作业(五)函数的概念及其表示-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]为别人鼓掌的人也是在给自己的生命加油。 作业（五） 函数的概念及其表 1 知识整合 般地，设A,B是非空的实数集，如果对 于集合A中的任意一个数x,按照某种确 定的对应关系∫，在集合B中都有唯一确 函数 定的数y和它对应，那么就称f:A→B为 定义 从集合A到集合B的一个函数.函数的 三要素：定义域、对应关系、值域，注意： {y=f(x),x∈A}≤B. 表示法 解析法、列表法和图象法 符号∞不表示具体的数，而是表示一种理 区间 想状态 如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x 分段 在A中不同的取值范围，有着不同的对 函数 应关系，则称这样的函数为分段函数.注 意：分段函数是一个函数 复合 对于两个函数y=f(u),u∈A;u=g(x), x∈C.若{uu=g(x),x∈C}二A,则把 函数 y=f汇g(x)]叫做y关于x的复合函数 2基础演练 1.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出，则 f(g(2))的值是 ( ) x 1 2 f(x) 3 1 g(x) 3 2 1 A.1 B.2 C.3 D.1和2 2.(2025·黄梅县育才中学高一月考)函数 fx)=/1+z2的定义域是（ A.(-∞，-2)U(-2,1)U(1,+∞) B.(-∞，-2)U(-2,-1]U[1,+∞) C.[-2,-1)U(1,+∞) D.[-2,-1)U[1,+o∞) 9 高一数学（配BSD版） 今 月 日 日 星期 示 历 天气 3.(教材变式)中文“函数”一词，最早是由近 代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译， 他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者， 则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函 数的是 ) A.y=x°-1与y=0 B.y=√x-2·√x+2与y=√x2-4 C.y=x与之=y D.y=x2+x与y=+ 4.(2025·承德一中高一期中)已知函数 f3-2x)=3+工，则 ) A.fx)=x2+6x+21 2(3-x) B.f(x)=x26x+21 2(3-x) C.f(x)=x2+6x+21 3-x D.f(x)=x2-6x+21 3-x 3综合演练 1.(多选)已知函数f(x) 的图象由如图所示的两 条曲线组成，则( A.f(f(-3)=1 -3-2-10123 B.f(-1)=3.5 C.函数的定义域是（一∞，0]U[2,3] D.函数的值域是[1,5] 2.(2025·泸州市合江中学高一期中)已知函 数y=f(x)的定义域是[一8,1]，则函数 g()=f21D的定义域是 () x+2 A.(-∞，-2)U(-2,3] B.[-8,-2)U(-2,1] 寒假作业你希望别人怎样对待你，你就应该怎样对 [-号-2U(-2,01 C. D.[--2 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)十 2f(1-x)=x2+1,则f(0)= A.1 B.-1 c.- n号 4.（多选)某打车平台欲 甲 对收费标准进行改革， 12 现制定了甲、乙两种方 案供乘客选择，车费 y(单位：元)与路程 x(单位：km)的函数关 0 10 系大致如图所示，则下列说法正确的是 ( ) A.当路程为8km时，乘客选择甲方案省钱 B.当路程为10km时，乘客选择甲、乙方 案均可 C.当路程大于3km时，每千米增加的车 费甲方案比乙方案多 D.甲方案路程3km内（含3km)车费为 5元，路程大于3km每增加1km车费 增加0.7元 5.已知f(x)是R上的函数，f(0)=1,并且对 任意的实数x,y都有f(x一y)=f(x) y(2x-y十1)，则f(x)= 1(x十1)2，x<1, 6.设函数f(x)= 则 4-√x-1,x≥1， f(f(0))= ,使得f(a)≥4a的 实数a的取值范围是 4真题体验 1.(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域 为D,则“函数f(x)的值域为R”是“对任意 M∈R,存在x。∈D,使得|f(xo)|>”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 F别人。 [每日格言] 2.(2024·新课标I卷)已知函数f(x)的定 义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x一2)，且 当x<3时，f(x)=x,则下列结论中一定 正确的是 A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 3.(2022·北京卷)已知函数f(x)= 1+2z 则对任意实数x,有 () A.f(-x)十f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.f-）-f)=3 4.(2022·浙江卷)已知函数f(x)= -x2+2,x≤1， ix+是-1，x>1,则f(f(2) 若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b-a的 最大值是 5易误警示 易错一不理解分段函数的概念致误 -2xx≤1， [示例1]（多选）已知函数f(x)= 2x2,x>1. 