程度 2x2+…+wnxm… 的是 ( 记作2u工4=0西十u西十…十u,元： A.平均数 B.中位数 3.分层随机抽样的方差 C.方差 D.众数 设样本中不同层的平均数分别为x1,x2,…, 2.一组数据中的每一个数据都减去80，得到 组新数据，若求得新数据的平均数是 xn,方差分别为s,s号，…，s,相应的权重分 1.2,方差是4.4，则原来数据的平均数和 别为，2，…，心n,则这个样本的方差为 方差分别是 ) 子=产[+（国一门，其中x为这个样 A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 本的平均数， C.81.2,84.4 D.78.8,75.6 29 寒假作业最伟大的真理是最平凡的真理。 [每日格言] 3.(2025·南阳六校高一期末)将10个数据 ↑频率 组距 按照从小到大的顺序排列如下：7,8,13， 0.050 15,17,18,18,a,25,27,若该组数据的 0.040 0.035 70%分位数是19，则a= 0.030 0.02 0.020 A.20 B.21 C.23 D.24 0 707580859095100分数1分 4.10名工人某天生产同一零件，生产的件数 A.估计该样本的众数是87.5 是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设 B.估计该样本的平均数是80 其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有 C.估计该样本的中位数是86 ( D.若测试成绩达到85分方可参加评奖， A.a>b>c B.c>b>a 则有资格参加评奖的大一新生约为 C.c>a>b D.b>c>a 2200人 3综合演练 4.(多选)(2024·广东梅州月考)某学校组 1.有两种糖块，A种糖块18元/千克，B种糖 织学生参加数学测试，某班成绩的频率分 块24元/千克，超市计划把A,B两种糖块 布直方图如图所示，数据的分组依次为 按照1：2的比例混合出售，则合理的价格 [60,70),[70,80),[80,90),[90,100].若 应为 ( 不低于80分的人数是35，且同一组中的 A.18元/千克 B.24元/千克 数据用该组区间的中点值代表，则下列说 C.21元/千克 D.22元/千克 法中正确的是 2.(多选)(2025·九江高一期末)有一组原样 频率 本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新 组距 0.04 样本数据y1,y2,…,yn,其中y:=2x:十c(i =1,2,…,n),c为非零常数，则 ( 0.02 A.新样本数据的平均数是原样本数据的 0.01 平均数的2倍 60708090100成绩/分 B.新样本数据的中位数是原样本数据的 A.该班的学生人数是50 中位数的2倍 B.成绩在[80,90)内的学生人数是12 C.新样本数据的标准差是原样本数据的 C.估计该班成绩的平均分为85 标准差的2倍 D.估计该班成绩的方差为100 D.新样本数据的极差是原样本数据的极 5.为了调查公司员工的健康状况，用分层随 差的2倍 3.(多选)某高校组织4000名大一新生进行 机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所 体质健康测试，现抽查200名大一新生的 有员工的平均体重为60kg,标准差为60， 体测成绩，得到如图所示的频率分布直方 男员工的平均体重为70kg,标准差为50， 图，其中分组区间为[70,75)，[75,80)， 女员工的平均体重为50kg,方差为60，若 [80,85),[85,90),[90,95),[95,100],则 样本中有20名男员工，则女员工的人数为 下列说法正确的是 30 [每日格言]本来无望的事，大胆尝试，往往能成功。 高一数学（配BSD版） 6.从某小区抽100户居民进行月用电量调 (3)已知在原始数据中，月用电量落在区间 查，发现他们的月用电量（单位：度）都在 [50,200)内的用户的月用电量的方差为 [50,350]内，进行适当分组（每组为左闭右 1600,所有这100户的月用电量的平均数 开区间)，并列出频率分布表，画出频率分 为188度，方差为5200，且月用电量落在 布直方图后，将频率分布直方图的6个矩 区间[50,200)内的用户数的频率恰好与频 形上方线段的中点自左向右依次相连，再 率分布直方图中的数据相同，估计本小区 删掉这6个矩形，就得到如图所示的频率 月用电量在区间[200,350]内的用户月用 折线图 电量的标准差， 频率 (参考数据：142=196,262=676,722= 组距 0.0060 5184,482+1600=3904,1402+1600= 21200,1882+5200=40544) 0.0036 0.0024 0.0012 0 75125175225275325月用电量/度 (1)请画出频率分布直方图，并求出频率分 布折线图中x的值； 4真题体验 1.(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面 积相等的100块稻田上种植一种新型水 稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg)并 整理得下表： (2)请结合频率分布直方图，估计本小区月 亩产量 [900,950) [950,1000) [1000,1050) 用电量落在区间[50,200)内的用户的月用 频数 6 12 18 电量的平均数； 亩产量 [1050,1100) [1100,1150) [1150,1200) 频数 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是() A.100块稻田亩产量的中位数小于 1050kg B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻 田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg之间 31 寒假作业若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。 [每日格言] 2.(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种 5易误警示 工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10次配对试验，每次配对试验选用材质相 易错一 忽视求力分位数的步骤致误 同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用 [示例1]如图所示是某市3月1日至3月 甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处 10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的 理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺 折线统计图，由图可知这10天最低气温的 处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x:, y:(i=1,2,…,10),试验结果如下： 80%分位数是 试验序 温度/℃ 3 10 号i 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 x 仲缩率 536527543530560533 522550576 536 记之=x-y(i=1,2,…,10),记之1，之2，…， 012345678910日期/日 之的样本平均数为之，样本方差为52. A.-2 B.0 (1)求，32； C.1 D.2 (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率 名师叮嘱 较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否 计算一组数据的力分位数要按步骤求解，特别 有显著提高， 注意i=np,若i不是整数，大于i的最小整数为j, (如果≥2层，则认为甲工艺处理后的豫 则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位 胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产 数为第i项与第(i十1)项数据的平均数， 品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显 易错二不理解特征数的意义致误 著提高) [示例2]已知某7个数的平均数为4，方差 为2，现加入一个新数据4，此时这8个数 的平均数为x,方差为s2,则 A.x=4,52<2 B.x=4,s2>2 C.x>4,s2<2 D.x>4,s2>2 名师叮嘱 此类问题首先要理解数字特征的意义和作 用才能灵活计算变化后数据的数字特征， 32寒假作业积极者相信只有推动自己才能推动世界 5.AD对于A,由10×(0.006+0.012+0.02+0.032+ 0.02十m)=1,得m=0.01,故A正确； 对于B,第6组有0.01×10×100=10个样本，B错误； 对于C,由频率分布直方图可知第5组与第6组的频率 分别为0.2与0.1， 0.2 则第5组内抽取为6×0.20.4个样本，故C错误； 对于D,因为0.06+0.12+0.2=0.38<0.5,0.06+ 0.12+0.2+0.32=0.7>0.5, 所以估计参赛选手得分的中位数在[70,80)内，故D 正确. 故选AD, 6.解析(1)计算极差：30一21=9.决定组距和组数：取组 距为2，因为号=4日，所以共分5组决定分点，使分 点比数据多一位小数.并把第1小组的分点减小0.5， 即分成如下5组：20.5~22.5,22.524.5,24.5 26.5,26.528.5,28.530.5. 列出频率分布表如下， 分组 频数 频率 20.522.5 2 0.10 22.5~24.5 3 0.15 24.5～26.5 8 0.40 26.5~28.5 4 0.20 28.5～30.5 0.15 合计 20 1.00 (2)如图所示，画出频率分布直方图，取各小长方形上的 中点并用线段连接就构成了频率折线图」 ↑频率 组距 0.200H 0.100 0.075 0.050H 0 18.520.522.524.526.528.530.532.5样本 (3)根据频率分布直方图得，样本值出现在23一28内的 频率为0.15+0.40+0.20=0.75，所以可以估计总体 中出现在23~28内的数的频率为0.75. [真题体验] 1.C样本数据2,8,14,16,20的平均数为 2+8+14+16+20=60=12. 5 5 故选C. 2.C由题图可知，2020年的进口总额小于2019年的进 口总额，故C不正确；由题图可知，2017一2021年的进 出口总额依次为27.81,30.50,31.57,32.22,39.10，与 上一年相比，2018年的增长率为30.50-27.81≈ 27.81 9.7%,同理可得2019年，2020年，2021年的增长率分 别约为3.5%，2.1%，21.4%，故A,B,D正确，故选C. 3.BD对于选项A:设x2,x3,x4,x5的平均数为m,x1, x2,…,c6的平均数为n, 5 只要推动自己就能推动世界。 [每日格言] 则n-m=西十2十十4十十2-十十x4十x西 6 4 =2(西十x6)-(十十4十x药) 12 因为没有确定2(1十x6),x2十x3十x4十x5的大小关 系，所以无法判断m,n的大小， 例如：1,2,3,4,5,6，可得m=n=3.5; 例如1,1,1,1,1,7，可得m=1,n=2; 例知1,222,22，可得m=2,m=吕故A错误； 对于选项B:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤5≤x6, 可知x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位 数均为，故B正确； 2 对于选项C:因为x1是最小值，x6是最大值， 则x2,x3,x4,x5的波动性不大于x1,x2,…,x6的波动 性，即x2,x3,x4,x5的标准差不大于x1,x2,…,x6的 标准差， 例如：2,4,6,8,10,12，则平均数 n=合(2+4+6+8+10+12)=7， 标准差51= √合2-7)+4-7)+(6-7)2+(8-)+(10-7)2+(2-) =105 3 4,68,10,则平均数m=(4+6+8+10)=7, 标准差52= √24-+6-n2+8-n2+0-0=5, 显然√05>5，即51>52；故C错误； 3 对于选项D:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6, 则x6一x1≥x5一x2,当且仅当x1=x2,x5=x6时，等号 成立，故D正确. 故选BD. [易误警示 [示例1][解析]由已知可知，2000名运动员的年龄 是总体，20名运动员的年龄是样本，总体中个体数为 2000,样本容量为20，在整个抽样过程中每个运动员被 抽到的机会均为丽所以A,B错误，CD正璃，故 选CD. [答案]CD [示例2][解析]在高二年级12个班中抽取3个班， 这属于简单随机抽样中的抽签法，按男女生比例抽取 样本属于分层随机抽样，所以是先用抽签法，再用分层 随机抽样，故选D. [答案]D 作业（十二）用样本估计总体的数字特征 [基础演练] 1.C由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散 程度. 2.A原数据的平均数应为1.2十80=81.2，原数据的方 差与新数据的方差相同，即为4.4. [每日格言]好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要 3.A因为10×70%=7，所以该组数据的70%分位数是： 第7个教据和第8个数据的平均数，所以18+=19，解 2 得a=20.故选A. 4Ba=015+17+14+10+15+17+17+16+14+ 12)=14.7, 中位数为6=号（15十15)=15，众数为c=17,放选B [综合演练] 1 1.D玉=十2×18+异2×24=2（元/千克）. 2.CD对于A:设z=十x2十十乙 则y=(2x1+c)+(2z+d)++(2x+d=2z+c, 且c≠0，错误； 对于B:设原样本数据的中位数为x,则新样本数据的 中位数为y:=2x:十c,且c≠0，错误； 对于C:由D(y)=22D(x)+D(c)=4D(x),知新样本 数据的标准差是原样本数据的标准差的2倍，正确； 对于D:设原样本数据的极差为xmax一xmin,则新样本 教据的极差为ymax一ymin=(2xmax十c)一(2xmin十c)= 2(xmax一xmin),正确.故选CD. 3.ACD对于A项，由频率分布直方图可得，最高小矩形 为[85,90)，所以可估计该样本的众数是8590=87.5， 2 故A项正确；对于B项，由频率分布直方图，可估计该 样本的平均数是0.020×5×72.5+0.030×5×77.5+ 0.040×5×82.5+0.050×5×87.5+0.035×5×92.5 十0.025×5×97.5=85.625，故B项错误；对于C项， 由频率分布直方图可得，成绩在[70,85)之间的频率为 0.020×5+0.030×5+0.040×5=0.45,在[70,90)之 间的频率为0.020×5+0.030×5+0.040×5+0.050 ×5=0.7,所以可估计该样本的中位数在[85,90)内，设 中位数为x,则由0.45+(x-85)×0.05=0.5,可得 x=86,故中位数为86，故C项正确；对于D项，由频率 分布直方图可得，测试成绩达到85分的频率为0.050 ×5十0.035×5十0.025×5=0.55，所以可估计有资格 参加评奖的大一新生约为4000×0.55=2200（人），故 D项正确. 4.ACD由题图可知a=0.1一0.01一0.02一0.04= 0.03,从而不低于80分的频率为(0.03十0.04)×10= Q.7,所以该班的学生人戴是部-50，故A正确：成馈 在[80,90)内的频率为0.3，所以成绩在[80,90)内的学 生人数是50×0.3=15，故B错误；x=65×0.1+75× 0.2+85×0.3+95×0.4=85,故C正确；s2=0.1× (65-85)2+0.2×(75-85)2+0.3×(85-85)2+ 0.4×(95-85)2=100,故D正确. 5.解析由题意可知2=w男[s十(x男一x)2]十w女[s +(x女-x)2],即w男[502+(70-60)2]+(1-w男) [602+(50-60)2门=602，解得0%=品0*=品，因为 1 样本中有20名男员工，则样本中女员工的人数为200. 答案200 和朋友一起分享。 高一数学（配BSD版） 6.解析(1)根据题中频率分布折线图作出频率分布直方 图，如图所示 频率 组距 0.0060 0.0036 0.0024 0.0012-- 0 50100150200250300350月用电量/度 由频率分布折线图或频率分布直方图可得(0.0024十 0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)×50=1, 所以x=0.0044. (2)月用电量落在区间[50,100)，[100,150)，[150,200) 内的用户数分别为0.0024×50×100=12,0.0036× 50×100=18,0.0060×50×100=30, 所以估计本小区月用电量落在区间[50,200)内的用户 的月用电量的平均数为(75×12+125×18+175×30)÷ (12+18+30)=140(度). (3)由(2)知月用电量落在区间[50,200)的户数为60， 用户的月用电量的平均数为140，则月用电量落在区间 [200,350]内的户数为100-60=40， 设前60户的月用电量分别为x:(i=1,2,…,60),平均 数x=140,方差s=1600, 后40户的月用电量分别为yn(n=1,2,…,40),平均数 为y,方差为s晚， 全部100户的月用电量分别为之m(m=1,2,…,100),平 均数之=188，方差s2=5200, 所以60x十40y=100z,所以y=260. 