作业(七)幂函数-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

寒假作业读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。 作亚（七》 幂函数 1知识整合 1.幂函数 般地，函数y=x“叫做幂函数，其 定义 中x是自变量，a是常数 12 3 x Y=x 常见五 2 1- y=x2 种幂函 -3-2-1 y=x-I 101 234 数的图象 幂函数在(0，十∞)上都有定义 当a>0时，图象都过点(1,1)和(0,0)， 性质 且在(0，+∞)上单调递增 当a<0时，图象都过点(1,1)，且在 (0,十∞)上单调递减 2.函数的应用 (1)已知函数模型的应用问题. (2)根据已知条件建立函数模型. 2基础演练 1.若函数f(x)是幂函数，且f(4)=2f(1), 则f(2)= ) A.4 1 取号 c D.2 2.幂函数y=x的大致图象是 144 [每日格言] 今 月 日 台 星期 历 天气 3.(2025·潮州市高一期未)已知幂函数 f(x)=(3m2-7m-5)xm-1在(0，+∞)上 是减函数，则m= A.号或3 B.-2 C.1 D.3 4.(多选)已知幂函数f(x)=x”的图象过点 (4,2),则 ( A.a=2 B.函数f(x)的定义域为(0，+∞) C.函数f(x)为偶函数 D.若x>1,则f(x)>1 3综合演练 1.(2025·芜湖高一期中)若幂函数f(x)的 图象过点(4,2)，则不等式f(x)<f(x2)的 解集为 () A.(-∞，0)U(1,+∞) B.(0,1) C.(-∞，0) D.(1,+∞) 2.（多选)函数f(x)=ax十2x十1与g(x)=x 在同一坐标系中的图象可能为 ( [每日格言]平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 3.(多选)（教材变式）图①是某大型游乐场的 游客数x(单位：万人)与收支差额y(单 位：万元)的函数图象，销售初期该游乐场 处于亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场 采取了两种措施，图②和图③中的虚线为 采取了两种措施后的图象，则下列说法正 确的是（收支差额=门票销售额一投人的 成本费用) /万元 y/万元 y/万元 B -1A x万人 OBx/万 OBx/万人 图① 图② 图③ A.图①中点A的实际意义表示该游乐场 投入的成本费用为1万元 B.图①中点B(1.5,0)的实际意义表示当 游客数为1.5万人时，该游乐场的收支 恰好平衡 C.图②游乐场实行的措施是降低门票的 售价 D.图③游乐场实行的措施是减少投入的 成本费用 4.(开放创新)幂函数f(x)满足下列性质： (1)对定义域中任意的x,有f(x)= f(-x);(2)对(0，十∞)中任意的x1,x2 (x1≠x2),都有(x2一x1)[f(x2)一f(x1)] <0,请写出满足这两个性质的一个幂函数 的表达式： 5.调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34 元/kg的经济效益.为激励居民垃圾分类， 某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每 分类投放1kg积分1分，若一个家庭一个 月内垃圾分类投放总量不低于100kg,则 额外奖励x(x为正整数)分.月底积分会 按照0.1元/分进行自动兑换 15 高一数学（配BSD版） (1)当x=10时，若某家庭某月垃圾分类 投放总量为120kg,该家庭该月积分能兑 换 元； (2)为了保证每个家庭每月积分兑换的金 额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益 的40%，则x的最大值为 6.某工厂引进一条先进生产线生产某种化工 产品，其生产的年总成本y(单位：万元)与 年产量x(单位：吨，x>0)之间的函数关系 式为y=-70x十1000.已知该生产线 的年产量最大为220吨，且能全部售出. (1)求当年产量为多少吨时，生产每吨产品 的平均成本最低，并求最低平均成本； (2)若每吨产品的出厂价为50万元，那么 当年产量为多少吨时，可以获得最大年利 润？最大年利润是多少？ 寒假作业勤奋学习，善于思考，不断总结是成功的法宝 4真题体验 1.(2022·上海卷)下列幂函数中，定义域为 R的是 ) A.y=x1 B.y=x-t C.y=x D.y=x 2.(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=x3一1 3 则f(x) ( A.是奇函数，且在(0，十∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0，+∞)单调递减 C.是偶函数，且在(0，十∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0，+∞)单调递减 3.(2023·上海卷)已知函数f(x)= x2+(3a+1)x+c(a,c∈R). x十a (1)当a=0时，是否存在c,使得f(x)为 奇函数？ (2)若函数f(x)的图象过点(1,3)，且 f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同交 点，求c的值及a的取值范围. [每日格言] 5易误警示 易错一不理解幂函数概念致误 [示例1]已知幂函数f(x)=(n2一n一1)· x+3m的图象关于y轴对称，且f(x)在 (0,十∞)上是减函数，则n的值为（) A.-2 B.-1 C.2 D.-1或2 名师叮嘱 幂函数y=x(a为常数)应同时满足三个 条件： (1)系数为1； (2)底数为单自变量； (3)指数为常数， 易错二忽视对底数的讨论而致误 [示例2]若(a+1)-1<(3一2a)1,求实数 a的取值范围. 名师叮嘱 利用幂函数的性质解不等式时，先画出对应 幂函数的图象，然后再用其性质解不等式，可避免 讨论不全面，出现遗漏.寒假作业任何的限制，都是从自己的内心开始的。 作业（七）幂函数 「基础演练] 1.D设f(x)=x“,因为f(4)=2f(1),所以4=2，解得 a=2,故f(x)=反，f(2)=.故选D. 1 2.A由y=x言=元，可知x≥0，随着自变量的增大，函 数值不断增大，故选A. 3.B由函数f(x)=(3m2-7m-5)xm-1是幂函数， 得3m2-7m-5=1,解得m=3或m=-3, 2 当m=3时，f(x)=x2在(0，十∞)上是增函数，不符合 题意， 当m-导时，f)-x-在0，十o)上是 x 减函数，符合题意， 所以m=一号，故选B 4.AD由题意得4=2，则a=合故A正确时)=x, 则函数f(x)的定义域为[0，十∞)，且f(x)为非奇非偶 函数，故B,C错误；当x>1时，f(x)>f(1)=1,故D 正确.故选AD. [综合演练] 1.D设暴函数f(x)=x“,由f(4)=2,得40=2， 1 解得a=zfx)=x, 函数f(x)=x在定义域[0，十o∞)上单调递增， 不等式f(x)<f(x2)台0≤x<x2,解得x>1, 所以原不等式的解集为(1，十∞).故选D. 2.ACD由选项A,B中图象，可知g(x)=xa为奇函数， 定义域为{xx≠0}，且在(0，十∞)上单调递减，所以 a<0,从而f(x)=ax2十2x十1图象的开口向下，对称 轴为直线工=-1>0，f(0)=1,故A符合题意，B不符 a 合题意；当a=(m∈N)时，函数g)=r的定义城 为[0，十∞)，且在[0，十∞)上单调递增，f(x)=ax2十 2x十1图象的开口向上，且对称轴为直线x=一}<0， △=4一4a>0,图象和x轴有两个交点，故C符合题意； 当a=2n(n∈N“)时，g(x)=x为偶函数，且在(0，十o∞) 上单调递增，f(x)=ax2十2x十1图象的开口向上，且 对称轴为直线x=-1<0,△=4-4a<0,其图象和x 轴没有交点，故D符合题意.故选ACD. 3.ABD由图①中点A的坐标可知，当x=0时，y=一1， 实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，A正确；由 图①中点B的坐标可知，当x=1.5时，y=0,实际意义 表示当游客数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡， B正确；图②中由直线与x轴的交点位置的变化知游乐 场实行的措施是提高门票的售价，C错误；图③中由直 线与y轴的交点位置的变化知游乐场实行的措施是减 少投入的成本费用，D正确.故选ABD. 5 忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。 [每日格言] 4.解析因为对定义域中任意的x,有f(x)=f(一x), 所以函数f(x)为偶函数，又函数满足对(0，十∞)中任 意的x1,x2(x1≠x2),都有(x2一x1)[f(x2)-f(x1)] <0,所以函数f(x)为(0，十∞)上的减函数，故f(x)= x2满足题目中要求，故答案可以为f(x)=x2. 答案f(x)=x一2（答案不唯一） 5.解析(1)若某家庭某月垃圾分类投放总量为120kg, 则该家庭月底的积分为120+10=130（分），故该家庭 该月积分能兑换130×0.1=13（元）. (2)设每个家庭每月垃圾分类投放总量为tkg,t∈N*, 每个家庭每月积分能兑换的金额为f(t)元.若0≤t< 100,则f(t)=0.1t<0.34t×0.4=0.136t恒成立；若 t≥100，则f(t)=0.1t+0.1x,由f(t)≤0.34t×0.4, 可得x≤(0.36t)min=36.故x的最大值为36. 答案(1)13(2)36 6.解析(1)由题意得每吨的平均成本为 4 -70x+10000 y +10000-70≥ x 4 x .10000-70=30, 24 x 当且仅当芹-100”，即x=200时，等号成立，故当年产量 为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低，为30万元. (2)设年利润为地万元，则w=50x一y=50x (f-70x+1000）=-子z-2402+440,0<x≤ 220,当0<x≤220时，w随着x的增大而增大，因此当 x=220时，年利润w取到最大值，为4300万元，故当年 产量为220吨时，可以获得最大年利润，最大年利润为 4300万元 [真题体验] 1.C选项A中函数的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)；选 项B中函数的定义域为(0，十∞)；选项C中函数的定 义域为R;选项D中函数的定义域为[0，十∞).