假期作业六 函数的基本性质与幂函数-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业（北师大版）

三0022 假期作业大 数的基 〈《《思维整合室 we heng he shi 知识梳理 1.增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间D三 I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2,则有： (1)f(x)在区间D上是增函数台 (2)f(x)在区间D上是减函数台 2.单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上是 或 ,则称函数y=f(x)在这一区间上 具有（严格的）单调性， 叫做y= f(x)的单调区间. 3.函数的最值 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 前提 在实数M满足 ①对于任意x∈ ①对于任意x∈ 条 I,都有 I,都有 件 ②存在x。∈I,使 ②存在x。∈I,使 得 得 结论 M为最大值 M为最小值 4.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数f(x)的定 偶 义域内任意一个x,都有关于 函 那么函数 对称 数 f(x)是偶函数 高一教学蜀) 本性质与幂函数 如果对于函数f(x)的定 奇 义域内任意一个x,都有关于 那么函数 对称 数 f(x)是奇函数 5.五种常见幂函数的图象与性质 特 函数 征 y=x y=x2y=z3 性 质 图象 小业乐 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 自测自查 1.(1)f(x1)<f(x2)(2)f(x1)>f(x2) 2.增函数减函数区间D 3.①f(x)≤M②f(x)=M①f(x)≥M ②f(x)=M 4.f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x) 原点 5.RRR{xlx≥0}{x|x≠0}R{y|y 0)R{yly≥0}{yly≠0}奇偶奇 非奇非偶奇增（一∞，0]减，[0，十∞）增 增增（一∞，0）和(0，十∞)减(1,1) 快乐假期 要点记忆 函数的奇偶性与单调性的关系 (1)奇函数在对称区间上的单调性相同. (2)偶函数在对称区间上的单调性相反， (3)在公共区域上：增十增=增，减十减=减， 增一减=增，减一增=减。 《技能提升台 neng ti shenta 技能提升 1,函数f()=的图象一定关于() x A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.直线x=1对称 2.若函数f(x)是R上的减函数，a>0,则下列 不等式一定成立的是 ( A.f(a2)<f(a) B.<f) C.f(a)<f(2a) D.f(a2)<f(a-1) 3.幂函数y=f(x)的图象经过点 3’3 f(x)=2,则xo= A.2 C.2 D.4 4.关于函数y=f(x),x∈D,下列说法正确的 个数为 () ①若该函数为奇函数，则必有f(0)=0; ②若该函数是偶函数，则它的图象必与y轴 相交； ③若该函数在区间I上是单调函数，则 ICD; 00M-= ④若该函数的最大值为M,最小值为m,则 它的值域为[m,M幻. A.4 B.3 C.2 D.1 5.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy) =y2f(x)+x2f(y),则 () A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 ix'+ax+a,x<0 6.已知函数f(x)= 在R -2025x3-1,x≥0 上单调递减，则a的取值范围为 ( A.[0,1) B.[-1,0] C.[-1,0) D.[0,1] 7.已知函数f(x)在定义域（一1,1）上单调递 减，且f(1一a)<f(2a-1),则实数a的取 值范围是 8.若两函数关于一、三象限角平分线对称，则 它们互为反函数，我们定义：若两函数关于 二、四象限角平分线对称，则它们互为“逆函 数”，若某函数上的点P在其“逆函数”上的 对应点为(2025,2026)，则点P的坐标为 9.已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,2)，则 f(1-2)的定义域为 入 10.已知二次函数f(x)满足f(0)=f(2)=2, f(1)=1,则函数f(x)的解析式为 ;若函数h(x)=f(x)-mx在 [1,3]上具有单调性，则实数m的取值范 围是 三0022 高一数类遗) 山.f)-千是定义在(-1,1)上的奇 12.