若f(a)=8,则实数a的值为 A.-4 B.-2 C.2 D.8 :名师叮嘱 分段函数是一个函数，一般应分段求解，最后 综合或合并， 易错二不理解函数概念致误 [示例2]下列各组函数中，f(x)和g(x)表 示同一个函数的是 A.f(z)=x,g(x)= x B.f(x)=√x2-1,g(x)=√x-1·√x+I C.f(x)=x,g(x)=√x D.f(x)=|x|,g(x)= x,x≥0 -x,x<0 名师叮嘱 函数由定义域和对应关系确定，两个函数如 果定义域相等，对应关系相同，则是同一个函数，与 表示变量所用字母无关[每日格言]凡事要三思，但比三思更重要的是三思而 ③当a十1<0，即a<一1时，原不等式可化为(x-2)· (a)小>0， a<-1a<2,解得x<或>2 能上，当。心>吉时，原不等式的解桌为口品2小： 当a=一合时，原不等式的解桌为心； 当一1a<-号时，原不等式的解集为{z2<a}: 当a=一1时，原不等式的解集为{xx>2}； 当a1时，原不等式的解集为<计成>2。 作业（五）函数的概念及其表示 [基础演练] 1.C由表可知g(2)=2,则f(g(2)=f(2)=3.故选C. 2B依题意，x十2≠0，解得z<一2或-2<x≤1 或x≥1， 所以原函数定义域为（一∞，一2）U(-2,一1]U[1,+∞). 故选B. 3.C对于A,函数y=x°一1的定义域为{xx≠0}，函数 y=0的定义域为R,两个函数的定义域不同，A不正确； 对于B,函数y=√x一2·√十2的定义域为{x|x≥2}， 函数y=√x2-4的定义域为{xx≤-2或x≥2}，两个 函数的定义域不同，B不正确；对于C,函数y=x的定 义城为R,函数之=的定义城为R,且z==y, 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，C正确；对于 D,函数y=x2十x的定义战为R,函数y=十父的定 义域为{xx≠0}，两个函数的定义域不同，D不正确 故选C. 4.B令t=3-2x,则x=3', 21 +(2)日-+24， 可得f(t)= 3-t 2(3-t), 2 所以儿)玩燕选B [综合演练] 1.AD因为f(一3)=2，所以f(f(一3))=f(2)=1,故 A正确；由题图不能得出f(一1)的确定值，故B错误； 函数的定义域是[-3,0]U[2,3],故C错误；函数的值 域是[1,5]，故D正确.故选AD. 2.C由题唐得-8≤2x+1长1，解得-号≤<0， 由x十2≠0，解得x≠一2， 故函数gx)的定义战是[-号，-2)U(一2,0]， 故选C. 3.Af(x)+2f(1-x)=x2+1, ∴.当x=0时，f(0)+2f(1)=1①， 当x=1时，f(1)+2f(0)=2②， ②×2-①，得3f(0)=3,解得f(0)=1.故选A. 行。 高一数学（配BSD版） 4.ABC当3<x<10时，甲对应的函数值小于乙对应的 函数值，故当路程为8km时，乘客选择甲方案省钱， A正确；当路程为10km时，由题图可知，选择甲、乙方 案的车费均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，B正 确；当路程大于3km时，甲方案每千米增加的费用为 1品二月-1（元），乙方案每千来增加的贵周为}品二 号（元），故每千未增加的费用甲方案比乙方案多，C正 确；由题图可知，甲方案路程3km内（含3km)车费为 5元，路程大于3km每增加1km车费增加1元，D错 误.故选ABC. 5.解析令y=x,则f(x-y)=f(0)=f(x)-x(2x一 x+1)=1,所以f(x)=x2+x+1. 答案x2+x十1 6.解析f(f(0)=f(1)=4.当a<1时，f(a)=(a+1)2≥4a, 得到a<1;当a≥1时，f(a)=4-Wa-I≥4a,得到 a=1,所以a≤1. 答案4(-0∞，1] [真题体验] 1.A若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定存 在x1∈D,使得f(x1)=M+1, 取xo=x1,则|f(xo)川=|M川+1>M,充分性成立； 取f(x)=2r,D=R,则对任意M∈R,一定存在x1∈ D,使得f(x1)=M+1, 取xo=x1,则|f(xo)|=|M+1>M,但此时函数f(x) 的值域为(0，十∞)，必要性不成立； 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在 xo∈D,使得引f(xo)>M”的充分不必要条件.故选A. 2.B(赋值法)因为当x<3时，f(x)=x,所以f(1)=1, f(2)=2.对于f(x)>f(x-1)+f(x-2),令x=3,得 f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3;令x=4,得f(4)>f(3) +f(2)>3+2=5;依次类推，得f(5)>f(4)+f(3)> 5+3=8;f(6)>f(5)+f(4)>8+5=13;f(7)>f(6) +f(5)>13+8=21;f(8)>f(7)+f(6)>21+13= 34;f(9)>f(8)+f(7)>34+21=55;f(10)>f(9)+ f(8)>55+34=89;f(11)>f(10)+f(9)>89+55= 144;f(12)>f(11)+f(10)>144+89=233;f(13)> f(12)+f(11)>233+144=377;f(14)>f(13)+ f(12)>377+233=610;f(15)>f(14)+f13)>610 +377=987…显然f(16)>1000,所以f(20)>1000. 故选B. 3.C函教f(x)的定义城为R,∫(-x)=1+2三 1 平所以1(-)+f)=车+中2=1.