故选C 2.A函数f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，因为 -=-+是=-(x-) f(-x)=(-x)3-,1 一f(x),所以函数f(x)为奇函数，排除C,D:因为函数 y=2y=一是在0，十∞)上单洞递增，所以f)=r3 二在(0，十∞)上单调递增，排除B.故选A 3.解析(1)当a=0时，f(x)=+十c,定义域为 (-∞，0)U(0,+∞)，∴.f(1)=2+c,f(-1)=-c,显 然f(1)≠-f(-1),∴.当a=0时，f(x)不可能为奇函 数，.当a=0时，不存在c,使得f(x)为奇函数. (2)由题意得f1)=1+(3at+1)+c=3, 1+a .3a+c+2=3a+3,∴.c=1, ∴fx)=2+(3a+1)x+1 x十a ,f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同交点， [每日格言]只有一条路不能选择，那就是放弃的路；只有一务 ,.关于x的方程x2+(3a+1)x十1=0有两个不同负 实数根x1,x2,且x1≠一a,x2≠-a, x1+x2=-(3a+1)<0, a2-(3a+1)a+1≠0， x1x2=1>0, 解得a>号且a≠， △=(3a+1)2-4>0, “实数a的取值范国为（号，号）U(合，十∞） [易误警示] [示例1][解析]由题意知n2-n-1=1且n2+3n为 偶数，.n=2或n=-1(舍). [答案]C [示例2][解析]由暴函数y=x1的图象和性质， 得3-2a<a+1<0①或0<3-2a<a十1② a+1<0 或 ③， 3-2a>0 ①无解，由②将号<a<号由③得a<-1 故。的取值范周是(-，-1DU(号，) 作业（八）指数、指数函数 [基础演练] 1,A√a√aa=√a√a·a=√aa=√a·a =a言.故选A. 2.C对于函数f(x)=ax-2引+5，令|x-2|=0,解得 x=2,则f(2)=a°+5=6，所以f(x)=ax-21+5的图 象恒过点(2,6).故选C. 3.Ay=1.62是增函数，故a=1.60.3<b=1.60.8, 而1.6.3>1>c=0.70.8,故c<a<b.故选A. 4.ACD因为c≠0，所以c2>0,又a>b,所以ac2>bc2,A 正确；(ac)2>(bc)2等价于a2>b2,当a>0>-a>b时 不成立，B错误；因为y=2r在R上单调递增，而a一c >a-b,所以2a-c>2a-b,C正确；因为y=0.7r在R上 单调递减，而a十b>b十c,所以0.7a+b<0.7b+c,D正 确.故选ACD. [综合演练] 1.B令f)=马则fx)0,所以y=3六≠3， 所以y≠1.又3>0， 所以函数y=3京的值战为(0,1)U(1,十∞). 2.Ay=4m-2m+1+b=(2")2-2·2m+6.设2m=t, 则y=t2-2t+b=(t-1)2+b-1.因为n∈[-1,1]， 所以e[合2习] 当t=1时，ymin=b-1=2,b=3;当t=2时，ymax=1十b 一1=3.故选A. 3.ABD设2024a=2025b=k>0,分别作出y=2024x, y=2025x的函数图象，如图所示，若k=1,则a=b=0, A成立；若0<<1，则a<b<0,B选项成立；若k>1, 则0<b<a,C选项不成立，D选项成立.故选ABD. 路不能拒绝，那就是成长的路。 高一数学（配BSD版） y=2024 y=k(k>1) 71=2023 -- .1 y=k(0<k<1) abo ba 4.ACD因为f(x)+g(x)=2,所以f(-x)十g(-x)= 2x,又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 所以-fx)+g(x)=2,解得g(x)=25+2 2 f(x)=2-2-x 2 对于A,f(g(-x)=f(g(x),故f(g(x)为偶函数， A正确； 对于B,g(0)=1,故B错误； 对于Cg)-P=(22°-(}°-1， 故C正确； 对于D,当x≥0时，f(x)=2-2, 2 1f1+g)-25-,2+2+2=2*: 2 2 当x<0时，f(x)1=22 2 1f1十gm)=2,2+2+2=2, 2 2 12x,x≥0 所以|f(x)|十g(x)= 2-x,x<0, 故D正确。 故选ACD 5.解析f)=(2)广在R上单润递减，且(2)）卢5 (合)）卢·.（分）卢，即满足f+)=f(1), 故f)=(合)》广特合题意. 答案 (分）广（答案不唯一，底数在(0,1）内的指数函数 均可) 6.解析依题意知，f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f(0)=1+b=0,b=-1,即当x≥0时，f(x)=4x+3x -一1，f(x)单调递增，所以f(x)在区间[1,3]上的最小值 为f(1)=4+3-1=6,所以f(x)在区间[-3，-1]上 的最大值为一6. 答案一6 [真题体验] 1.B由函数y=4.2r在R上单调递增可知，0<a<1<b, 又c=log4.20.2<0,故b>a>c.故选B. 2.B(排除法)由题知函数f(x)的定义域为R,关于原 点对称，f(-x)=-（-x)2十(ex一er)sin(-x)= -x2+(e2-ex)sinx=f(x),所以函数f(x)为偶函 数，函数图象关于y轴对称，排除A、C;f(1)=一1十 (e-)sim1>-1+(e-)m晋=-1+号- >0,排除D.故选B. 2e1