已知f(x)是定义在[一1,1]上的奇函数， 且f(1)=1,若a,b∈[-1,1]，a+b≠0时， 函数， 有fa)+f6)>0恒成立. (1)用定义证明f(x)在（一1,1）上是增 a+b 函数； (1)判断f(x)在[一1,1]上的单调性，并加 (2)解不等式f(t-1)+f(t)<0. 以证明； (2)若f(x)≤m2-2nm+1对任意n∈ [一1,1]恒成立，求实数m的取值范围. 高考冲浪 1.(2024·天津卷，5)若a=4.20.3,b= 4.23,c=log.20.2,则a,b,c的大小关系为 () A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 2.(2025·全国一卷，5)已知f(x)是定义在R 上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f )=5-2,则f) () A-B-C}D ·15·三0022 7解析：由题意可得-≥0， 解得x≤1，且x≠0. 1-√-x≠0， 答案：(-∞，0)U(0,1] 8.解析：f(f(4)=f(2)=0. 由题图可知当1<x<4时，f(x)<2. 答案：0(1,4) 9.解析：，函数f(x)满足f(x十y)=f(x)十f(y)一3， 令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)-3, 又f(4)=5,.f(2)=4. 答案：4 10.解析：f(√6)=（√6）2-4=2→f(2)=3,即|2-3+a=3→ a=2. 答案：2 1.解：1)由题意得，f(-号) =(-+)=f() =f(-合+1)=f(2)=2×2+1=2. (2)当0<a<2时，由f(a)=2a+1=4, 得a=名， 当a≥2时，由f(a)=a2-1=4,得a=5或a=-5(舍去). 综上所送，a=号或a=5. 12.解：(1)设t=√元十1，则x=(t-1)2(t≥1). 代入原式，有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=2-21+1+21-2 =t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1). (2)因为f(x)是一次函数，可设f(x)=ax十b(a≠0)， 所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即ax+(5a+b)=2x十17，因此应有a=2, 解得 15a+b=17, a=2故fx)的解析式是)=2x+7。 b=7 (3)因为2fx)+f(）-3x, ⑦ 所以起x用是换，得2f()十f)=， ② 由D@解得x)=2x-子（x≠0， 即f(x)的解析式是f(x)=2x-1(x≠0). 高考冲浪 1.解析：由题意可知，f(0)=0,则a=0. 答案：0 2.B[由题意知f(x)在R上单调递增，令h(x)=-x2一2ax 一a,则h(x)的对称轴必大于等于0，否则与题意不符，即-a ≥0→a≤0，排除C、D项；又因为当x=0时，f(x)=l,所以 当x=0时，h(x)≤1→-x2-2ax-a≤1，代入x=0,得-a ≤1→a≥-1，所以-1≤a≤0，故a的取值范围是[-1,0].] ·4 高一数学恐 假期作业六 技能提升台技能提升 1.C[画数f(x)的定义战为{xx≠0}，f(-)=-1 一x =--1=一f(x),则函教f(x)为奇函数.因此图象关于 原，点对称，故选C.] 2.D[函数f(x)是R上的减函数，a>0. A选项，a2-a=a(a-1),当a>1时， a2>a,所以f(a2)<f(a);当0<a<1时， a2<a,所以f(a2)>f(a)即A不一定成立 B选项，当>1时a>。,所以fa)<f(日）当0<a<1 时a<日，所以f@)>f(合）即B不-定成立. C选项，当a>0时，2a>a,所以f(a)>f(2a),即C不成立. D选项a2-a-1)=a-a+1=(a-号)广+是>0，则d >a-1,所以f(a2)<f(a-1),即D一定成立，故选D.] 3.D[设暴画数)=x,:其图象经过点（仔，） “(合)广-得解得e-合f)--,若f) 2,则√=2，解得x=4,故选D.] 4.D[①若该函数为奇函数，但0庄D,则没有f(0)=0,①错 误.②画数y=是是偶画数，但国象与y轴不相交，②辑说 ③单调区间是定义域子集，③正确. ④函数y=x,x∈[1,2]U[3,4],最大值为4，最小值为1，但 是值域不是[1,4幻，④错误. 