故 选C. 4.解析 f(合)=-（合）+2=>1， ∴（合）)=（好）子+号-1-器 |x≤1， 由 1≤-x2+2≤3， 解得一1x1, 1x>1, 1≤x+1-1≤3，解得1<x≤2+3， 由 寒假作业如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为 .不等式1≤f(x)≤3的解集为{x|一1≤x≤2十√5)， .b-a的最大值为2十√3一(-1)=3+3. 答案器3+3 [易误警示] [示例1][解析]当a≤1时，f(a)=-2a=8,a=-4; 当a>1时，f(a)=2a2=8,a=2. [答案]AC [示例2][解析]对于A,函数f(x)的定义域为R, g(x)的定义域为{xx≠0}，两个函数的定义域不同，所 以不是同一个函数；对于B,由x2一1≥0可得x≤一1 或x≥1，所以函数f(x)的定义域为{xx≤-1或x≥1)， x-1≥0 由 (x+1≥0， 可得x≥1，所以函数g（x)的定义域为 {xx≥1}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函 数；对于C,函数g(x)=|x与函数f(x)=x的对应关 系不同，所以不是同一个函数；对于D,函数f(x)=|x ={亿≥0与画教g的定义战相同，对应关系也 (-x,x<0, 相同，所以是同一个函数.故选D. [答案]D 作业（六）函数的基本性质 [基础演练] 1.Df(x)=-x+1在[2，+∞)上单调递减，A错误； fx)=2在[2，十∞)上为常画数，B错误：f(x)=是在 [2,+∞)上单调递减，C错误；f(x)=x2-2x一3为二 次函数，其图象开口向上，对称轴为x=1,所以f(x)= x2一2x一3在[2，十∞)上单调递增，D正确.故选D. 2.C由题意可知f(2)=22-1=3,因为函数f(x)是奇 函数，所以f(-2)=一f(2)=一3.故选C. 3.A易知函数f(x)=1-2x在[1,2]上单调递减，所 以fx)在[1,2]上的最小位为f2)=号-4=-子.故 选A 4.A当x∈(0，十∞)时，-x∈(-∞，0)，则f(-x)= 一x2一2x①.又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所 以f(-x)=f(x)②.所以由①②得，当x∈(0，十∞) 时，f(x)=一x2-2x,故选A. [综合演练] 1.A因为f(x)是定义在R上的偶函数，且该函数在 (一∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在[0，+∞)上单 调递增，由f(2x+3)>f(x+1)可得f(|2x+3|)> f(x+1),所以|2x+3|>|x+11,即|2x+3|2> |x+12,即(x十2)(3x+4)>0,解得x<-2或x> -手故选A 2.AB因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(-1)= f(1)=1-1=0,A正确；当x≥0时，f(x)=x-x2= -(-名)》+子画教)在(0，）上单满道增，在 (日，十∞）上单调递减，最大值为子，又偶函数在对称 区间上单调性相反，最值相同，则函数f(x)在 4 参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 [每日格言] (-©，一2)上单河递增，在（一子0）上单调递减，故 B正确，C错误；因为f(0)=0,所以f(x)>0的解集为 (-1,0)U(0,1),D错误.故选AB. 3.Cf(-x)=-x(|-x|-4)=-x(|x|-4)=-f(x), 定义域是R,故f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x2- 4x,对称轴是x=2,故f(x)在(0,2)上单调递减，在 (2,十∞)上单调递增，根据函数的对称性，得f(x)在 (一∞，一2)上单调递增，在（一2,0）上单调递减.故 选C. 4.解析当a>0时，y=ax在(0，十o∞)上为增函数，当 b<0时，y=。在(0，十0)上为增函数，故当a>0,b<0 时，f(x)=ax十b(ab≠0)在(0，十∞)上为增函数，故a 可取1，b可取一1，故答案可以为(1，一1). 答案(1，一1)（答案不唯一） 5.解析由题意，函数于)=r十红，≥0，是定义 -x2-bx,x<0, 在R上的偶函数，可得f(一x)=f(x),不妨设x>0, 则-x<0,所以-(-x)2-b(-x)=ax2+4x,即-x2 十bx=ax2十4x,可得a=-1,b=4,所以a十b=3.所以 -x2+4x,x≥0， 函数f(x)={ -x2-4x,x<0, 作出函数y=f(x)的图 象，如图所示，可知函数y=f(x)的最大值为f(一2)= f(2)=4,要使得对于任意的x∈[-2,2]，不等式 f(x)<c恒成立，则c>4,所以实数c的取值范围为 (4,+∞). -20 3=fx) 答案3(4，+∞) 6.解析(1)因为函数f(x)=十b是定义在[-2,2]上 x2+a 的奇函数，所以f(0)==0,所以6=0，又f(1)= a 中日所以a=4,所以)年 经检验，该函数为奇函数，故a=4,b=0. (2)f(x)在[-2,2]上单调递增，证明如下： 任取一2≤x1<x2≤2， f(x1)-f(x2)= x7+4x2+4 =1(号+4)-x2(z好+4) (x+4)(x+4) =1x号十4红1-x2x号-4x2 (x+4)(x3+4) =x12(x2-x1）-4(x2-x1) (x+4)(x号+4) =（x1x2-4)(x2-x1) (x1十4)(x十4)