1=品2-1402=160， 得2x=21200, 6021 2=05-18=520,得品52=4054， 所以道=0兰2-子=0（盟品-2)-260= 0100×40544-60×21200)-2602=1960, 所以52=14√/10. 所以月用电量在区间[200,350]内的用户的月用电量的 标准差为14√10. 「真题体验] 1.C对于A,因为前3组的频率之和0.06十0.12+0.18 =0.36<0.5,前4组的频率之和0.36十0.30=0.66> 0.5,所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为 [1050,1100),故A不正确；对于B,100块稻田中亩产 量低于1100kg的稻田所占比例为6+12+18+30× 100 100%=66%,故B不正确；对于C,因为1200一900= 300,1150一950=200，所以100块稻田亩产量的极差 寒假作业过去一切时代的精华尽在书中。 介于200kg至300kg之间，故C正确；对于D,100块 稻田亩产量的平均值为100×(925×6十975×12 1025×18+1075×30+1125×24+1175×10)= 1067(kg),故D不正确.综上所述，故选C. 2.解折(1)z-0(545+53+51+52+575+544+ 541+568+596+548)=552.3, y-0(536+527+543+530+560+533+522+50+ 576+536)=541.3, z=x-y=552.3-541.3=11. =x-y:的值分别为：9,6,8，-8,15,11,19,18， 20,12, 故2=0[(9-112+(6-1)2+(8-1)2+(-8 11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+ (20-11)2+(12-11)2]=61. /2 (2)由(1)知：z=11,2√0=2√6.T=√24.4， 有2，品 所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工 艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. [易误警示] [示例1][解析]由折线图可知，这10天的最低气温按 照从小到大的排列为：-3，一2，一1，-1,0,0,1,2,2,2， 因为共有10个数据，所以10×80%=8，是整数，则这 10天最低气温的80%分位数是2十2=2. 2 [答案]D [示例2][解析]，平均数为4，加入4之后平均数不 变，排除C、D:原七个教的方差7=7X2=2,2= 7 7X2+(4-4)2<2,排除B,故选A. 8 [答案]A 作业（十三）随机事件、古典概型 [基础演练] 1.CD根据随机现象的概念可知，A,B是随机现象，C,D 是确定性现象，故选CD. 2.D事件“至少有一次击中靶心”包括“第一次中靶心， 第二次不中靶心”，“第一次不中靶心，第二次中靶心”和 “两次都中靶心”，即AB十AB十AB,故选D. 3.B古典概型的有限性指的是样本空间的样本，点有限， 等可能性指的是样本空间的各个样本，点出现的可能性 相等，故A,C说法正确.由古典概型概率计算公式可知 D说法正确， 4解析因为甲、乙研发断产品成功的概率分别为是 1 5 [每日格言] 则这项技术所究不成功的概率为(1-)(1-})= 合，再根据对立事件的概率之间的公式可得这预技术 所究成功的批率为1一日-吕 故答案为：6 5 答案吾 [综合演练] 1.A此人从小区A前往C的所有最短路径为A→E→D →H→C,A→E→O→H→C,A→E→O→F→C,A→ G→O→H→C,A→G→O→F→C,A→G→B→F→C,共 6条，记“此人不经过市中心O”为事件M,则M包含的 样本点为A→E→D→H→C,A→G→B→F→C,共2 条，故选A. 2.B从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况， 甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为音=号，故 选B. 3.A“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲 获胜“的藏车是1一了一号-日A正肩：设事件A为 “甲不输”，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥 事件的并率件，所以P心)=日十日=号（或设率件A 为“甲不输”，则事件A是“乙获胜”的对立事件，所以 PA=1-了-号》，B错误，乙输的概率即甲获胜的就 率为日，C错误：乙不输的概率是？十日-日，D错说。 故选A. 4.ABD由题意A={1,3,5},B={3},C={3,6},D= {2,4,6},样本空间为U={1,2,3,4,5,6}, 对于A,B∩D=☑，这意味着B,D不可能同时发生，故 A正确； 对于B,A∩D=☑，AUD=U,这意味着A,D中有且仅 有一个事情发生，故B正确； 对于C,P(C-名-行故C错误 对于D,因为A∩C=B={3},所以P(AC)=P(B)= 日故D三瑞，故连AD 5.解析列表如下： 和 第 次 4 5 6 第二次 1 2 5 6 2 3 6 8 3 4 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 89101112