所以正确的有1个，故选D.] 5.ABC[对于A,令x=y=0,则f(0)=0×f(0)+0×f(0), 则f(0)=0,故A正确； 对于B,令x=y=1,则f(1)=1×f(1)+1×f(1), 则f(1)=0,故B正确； 对于C,令x=y=-1,则f(1)=(-1)2×f(-1)+(-1)2 ×f(-1),则f(-1)=0, 再令y=-1,则f(-x)=(-1)2f(x)+x2f(-1), 即f(-x)=f(x),故C正确； 对于D,当x=0时，f(0)=y2f(0),无极值.故D错误.故 选ABC.] 6.B[由条件可知，y=x2十a.x十a在区间（一∞，0）上单调递 减，则-号≥0，即a≤0， 且在分界点x=0处满足02+a·0十a≥-2025·03-1，得 a≥-1， 所以一1≤a0.] 飞密快乐假期 7.解析：由题意知，函数f(x)在定义域（一1,1）上单调递减，且 f(1-a)<f(2a-1), -1<1-a<1, 故-1<2a-1<1,解得0<a<号. 1-a>2a-1, 答案：(0，号) 8.解析：若(x1)与(x2,y2)关于二四象限角平分线对称，得 出坐标关系工1=一y2=一x2 由二四象限角平分线对称，可得P(一2026，一2025)】 答案：(-2026，-2025) 9.解析：设暴函数y=f(x)=x, “f(x)的图象过点(4,2)，…4=2…a=号， 1 x）=压小7-2=2z,则1-2x>0, 即x<2, ∴70a20的定义城为（∞，2）片 答案：（∞，）川 10.解析：由题意可设f(x)=a(x-1)2+1, 因为f(0)=2,所以a·(0-1)2+1=2, 解得a=1,即f(x)=(x-1)2+1=x2-2x+2. 因为h(x)=f(x)一mx=x2-(m十2)x十2在[1,3]上具有 单调性，所以m士≤1浅"≥3，解得m≤0或m≥4. 2 答案：f(x)=x2-2x+2(-∞，0]U[4,+∞) 11.解：(1)证明：任取x1,x2∈(-1,1)，且x1<x2, 则fx)-f(x)=1十1+云 x1(1+x)-x2(1+x)_(x1-x2)(1-x1x2) (1+x)(1+x2) (1+x1)(1+x)' 因为-1<x1<x2<1, 所以x1-x2<0,1-x1x2>0, (1+x)(1+x2)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在（一1,1）上是增函数. (2)由函数f(x)是定义在（一1,1）上的奇函数且f(t一1)十 f(t)<0,得f(t-1)<-f(t)=f(-t), 又由(1)可知函数f(x)在（一1,1）上是增函数，所以有 -1<t-1<1, 1<-K1,30<1<分所以不等式的解集 t-1<-t 是{<<号} 0M= 12.解：(1)f(x)在[一1,1]上单调递增.证明如下： 任取x1,x2∈[-1,1]，且x1<x2,则-x2∈[-1,1]， 又f(x)是奇函数， 所以fx)-f(x,)=f(x)+f(-)=fx)+f-) x1十(-x2) ·（x1一x2）, 由已知得)+f二2>0，x,-,<0, x1十(-x2) 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在[-1,1]上单调递增. (2)因为f(1)=1,且f(x)在[-1,1]上单调递增，所以在 [-1,1]上f(x)≤1. 问题转化为m2-2nm+1≥1，即m2-2nm≥0对任意n∈ [-1,1]恒成立. 设g(n)=-2mn十m2,则 ①若m=0,则g(n)=0≥0对n∈[-1,1]恒成立； ②若m≠0，则g(n)为关于n的一次函数，若g(n)≥0对n ∈[一1,1]世成立，则必须8-1D≥0 ,解得m≤-2或m≥2， (g(1)≥0 综上所述，实数m的取值范围为（一∞，一2]U[2,十∞）U{0. 高考冲浪 1.B[因为y=4.2在R上递增，且-0.3<0<0.3，所以0<4. 20.3<4.2°<4.20.3， 所以0<4.20.3<1<4.2.3，即0<a<1<b, 因为y=log.2x在(0，十∞)上递增，且0<0.2<1， 所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0, 所以b>a>c.] 2.A[f(-)=f()=f(2+4)=5-2(2+4) 假期作业七 技能提升台技能提升 1.B[原式=2号×是=2立=√2，故选B.] 万a景=】 2.B[a a2 3.D[(a)(-ai)÷(行a)=-a+号+i÷ 号ab=-3a+士6时+片=-3a.故逸D.] 4cw-品--器器我选c] 5.AD[对于A,8号=(2)号=22=子，故A正确， 对于B,(-a2)3=-a,故B错误； 对于C,9a=(a)言=lal,故C错误； 对于D,一π=(-π)方=一π，故D正确，故选AD.]